0,{0},φ与{φ}

在学习了空集的概念后 ,很多学生搞不清楚 0 ,{ 0 } , ,{ }之间的关系 ,一些学生甚至错误地认为 0 ={ 0 }= ={ } .0不是一个集合 .{ 0 } , ,{ }都为集合 ,其中 { 0 }为含有一个元素 0的集合 , 为不含任何元素的集合 ,{ }为含有一个元素 的集合 ,这里的 作为集合 { }的一个元素 .于是有 0∈ { 0 } ,0 ,0 { } .因 是任何集合的子集 , 是任何非空集合的真子集 ,故有 { 0 } , { 0 } , { } , { } .虽然 是一个集合 ,但它又是集合 { }的一个元素 ,所以 , ∈ { } .0,{0},φ与{φ}@范长如$河南省唐河县第一高中!473400…     

高中课标数学1使用过程中学生典型的困惑

本文是笔者在使用人教版高中课标数学1A版所进行的教学实践中学生典型的困惑纪要.1针对“把集合的元素一一列举出来”,某学生提出,是否每个元素都要写出?2针对“所有奇数的集合E={x∈Z|x=2k 1,k∈Z}”,某生提出,集合Z比集合E“大”,为什么Z在E内,集合E反而比集合Z“小”?集合的“范围”是否随着“分隔符”后面的条件越来越多而变得越来越小?3针对“{x|x是两条边相等的三角形}”,某生提出,x是实数,怎么又是三角形?4针对“把不含任何元素的集合叫做空集”,某生提出,空集里没有元素,既然没有元素,为什么还要定义为集合?5针对“空集是任何…     

解集合题时你注意到空集θ的性质了吗?

对于空集合 ,有如下性质 :1) ∈ { } ; { } ;2 )空集是任何集合的子集 ,即 Ａ ;3)对任意集合Ａ ,皆有Ａ∩ = ;4)对任意集合Ａ ,皆有Ａ∪ =Ａ .在解题时若忽视这些就会出错 .例 1　设Ａ∩Ｂ = ,Ｍ ={ｍ |ｍ为Ａ的子集 } ,Ｎ ={ｎ|ｎ为Ｂ的子集 } ,那么(　　 )(Ａ)Ｍ∩Ｎ = .(Ｂ)Ｍ∩Ｎ ={ } .(Ｃ)Ｍ∩Ｎ =Ａ∩Ｂ .(Ｄ)Ｍ∩Ｎ Ａ∩Ｂ .错解　因为Ａ∩Ｂ = ,所以集合Ｍ ,Ｎ中不可能有公共元素 ,因而Ｍ∩Ｂ = ,故选 (Ａ) .辨析　由于Ａ ,Ｂ的子集中均有 ,即 Ａ , Ｂ ,但Ａ∩Ｂ = ,所以Ｍ∩Ｎ= { } ,注意 { }不是空集 ,而是含有…     

漫谈“空集”

什么叫做空集?新编高中《数学》第一册第五页上写着“不含任何元素的集合,叫做空集”. 回顾集合的定义“一些确定的元素组成的整体叫做集合”[见本刊1981年第2期第4—6页]。如果我们用这个定义来理解上面所说的空集定义,这就说明在空集定义中已经承认了“整体”中可以“不含任何元素”,而且把“不含任何元素”所组成的“整体”也认为     

争鸣

问　题　　问题 1 2 　在高中新教材《数学》第一册 (上 )教参第 5页中 ,教参要求不必让学生去辨析 { }与 的关系 ,但在实际数学中 ,我们发现学生由于对空集 感兴趣 ,因而对 { }与 的关系免不了进行讨论 ,并求助于老师 ,现有三种观点 :观点 1　认为 是 { }的元素 ,即 ∈ { } ,因为 { }中含有 ,这里应将 看作一个符号 ,而不能视 为空集 .观点 2　认为 是 { }的子集 ,即 { } ,因为 是教材规定的表示空集的专用符号 ,而不宜将 视作一个毫无意义的纯粹符号 ,既然 表示空集 ,那么 与 { }只应是集合与集合之间的关系 .观点 …     

新说“空集”那些事

<正>按理说,空集本是一个简单的概念,只是定义了不含任何元素的集合.但就是这个若隐若现的集合给刚上高中的同学们在学习时造成了很大的困难,下面老师就来帮助同学们解决这个困难.1.两个不同与三种表示?与{?}不同,?中不含有任何元素,而{?}中只有一个元素,它就是?,就如同大气     

空集的自述

我姓空,我的名字叫空集,我是不含任何元素的集合,可谓腹中空空,一无所有,不过你们别小觑我啊,我的本事大着呢!不信,我说出来,别吓你一跳哟!1.特殊的我我是集合大家庭中的一员,不含任何元素的     

解集合题常见的错误剖析

1　忽视特殊的集合空集致误例1　已知A={x|x2-3x 2=0},B={x|x2-bx 2=0},若BA,求实数b的范围.错解　A={1,2}把x=1和x=2分别代入方程x2-bx 2=0均有b=3,这时B={1,2}满足BA∴b=3.剖析　因为空集是任何集合的子集,所以上面的解答忽视了空集的特殊情形,而当B=时,Δ=b2-8<0,即-220,所以x≠0,y≠0,故由A=B知lg(xy)=0x=yxy=|x|　或　lg(xy)=0x=|x|xy=y解得x=y=1或x=y=-1.剖析　当x=y=1时,A…     

例谈子集个数公式及其应用

<正>子集和真子集的个数是集合之间关系的一个知识点,为了帮助低年级的同学们更好地掌握这一知识,现介绍如下:1子集个数公式的推导不含任何元素的空集?,其子集为自身?,共有1个子集;含有1个元素的集合{a_1},其子集除?外,还有在?中,加元素a_1的集合{a_1},共有2个子集;含有2个元素的集合{a_1,a_2},其子集除?,{a_1}外,还有在这2个子集中,加元素a_2的2个子集:{a_2},{a_2,a_2},共有2 × 2=2²个子集;     

空集的自述

我姓空,我的名字叫空集,我是“不含任何元素”的集合,可谓“腹中空空”,一无所有,不过你们别小觑我啊,我的本事大着呢!不信,我说出来,别吓你一跳哟!     

例说集合解题中的前思后想

解集合问题 ,应先从以下几个方面审题 :①弄清集合中元素的构成 ;②理解集合间的关系 ;③注意空集的存在性 ;④准确地转译集合语言 .此即所谓的“前思” .题目解完之后 ,又应注意做一些检验工作 ,如检验集合中元素是否互异等 .此即所谓的“后想” .例 1　已知集合Ａ ={ｘ ,ｘｙ ,ｌｇ(ｘｙ) },Ｂ={0 ,|ｘ| ,ｙ},若Ａ =Ｂ ,求ｘ ,ｙ的值 .分析与解　由Ａ =Ｂ知需分多种情况讨论 .若ｌｇ(ｘｙ)有意义 ,有ｘｙ >0 ,又 0∈Ｂ =Ａ ,则必有ｌｇ(ｘｙ) =0 ,即ｘｙ =1.此时 ,Ａ =Ｂ ,即{0 ,1,ｘ}={0 ,|ｘ| ,ｙ}.经过这一番思考 ,问题归结为两种情况…     

集合“交替和”的探求

在“2005年地方联考题”中有这样一题:对于集合N={1,2,…,n}及它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集元素,然后从最大数开始交替地减、加后继的数,例如集合{1,2,4,6,9}的“交替和”是9-6 4-2 1=6,集合{5}的“交替和”为5,当集合N中的n=2时集     

一个不可忽视的集合——空集

<正>空集是一个极其特殊又非常重要的集合,它不含任何元素,空集具有如下性质:①对任意集合A,都有?A=?和?∪A=A;②对任意集合A,都有??A;③对任意非空集合A,都有??A.正因为空集的特殊性,常常成为备类考试的热点.而在解题过程中常因忽视空集的特殊性而导致错解,所以我们在学习过程中一定要谨慎小心.下面举几例说明,以供同学们参考.     

什么是悖论

在上世纪初前后,有一类自相矛盾的语句引起了数学家们的关注.他们为了在数学的基础性研究中避免类似的矛盾而煞费苦心,从而促进了数学基础及数理逻辑的发展.这类语句称为悖论,现在举几个例子.1罗素悖论哲学家兼数学家罗素(B.Russell)在考虑集合的理论时,想到了“所有的集合”,以及“所有的集合”是否也能组成一个集合呢?如果能,记它为A,则应有:(集合)A∈(所有的集合组成的)A.但我们日常所见到的集合并不如此,例如集合{a},它只有1个元素a,而{a}就不是{a}的元素了.所以,我们日常见到的任一集合S,都具有S S这样的性质.现在考虑“所有适合S …     

也谈把"0"作为一个自然数

《数学通报》2 0 0 1年第 1期王尚志老师“为什么要把‘0’作为一个自然数”一文用浅显明白的语言阐述了把“0”作为自然数的“解释” ,但我们感觉 :若不用公理集合论的语言说明 ,似乎意犹未尽 ,下面谈谈我们对此问题的看法 .在公理集合论中 ,我们有如下公理 :Ⅰ外延公理 : ｘ ｙ( ｚ(ｚ∈ｘ ｚ∈ｙ) →ｘ=ｙ)即集合是由它的元素所唯一决定的 .Ⅱ空集存在公理 : ｙ ｘ(┐ (ｘ∈ｙ) )即存在一个集合 ,它没有元素 .据外延公理 ,这个集合是唯一的 ,我们将它记作 .Ⅲ二元集公理 : ｕ ｖ ｚ ｘ(ｘ∈ｚ ((ｘ=ｕ)∨ (ｘ=ｖ) )即对任意两集合ｕ和…     

警惕解题中的遗漏

解题时 ,只把注意力放在一般情形上而遗漏了特殊情形通常会造成答案不完备 .现将遗漏特殊情形出现解答不完整的部分典型例题曝光如下 ,以期引起同学们注意 .例 1　已知ｘ∈Ｒ ,集合Ａ ={ｘ|ｘ2 -3ｘ 2 =0 },Ｂ ={ｘ|ｘ2 -ｍｘ 2 =0 },若Ａ∩Ｂ =Ｂ ,求实数ｍ的取值范围 .解　Ａ ={1,2 },由于Ａ∩Ｂ =Ｂ ,则Ｂ Ａ ,∴Ｂ ={1}或Ｂ ={2 }或Ｂ ={1,2 },∴ｍ =3 .评析　以上解答遗漏了“空集是任何集合的子集” ,特殊情形Ｂ = 亦符合条件 .完整解答应补充Δ =ｍ2 -8<0 ,即-2 2 <ｍ <2 2 .　　∴ｍ的取值范围是 ( -2 2 ,2 2 )∪ {3 }.例 2　在等…     

集合问题错解剖析

集合是数学中最基本概念之一 ,它是进一步学习其它数学知识的基础和基石 .因此 ,它在高中数学中有比较重要的地位 .但是由于集合的概念比较抽象 ,许多学生在解题过程中会因某种原因而致误 .现剖析如下 :1　忽视空集而致误例 1　已知集合 A ={ x|x2 - 1 =0 } ,B ={ x|ax - 1 =0 ,a∈ R} ,且 A∪ B =A,求 a的值 .错解　 A ={ - 1 ,1 }要使 A∪ B=A,只需 a× (- 1 ) - 1 =0或 a× 1 - 1 =0 ,∴　 a的值为 1或 - 1 .剖析　上述解答是因为忽视了空集的性质 A∪ =A,而出错的 ,事实上 ,当 B= ,即 a =0时也符合题意 .∴　正确答案是 a的值…     

高考临近给你提个醒

高三的同学 ,当你即将迈进考场时 ,对于下面的问题 ,你是否有清醒的认识 ?我们在这里给你提个醒 .1 .研究集合问题 ,一定要抓住集合的代表元素 ,如 :{x| y =lgx}与 {y| y =lgx}的区别 .2 .进行集合的交、并、补运算时 ,不要忘了集合本身和空集的特殊情况 ,不要忘了借助于数轴和文氏图 .3.你会用补集的思想解决有关问题吗 ?4 .你对映射的概念了解了吗 ?映射 f :A→B中 ,你是否注意到了A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性 ?哪几种对应能够构成映射 ?5.求不等式 (方程 )的解集 ,或求定义域时 ,你按要求写成集合形式了吗 ?6 .求一个函…     

一个例题的注记

《中学生数学》2 0 0 2年 9月上期 13页例5 :“在等差数列 {an}中 ,已知a1 =2 5 ,S9=S1 7.求S2 6 的值 .”分析与解　根据等差数列前n项和的函数图像 ,确定S2 6 的大小 .因 {an}是等差数列 ,所以可设Sn=An2 +Bn .二次函数的图像过原点如图 .因S9=S1 7,由图可知S2 6 =0 .”这个方法被称为“借助图像减元” ,把很复杂的问题简化了 .除简化计算方法以外 ,上述解法或许还会启发我们问 :原题“已知a1 =2 5”是否是多给条件 ?(以上解法中没有用到这个条件 )今试用他法解之 :因S9=S1 7,　∴　a1 0 +a1 1 +… +a1 7=0也即 8a1 + 10 0d =0 .将a1…     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1能否将集合{1,2,…,33}等分为11个互不相容的子集合.每个子集合含3个元素,使得每个子集合中一个元素是另两个元素之和?证不可能.假设集合{1,2,…,33}能被划分为互不相容的子集合A1,…,A11,其中Ai={ai,bi,ci}且ai bi=ci(i=1,2,…,11).因33k=1k=33×342=561为奇数,另一方面33k=1