关于“焦点三角形”面积的求法

椭圆(或双曲线)上任意一点与其两焦点连线构成的三角形称为焦点三角形,解与焦点三角形有关的问题,尤其是解决有关面积的问题时,如果能紧扣圆锥曲线的定义,并结合正弦定理和余弦定理,就能图1　例1图达到顺利求解的目的.例1　已知椭圆的方程为ｘ24 ｙ23=1,Ｆ1,Ｆ2是椭圆的左右焦点,Ｐ是椭圆上一点,且∠Ｆ1ＰＦ2=60°,求△Ｆ1ＰＦ2的面积.解法1　∵ａ2=4,ｂ2=3,∴ｃ2=ａ2-ｂ2=1,∴2ａ=4,2ｃ=2.如图1,设|ＰＦ1|=ｘ,则|ＰＦ2|=4-ｘ.在△ＰＦ1Ｆ2中,由余弦定理,　|ＰＦ1|2 |ＰＦ2|2-2|ＰＦ1|·|ＰＦ2|·ｃｏｓ∠Ｆ1ＰＦ2=|Ｆ1Ｆ2|2,即ｘ2 (4-ｘ)2-…     

双曲线焦点三角形的几个性质

如图 1 ,设Ｆ1,Ｆ2 是双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ>0 )的焦点 ,Ｐ是双曲线上的任意一点 (异于实轴端点 ) ,则称△Ｆ1ＰＦ2 为双曲线的焦点三角形 .图 1设∠Ｆ1ＰＦ2 =θ,∠ＰＦ1Ｆ2 =α,∠ＰＦ2 Ｆ1=β ,双曲线的离心率为ｅ,则△Ｆ1ＰＦ2 具有如下的性质 .定理 1｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜=ｂ2ｓｉｎ2 θ2.证明　在△Ｆ1ＰＦ2 中｜ＰＦ1｜2 +｜ＰＦ2 ｜2 -2 ｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜ｃｏｓθ= 4ｃ2 (1 )又因｜ＰＦ1｜-｜ＰＦ2 ｜ =2ａ ,所以 ｜ＰＦ1｜2 +｜ＰＦ2 ｜2 -2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜= 4ａ2 (2 )(1 ) -(2 )得2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 …     

同侧得负 异侧得正

设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ >0 )上的任意一点 ,双曲线的焦点是Ｆ1( -ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 ) ,易知双曲线的焦半径公式为 |ＰＦ1| =|ａ +ｅｘ0 | ,|ＰＦ2 | =|ａ-ｅｘ0 | .如何快速去掉绝对值符号呢 ?笔者发现 ,若Ｐ ,Ｆ1(Ｆ2 )在 ｙ轴的同侧 ,则|ＰＦ1| =- (ａ +ｅｘ0 ) ,|ＰＦ2 | =- (ａ -ｅｘ0 ) ;若Ｐ ,Ｆ1(Ｆ2 )在 ｙ轴的异侧 ,则|ＰＦ1| =ａ +ｅｘ0 ,|ＰＦ2 | =ａ -ｅｘ0 .以上方法可简记为 :同侧得负 ,异侧得正 .对于双曲线ｙ2ａ2 - ｘ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ >0 )而言 ,也有类似的结论 .例 1　 ( 1 988年上海…     

圆锥曲线上的点对焦点张角的性质

本文介绍椭圆或双曲线上的点对焦点的张角的一个性质 ,将它们用之解题是比较方便的 .定理 1　点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 )上的点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是左、右焦点 ,则有1)∠Ｆ1ＰＦ2 是直角的充要条件是ｘ20 =ｃ4 -ｂ4ｃ2 ;2 )∠Ｆ1ＰＦ2 是锐角的充要条件是ｘ20 >ｃ4 -ｂ4ｃ2 ;3)∠Ｆ1ＰＦ2 是钝角的充要条件是ｘ20 <ｃ4 -ｂ4ｃ2 .证　在△Ｆ1ＰＦ2 中 ,|ＰＦ1|=ａ ｅｘ0 ,|ＰＦ2 |=ａ -ｅｘ0 ,ｃｏｓ∠Ｆ1ＰＦ2 =|ＰＦ1|2 |ＰＦ2 |2 - |Ｆ1Ｆ2 |22 |ＰＦ1||ＰＦ2 |,1)∠Ｆ1ＰＦ2 是直角 |ＰＦ1|2 |Ｐ…     

负侧相加正侧减 异侧取正同侧负

应用焦半径解题 ,在高考中屡见不鲜 ,怎样又快又准地写出焦半径公式呢 ?笔者在教学中总结其方法如下 :设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )上的任意一点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是焦点 ,易知椭圆的焦半径公式是 |ＰＦ1| =ａ +ｅｘ0 ,|ＰＦ2 | =ａ -ｅｘ0 .设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上的任意一点 ,Ｆ1(-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 )是焦点 ,易知双曲线的焦半径公式是 |ＰＦ1| =|ａ +ｅｘ0 | ,|ＰＦ2 | =|ａ -ｅｘ0 | .椭圆和双曲线的焦半径公式均是 :当焦点Ｆ1在负半轴上时 ,公式为“ａ +ｅ…     

椭圆、双曲线原始方程的研究所得

高级中学试验修订本《数学》第二册 (上 )(必修 )Ｐ92和Ｐ1 0 5分别从椭圆和双曲线定义出发 ,得到集合Ｐ ={Ｍ | |ＭＦ1| + |ＭＦ2 |=2ａ}和Ｐ ={Ｍ | |ＭＦ1| - |ＭＦ2 | =± 2ａ},进而又得到(ｘ +ｃ) 2 + ｙ2 + (ｘ -ｃ) 2 + ｙ2 =2ａ( 1 )(ｘ +ｃ) 2 + ｙ2 - (ｘ -ｃ) 2 + ｙ2=± 2ａ ( 2 )我们将 ( 1 ) ,( 2 )分别叫做椭圆和双曲线的原始方程 .若将之作适当的变式研究 ,则得第 ( 1 )式的两边平方 ,得ｘ2 + ｙ2 +ｃ2 + (ｘ +ｃ) 2 + ｙ2 ·(ｘ -ｃ) 2 + ｙ2 =2ａ2 .由定义知 :(ｘ +ｃ) 2 + ｙ2 =|ＭＦ1| ,(ｘ -ｃ) 2 + ｙ2 =|ＭＦ2 | ,ｘ…     

由一道错题想到的

湖北省教研室编写的高中平面解析几何《课外作业》(2 0 0 0年 7月第 3版 )上有这样一道题 :“设Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 2ｘ2 + 3ｙ2 =6的两个焦点 ,Ｐ是椭圆上一点 ,若∠Ｆ1ＰＦ2 =90°,则△Ｆ1ＰＦ2 的面积是.(给出的答案是 2 )图 1　题目图解法 1　由椭圆第一定义结合勾股定理易整体 ,求得 |ＰＦ1|·|ＰＦ2 | =4 ,由直角三角形面积公式得此三角形面积等于2 .解法 2　由方程知Ｆ1(- 1,0 ) ,Ｆ2 (1,0 ) .设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,∵∠Ｆ1ＰＦ2 =90° ,∴直线ＰＦ1和ＰＦ2 的斜率ｋ1,ｋ2 均存在 ,且ｋ1=ｙ0ｘ0 + 1,ｋ2 =ｙ0ｘ0 - 1.依题意 :ｙ0ｘ0 + 1· ｙ…     

圆锥曲线定义与范围联用事半功倍

高级中学试验修订本数学第二册 (上 )第八章介绍了圆锥曲线的定义和范围 ,在解决有关问题时 ,若能灵活运用它们 ,则可事半功倍 .例 1　 ( 1 998年希望杯赛题 )Ｅ ,Ｆ是椭圆ｘ24 + ｙ2 =1的左 ,右焦点 ,Ｐ是椭圆上的动点 ,则 |ＰＥ|·|ＰＦ|的最小值是 .解　由椭圆第二定义知 |ＰＥ|·|ＰＦ| =ｅ| ａ2ｃ-ｘＰ|·ｅ| ａ2ｃ+ｘＰ| =|ａ -ｅｘＰ|·|ａ +ｅｘＰ| =|ａ2 -ｅ2 ｘＰ2 | =| 4- 34ｘ2 Ｐ| .由椭圆范围知ｘ2 Ｐ≤ａ2 =4 .∴ |ＰＥ|·|ＰＦ|ｍｉｎ =| 4- 34·4 | =1 .例 2　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )点Ｐ( 1 ,0 )到曲线 ｘ =ｔ2ｙ =2ｔ(…     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析1)重点 :椭圆与双曲线的定义及相关概念 ;椭圆与双曲线的标准方程及其推导 ;椭圆与双曲线的几何性质及应用 .2 )难点 :利用椭圆与双曲线的第一定义和第二定义解题 ;椭圆与双曲线的几何性质的应用 ;直线与椭圆、双曲线的位置关系及与弦有关的问题 .2　典型例题选讲例 1　已知Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的左、右焦点 ,Ｐ为椭圆上的一点 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =π3.1)求椭圆离心率的取值范围 ;2 )求证 :Ｓ△Ｆ1ＰＦ2 =33ｂ2 .图 1　例 1图讲解　由椭圆的第一定义 :|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,而 |ＰＦ1| ,|ＰＦ…     

椭圆中最值问题错解析因

问题　Ｆ1 、Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ>0 )的左、右焦点 ,过焦点Ｆ1 作弦ＡＢ与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,求△ＡＢＦ2 面积的最大值 .错解　由椭圆的定义知|Ｆ1 Ｂ| + |Ｆ2 Ｂ| =2ａ ,|Ｆ1 Ａ| + |Ｆ2 Ａ| =2ａ ,∴　△ＡＢＦ2 的周长 2 ｐ =4ａ ｐ =2ａ .据海伦———秦九韶公式知Ｓ△ＡＢＦ2 =ｐ·( ｐ -ａ) ( ｐ -ｂ) ( ｐ -ｃ)≤ｐ·( ｐ3 ) 3=3·ｐ29=439ａ2 ,∴　△ＡＢＦ2 的面积的最大值为439ａ2 .剖析　忽视了等号成立的条件 ,ｐ -ａ =ｐ-ｂ =ｐ -ｃ即△ＡＢＦ2 为正三角形时 ,等号取得 .设Ｂ1 是椭圆短轴的一个端点 …     

一道椭圆错例引发的思考

在椭圆教学中,我们曾选用北京四中高中数学讲义《解析几何》Ｐ141例6.即例题　已知Ｆ1,Ｆ2是椭圆ｘ2100 ｙ264=1的两个焦点,Ｐ是椭圆上一点,且∠Ｆ1ＰＦ2=23π,求△Ｆ1ＰＦ2的面积.图1　例题图解　设|ＰＦ1|=ｍ,|ＰＦ2|=ｎ.∵Ｓ△Ｆ1ＰＦ2=12ｍｎｓｉｎ23π=34ｍｎ,∴欲求Ｓ△Ｆ1ＰＦ2,只需求出ｍｎ的值.　　由已知椭圆方程ｘ2100 ｙ264=1,知ａ=10,ｂ=8,ｃ=6,ｍ ｎ=2ａ=20,ｍ2 ｎ2-2ｍｎｃｏｓ23π=|Ｆ1Ｆ2|2=4ｃ2=144.即　(ｍ ｎ)2=400,ｍ2 ｎ2 ｍｎ=144.∴ｍｎ=256,从而Ｓ△Ｆ1ＰＦ2=34×256=643.分析上面的解法过程确无疏漏之处,但是椭圆…     

关于曲线的离心率

1　求离心率的值对于求曲线的离心率的值的题目 ,应从曲线的性质入手 ,通过距离之间的关系 ,来求离心率 .例 1　 ( 1999年全国高考题 )设椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的右焦点为Ｆ1 ,右准线为ｌ1 .若过Ｆ1 且垂直于ｘ轴的弦的长等于点Ｆ1 到ｌ1 的距离 ,则椭圆的离心率是 .解　设Ｆ1 (ｃ ,0 ) ,则右准线为ｌ1 :ｙ =ａ2ｃ ,将ｘ =ｃ代入椭圆方程 ,得ｙ =±ｂ· ａ2 -ｃ2ａ2 =± ｂ2ａ .即过Ｆ1 的弦长为 2 |ｙ| =2ｂ2ａ .∴ ａ2ｃ -ｃ =ａ2 -ｃ2ｃ =2·ｂ2ａ=2·ａ2 -ｃ2ａ .故　ｅ=ｃａ =12 .例 2　根据下列条件分别求出各圆锥曲线…     

综合题新编选登

题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…     

圆锥曲线通径长公式的应用

定义　过圆锥曲线焦点作垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 .定理　椭圆、双曲线、抛物线通径长为2ｅｐ( ｐ为圆锥曲线焦点到相应准线的距离 ) .证明　抛物线 (略 )、椭圆、双曲线的通径长均为2ｂ2ａ ,而 | ａ2ｃ-ｃ| =ｂ2ｃ=ｐ ,∴　2ｂ2ａ =2× ｃａ×ｂ2ｃ=2ｅｐ .例 1　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 )的焦点且垂直于ｘ轴的弦为ＡＢ ,Ｏ为抛物线顶点 ,则∠ＡＯＢ(　　 ) .　 (Ａ)小于 90°　 (Ｂ)等于 90°　 (Ｃ)大于 90°　 (Ｄ)不能确定与 90°的大小图 1解　∵　通径长为2 ｐ ,如图 1 ,∴　 |ＡＦ| …     

运用向量的一个性质研究不等式

新教材增加了向量的内容 ,其中两个向量的数量积有一性质 :|ａ—→·ｂ—→|≤ |ａ—→|·|ｂ—→|,当ａ—→ 与ｂ—→ 同向时ａ—→·ｂ—→= |ａ—→|·|ｂ—→|,当ａ—→ 与ｂ—→ 反向时ａ—→·ｂ—→ =- |ａ—→|·|ｂ—→|,也即当ａ—→ 与ｂ—→ 共线时 |ａ—→·ｂ—→|=|ａ—→|·|ｂ—→|.运用这一性质解证不等式问题 ,给人耳目一新之感 ,使人收获颇丰 .1.求最值例 1　已知ｍ ,ｎ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ ,且ｍ2 +ｎ2 =ａ ,ｘ2 +ｙ2=ｂ,那么ｍｘ +ｎｙ的最大值为 (　　 ) .(Ａ)ａｂ　　　　　 (Ｂ) ａ +ｂ2(Ｃ) ａ2 +ｂ22 (Ｄ) ａ2 +ｂ22解…     

椭圆“特征焦点三角形”的一个性质

椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质　椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证明　不妨设椭圆方程为 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,两焦点Ｆ1 (-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,Ｐ是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|ＰＦ1 | + |ＰＦ2 | =2ａ ,|Ｆ1 Ｆ2 | =2ｃ.当Ｐ与椭圆长轴的端点重合时 ,∠Ｆ1 ＰＦ2=0 ,显然α >∠Ｆ1 ＰＦ2 .…     

椭圆特征焦点三角形的一个性质及应用

椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质　椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证　不妨设椭圆方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ>0 ) ,两焦点Ｆ1( -ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,Ｐ是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,|Ｆ1Ｆ2 | =2ｃ.当Ｐ与椭圆长轴的端点重合时 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =0 ,显然α >∠Ｆ1ＰＦ2 .当Ｐ…     

圆锥曲线中的常用方法

高考中 ,圆锥曲线解答题常作为把关题或压轴题 .定义法、待定系数法、参数法是解圆锥曲线题中不可忽视的三种方法 ,要努力提高应用这三种方法解决圆锥曲线问题的意识和能力 .1　定义法例 1　△ＡＢＣ的三边ａ >ｂ>ｃ成等差数列 ,Ａ ,Ｃ两点的坐标分别是 (- 1,0 ) ,(1,0 ) ,求顶点Ｂ的轨迹 .解　设Ｂ点的坐标为 (ｘ ,ｙ) .∵ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列 .∴ａ +ｃ=2ｂ ,即 |ＢＣ|+|ＢＡ|=2 |ＡＣ|.∴ |ＢＣ|+|ＢＡ|=4 .根据椭圆的定义易知 ,点Ｂ的轨迹方程为ｘ24 +ｙ23=1.又∵ａ >ｂ >ｃ ,∴ａ >ｃ　即 |ＢＣ|>|ＡＢ|,∴ (ｘ - 1) 2 +ｙ2 >(ｘ +1) …     

双曲线的一个有趣性质

在对圆锥曲线的研究中 ,笔者发现了双曲线的一个有趣性质———一种曲线到自身的变换 .定理　给定双曲线Ｃ :ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ>0 ) ,Ｐ1 是Ｃ上不在顶点的任一点 ,Ｐ1 Ｐ2 是Ｃ的垂直于ｙ轴的弦 ,Ｍ1 (Ｏ ,-ｂ) ,Ｍ2 (Ｏ ,ｂ)是Ｃ虚轴的两个端点 ,则直线Ｐ1 Ｍ1 与Ｐ2 Ｍ2 的交点Ｐ仍在Ｃ上 .证明　设Ｐ1 (ｕ ,ｖ) (ｖ≠ 0 ) ,则Ｐ2 (-ｕ ,ｖ) .直线Ｍ1 Ｐ1 :ｙ ｂ=ｂ ｖｕ ｘ①直线Ｍ2 Ｐ2 :ｙ-ｂ=ｂ-ｖｕ ｘ②由① ,②解得ｕ=ｂｘｙ ,ｖ=ｂ2ｙ.因Ｐ1 点在Ｃ上 ,故ｂ2 ｕ2 -ａ2 ｖ2 -ａ2 ｂ2 =0 .所以ｂ2 ·ｂ2 ｘ2ｙ2 -ａ2 …     

关于近地点与远地点的补充证明

现行高中课本《平面解析几何》(必修 )Ｐ75 例 2 ,求我国第一颗人造卫星的轨道方程 .在解答中默认了近地点Ａ与远地点Ｂ就是椭圆长轴的两个端点 .但这一结论在课本中并没有证明 ,严格说来是不够严谨的 ,同时也容易让同学们产生疑惑 ,现给予补证 ,供同学们参考 .命题　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )中 ,长轴右(左 )端点到右 (左 )焦点距离最短 ,到左 (右 )焦点距离最长 .证法 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 )上任意一点 ,则 ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1,又设右焦点为Ｆ2 (ｃ,0 ) ,从而有|ＰＦ2 | =(ｘ0 -ｃ) 2 ｙ2…