一个递推关系及其推论

设以任意三复数。、尸、护为很的一元三次方程zs十产.+F+,=O,则由根与系数的关系知: ,=一(a+声+护),q=a声+抑+帅,,”一a夕护 由于a、夕、护分别为:,+尸+笋+r二0的三根,故 砂+尸+,+,=0._尸十护,+护十,=。, 尹十尸+qy+r二0 将以上三式分别乘以矿、夕、犷并相加得 矿+.+尸+.+犷+,二(a+夕+y)(矿+2+少+,+r+之)一(a尹+脚+”)(矿+’+夕十’+犷+’)+a夕袱矿十产十犷)(其中:=0.1,2,…) 定理a、声、下为三复数.则矿+,+产+,+r+.二(a+声+v)(a’+,+夕+,+尹+2)一(a尹+声护+”)(a.+’+夕+’+犷+’)+a夕,(‘+夕+扩)① 利用递推关系①及初始条件:a0十尸+v0=3…     

对一道赛题解法的探究

1986年全国数学竞赛第设实数u、b、。满足 l丫一bc一sa+7=()·试第1题第咬3川、题为:那么“的取值范It1是①② !扩+扩+b‘、一6a+6=‘j(A)(一co,+co);(I弓)(一oo,1 JU〔9,+co);(C)(0,7);(I))r 1.9〕.标准解答是,山题给条件得lbc三丫一sa+7l夕十已+bc=6“一6②一①x3得(l,一‘〕’=一3(‘,一)(u一冬,)③ .’一3(a一l)(u一9))(),故l石a石9 答案为(u). 我们认为此种解法不妥。因为.若口)十(劲,得 (b+‘.)二丫一2“十l=(‘:一I)④ bc〔R.而(“一l)J要0二‘一co<‘,<十oo,答案应为(A). 又若将①代人②得 粉+‘“=一丫+14‘,一13二一(‘,一1)…     

关于二、三、四次方程的代数解法

(一)考虑三个行列式先根据行列式性质按以下方法镬个进行什算犷夕!,万夕宕y言夕牛x十y 二,名即!les!J ,!!JIyr宕禽yy言即r+夕 yry七盆~(x+y)夕了二(x+,)(x一夕);40设.为1的立方原根,则有旬3~1,。2+“ 1 x y 2 1 1 1 1 11zx夕】二(x+夕+二)公Xyy宕戈y万厂 +(夕4+二,+。心一2夕222一2夕2u,2一222,2)二~(x+夕+z+留)(x+夕一z一,)X x(二一夕+名一留)(x一一二+。).(3)(立)二次方程XZ+户x+叮二o户一2 一一(二+,十二)}:二令X一x代入方程,整理后化成一一+1|ee一一|+y旬+二.‘y 1,x。+,。2+一(二十,+·)(·一!_2/尸_、_。孟-一l—一兮J一U, \弓/一…     

介绍解几中的一个三角形面积公式

点c(:3刁3)到直线l:夕~肠十b(七一夕 b~奋1公式 设爪二,.夕,).川:2.,2)为直线l:夕一七 b上的两个不同点,以,3.夕:)为直线l外一点.则△A肥的面积是O)的距离:汀=}打:一夕3十川 丫l 护①、一合②“一合xZ一x:}·{衍3一y3 bl;所以s△一告}“。卜“一合,不2一。’们平PXZ一XI}川(当(二3.y3)为原点){无J:一夕3 b{ 丫l 无2┌─┐│斤│└─┘证明如图1日川一丫(二2一二,)2 (,2一,J)2 ,/1,,2一,l、2苏,一不“习‘宁场砰i万’一音‘一,·‘七厂“3 “’把,3一0.,3一0代入书式得J一l:2一:,}们不砰 S。一2应用李l:,一:1卜}。}艺’甲尹中学数学(湖…     

名校基础知识自测

初一年级北京第十二中学初中部(100071)梅葱娟一、选择题1.下列各式,去括号正确的是(). (A)a十(b一c+d)一a一b十c一d (B)a一(b一c一于d)一“一b一‘+d (C)“一(b一〔+d)一一b+c一d (D)u一(b一。+d)一“一b+c+d2.若多项式A与B互为相反数,且A一丫一a2+a,则 多项式B是(). (A)一a3一aZ斗a(B)一a3+aZ一a ((’)a3+aZ一a(D)一a3+aZ+a3.若数。增加它的二%后得到数b,则b等于(). (A)a·、:%(B)a(l+x%) ((’)“十二%(I))a(l+二)%1.将(二一妇十2(二一妇+4(y一对合并同类项等于 (). (A)沈一少(B)一(x一少) (C)一‘万一夕(D)x+y5.若A和B都是6次…     

一个乘法公式的应用

初中代数第二册第116页介绍r可化为巧十农叶b)二+。b型的二次三项式的因式分解,给出r如下公式 了+(a+b),+ab=(J一+u)(:,十方) 此公式的实质在于找出两个数,使它们的和为a+b,积为ab即可. 公式中的,可肴着是个特殊宇f:f,’‘1然也可以是·个解析式(包括数字),‘节握r这·点有时会给解题带来很多方便.例1化简l一‘z(l.十‘“·厂一(“十‘功解:原式二 1一丫〔l+aJ十(a+z今〕(l+‘一、,一(‘,+、,)〕 (l+‘:)(1一‘幻(l+a)(l击二了)(l一a)(l一J) l一(l+沈,)(l一‘,)· .例2解方程5.’“+J一‘r板不巧一2二(). 解:原方程可化为 (屹于丁面)”一…     

(2n—1)次插值样条的误差分析

县1.函数在两点的插值多项式及其导数的余项满足条件P盆乏己,:(a‘)二F(”,)(a‘),i二o,1;j二o,1,2,…,n一1}一均多月!人(1 .1)其中h=al一a。,v二一1(x)二艺〔F(“,)(a。)f:,+1(v)+F(“’)(a,)夕:,一卜1(v)]hZ’, 7二0兰二粤,xc〔a。,。1],称为尸(二)在两点a。及a,的(2。一‘) h’一’~‘一“’一二J”‘’/J‘、一z‘一’“、、一“人“一火卜“、一”次插值多项式.这里f:,*:(。)及夕:,十,(v)是Zj+1次多项式,它们的定义及系数的算法见〔2〕及〔3〕. 定理1设F(x)任CZ“〔a。,al〕,则存在雪〔(a。,al),使得F(二)=艺[F(2’)(a。)f:,十1(…     

用三角法求 y=(ax+b)~1/2±(cx+d)~1/2型函数的值域

一、关于,*而不兀.+杯舀了万型函数的值域ax+吞二犷sin22.cx+J二犷eos4a注意到y>o,就可得到以sinZa消去x,就可得到以sec“a(或tg“a)为白变量,以y为函数的三角函数式,从而直接求出原函数的值域。 (2)当g<0时,令一y=夕‘.cx+J二夕Zsee4aax+b“夕佗tg4a设设消去x,cosZ。)为自变量,以g为函数的三角函数式,而直接求出原函数的值域。(或从求函数,二万二万+丫反二厄的值域。3x+5二犷sin4ax一2=犷eos月a(o<。‘李) 乙消去x,仿(l)就可求得夕‘的范.围,从而求出原函数的值域。 2.如果a。<0,应分g)()和夕‘0两种情况,仿照l中的(z)、(2)分别求出夕〕(…     

一个不等式的推广

文〔1〕证明了这样一个不等式:已知x,y任R一卜,且x十y,,,1、,1、一9乙久、x一丁’、y一丁少、万二1,求证:一(2一粤)2 乙’经过思考、探究,我证明了以下命题.命题(xZ-若1、x,yeR十,且x十y二1,则)(夕2一步,)“一奇,’,一步,)‘8一青,’· y夕因0相似文献   

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…     

一类不等式的证明、推广及应用

考察下面一组不等式:若u、b〔R,且“+b“L_.11、l_!、_25则(“+言)(b+言))分二(2+告)’=l,《l)、..r夕才苦万,、‘若a、权“〔R+,且a+则(a+告)(。+寺)(‘+b+f“生))‘Il《只其)I‘.1、,_、一六下布一二1.币十二犷l,气乙) ‘口、。》I(告一:)+2)(卜,)(斗一:)+:一,+干·不应用这·结论.(2)式是很难i正币冬手的, (_几) 沿川(2)的证法或用数学归纳法去证明推万”了的《3)式,都将会遇到十分未杂的运竹.难以奏效,必须另辟新径.分析:(.r,+止如若上不等式皆正确,有理由猜侧:若￡〔R舟(;二l,艺,…,,)It、.+:,+…+x.二l件乙,11调协这,,个因式,能否…     

谈一道因式分解题的应用

在l4i学因式分解内‘序‘扣画式护,护王。‘一3。b‘、.熟冬.现攀只脚朴较简的二种若夕掩节十乡冬+e“3。。。;、常见这祥对可二此题,·道越,,、分添分解演踌濒一一执。十;、。了〔萨扮、价小、朴一。污 乙,,.月、甸。确)a戒,尔J。,卜3叻“护。b、。‘.。‘(a七好‘)〔(。+b)’卜‘“+句见+、‘,“〕 右和厂.一;‘“冲+等(。衬+七)(。’千6“+eZ一ub一be一。。) 山此,‘容易礴到以下}、、个戈撇的结论.吸一)着a;+6十。=o,则了:aa+b“+‘·“”3 abc.(2)角于丈。+b+c)(。“+b“+e“一ab一be一e的 若设a>o,吕>今屯_咚>o几.·熨!1 11!。+b+。>…     

十一、坐标变换、参数方程、极坐标

A组 一、选择题 1.抛物线3犷一6y+x=0的焦点到准线的距离为()。渗一数方程lx二’g“+c‘ga ‘y=n〔刁表示的图形是(seca十eosa(a毕等.(A)合(。音;(e)会;(o)去(A)直线;9.直线(B)椭圆;)的一部分。(C)双曲线;(D)抛物线.专t一3+t(t是参数)与圆y二 2.在xog坐标系中,曲线S:卢艺尤,妇二o上一点M的坐标为(l,0),经坐标轴平移后,在新坐标系x,o苦’中,M的坐标为(2,3)。则在坐标系x,o苦’中,曲线S的方程为()。 (A)F(x,+l,夕,+3)“o;(B)F(x‘一l,夕’+3)二o; (C)侧x乞1,,七3)二o;(D)F(x’+一,夕乞3)=(). 3.双曲线丫一犷+sx一149一133二0的两条渐近…     

自我检查练习题

一、初中自我检查练习题①填空(用适当的数、式或符号填到横线上)z)若a(b乙B>艺C.那末匕月_60’,乙B_45。,乙C_60’. 9)口A厅CD的对角线的交点为。,在较长的对…     

数学问题解答

1989年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出)601.解方程解:令y=扩 1 1劣。一万-1戈一一一一二十只一万一一气犷一一一气二乙劣~-乙X一1乙X“一j劣一4一2(,),则原方程化为:夕,一2:千1卡一竺一=2’2夕一3劣 b。=a。一500,.‘.a,一500=1000·2卜1, a。一100‘0·2”一1 500>2024500, 2”一’)1024即2卜,)2’” n一1>10、即兄)11可见2000年猪场存栏数将超过1024500只. 603.△ABC是边长固定的正三角形,D为B口边上的动点.取△ABD的外心口,,△ACD的外心仇,作01君,土B口于E:,口2E2土BC于去分母并整理得: 4犷一15劣y 14尹 Zy一41二O (夕一2:…     

开拓思路 绕过难点

扭:~投万厂数x、y、份满足不等式:犷勺,一尹+犷斗一“’一‘仁尹低卜夕’2二夕 Zyz忿之%二是与匕个几角}形的三边长.>1求沁_:x、y、这是八一七年_}海巾刊中数于竟赛试题的最后一题,给分最淌(18分),难度也较大. 常规思路是:x、y、二是父个三角形的三边长今今少+二>,:十二>.,二十少>.为获得介·十:一二,刃十‘一y,戈+一二,对题给不等式变形: :(x“+、,“一二“)+*(,,2+二“一x“)+少(二“卜x“一夕:).一2二y友>。*然后分解因丘听俘:又y+二一x)xL:+二一.v)(汾+y“习知.、**’ 共体求解过程}‘将碰到两个难点:一兄山*式因式分解获得、**式;二是…     

1993年高考试题解法集锦 理科第(29)题别证

题 :已知关于:的实系一数方程:,十‘I:十b二0的两实数根a、刀,证明: ①若}司<2,}川<2,则2}a}<4+b且!b,<4, ②若2 la}0,即(」+吞)2>4a2, 4+b)O,.’.2!a}(4+吞,即2!。}’<4+‘且}川<4成立. ②’.’2}u】<刁+6且1乙}(4,则(4+6)2一礴‘:,=(a,一4)(声2一d))0且1 al·}刀{(4, aZ(d,刀Z<刁…     

Ⅱ 右半平面点的横坐标可负可虚

厄目:如图,已知椭圆夕犷+矿犷=矿护(a>b)0)和抛物线犷=ZPx(P>0),求它们交点的横坐标. 解:}夕了+扩犷二扩夕犷二ZPx.日口①②消声的”十2洲x一矿扩=0. 2洲 ·’·xl+心二一六介 _一_,·、护 xl‘介二一矿。,___二。.__洲,_又知xl二勿,由①得x,二。=一共冬<0. 一‘’一~’“一皿~‘扩、”由②得x;二x2二士盯(纯虚数). 此即说明右半平面上的点的横坐标可以是负值或纯虚数,即实平面也就是复平面了!声Ⅱ 右半平面点的横坐标可负可虚@肖本臣$嘉鱼县牌洲中学~~…     

一元二次方程根与系数特殊关系应用

实系数方程 (l)c=0,贝J xl竺程似’ 酝十犷O‘“‘。’有‘性质:右对二2 酝十。二0(a笋0)有。 b十,赴一专为方程的二根‘为c一a反之,:,~1,z:二axZ十酝十c~O(a并夕只理0)的二根,则。 b 。一0. (2)若对ax, 酝 c一0(a护0)有a e二b,则x,二一l,xZ二一二为 a肚2十厉十e=0(a护0)的根;     

上期课外练习参考解答

}初一年级…设20驴川’一a.则M- a+l208a+lNZO8a十l2082a+l’易知由2M>N. 1 .12关1~又代丫尸育十二下犷丁一二戈丫厂丁-尸-丁丫一弋尸, 乙入1气乙一卜1)气1一卜八)j得百石耳几互万 A一1. l+A一2.3.设M处里程碑记数为10,+y,则N处记数为10y+工。。.,且2卫三土2_10夕+x一(10二+刃~~.”,11一73解得y一2二.(0(二(9,y)O,二,y是整数)(1)当二~1时,y~2.则M处记数为12,N处记数为21.可求得某人速度为12+(11一7)一3.行走。N段需(47一21)一3一8粤(小时)与行走不到1一-一’~’-一’-一3’田心’,’.一’一‘-小时矛盾.(2)设二~2则y~4,则M处记数24,N…