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1.
1 求证:对于所有的a,方程(a3-2a2 7a)x2-(a3 4a2 9a 6)x 5a2 4=0至少有一根.2 求证:如果2a 3b 6c=0,那么二次方程ax2 bx c=0在区间(0,1)内至少有一根.3 令x1,x2是方程x2 ax b=0的二根,b≠0.求方程bx2 a(b 1)x (b-1)2 a2=0的根.4 在a,b,c间有何种关系时,方程组ax2 bx c=0bx2 cx a=0cx2 ax b=0有解?5 求证:如果a,b,c是一个三角形的边长,那么方程b2x2 (b2 c2-a2)x c2=0没有实根.6 求证:s=p1 p2 … pn 1时,n个方程x2 x p1=0,x2 x p2=0,…,x2 x pn-1=0,x2 …  相似文献   

2.
众所周知 ,对于一元二次方程ax2 bx c =0(a≠ 0 ,a ,b,c∈R) ,当Δ =b2 - 4ac≥ 0时 ,在实数集内有两根 ;当Δ <0时 ,在实数集内无根 ,但在复数集内有两根 .但对形如ax2 b|x| c=0 (a≠ 0 ,a ,b,c∈R)的方程 ,其根的情况与系数间的关系就复杂得多 .以下是关于此方程根的存在性情况的讨论 .1 在实数集内根的情况结论 1 对方程ax2 b|x| c =0 (a≠ 0 ,a ,b ,c∈R) (Ⅰ )当a ,b ,c满足条件b2 - 4ac >0- b2a>0ac>0(1)时 ,在实数集内有四个根 ;当a ,b ,c满足条件b2 - 4ac >0ac<0 (2 )时 …  相似文献   

3.
本刊 2 0 0 1年 18期《解一类“恒成立”问题的五种方法》、2 0 0 2年 12期《一类“恒成立”问题的又一解法》等文 ,先后介绍了求解“恒成立”问题的诸多方法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再介绍一种简捷新颖的方法供同学们借鉴、参考 .题目 已知当x∈ [0 ,1]时 ,f(x) =x2 +ax + 3-a >0恒成立 ,求a的取值范围 .解 原不等式变形为ax + 3-a >-x2 .设 g(x) =ax + 3-a ,h(x) =-x2 .由于x∈[0 ,1]时 ,[h(x) ]max=0 ,所以欲使 f(x) =x2 +ax+ 3-a >0在x∈ [0 ,1]上恒成立 ,只要 g(x) =ax+ 3-a在x∈ [0 ,1]上…  相似文献   

4.
邱旭 《数学通讯》2001,(20):4-5
形如 y =ax2 bx cdx2 ex f(其中a2 d2 ≠0 )的有理分式函数一般可转化为关于x的一元二次方程 (dy -a)x2 (ey -b)x (fy-c) =0 (以下简称方程※ ,其中将 y看作方程的系数 ) ,由方程有实根的条件Δ≥ 0来求函数值域的方法叫做“判别式法” .在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹 .例 1 求函数 y =x2 -xx2 -x 1 的值域 .解 函数式变形为(y - 1 )x2 (1 - y)x y =0 (1 )当 y =1时 ,方程 (1 )为 1 =0 ,这显然不成立 ,因此 y =1不在函数值域中 :当 y≠ 1时 ,∵x∈R …  相似文献   

5.
初中数学中的定义有许多“不等于零”的规定 ,应予以强调和重视 .一、一元一次方程中的一次项系数“不等于零”要使一元一次方程的定义和它有唯一解的条件成立 ,教材将一元一次方程的标准形式ax +b =0和最简形式ax =b中的a规定不等于 0 .例 1 若方程 x -ba =2 -x -ab 有唯一解 ,则字母a、b之间的关系式是 .(代数第二册第 90页例 2的变形 )分析 方程可化为 (a +b)x =(a +b) 2 ,要使一元一次方程有唯一解只需a +b≠ 0 ,即a≠ -b .二、同底数幂相除时 ,底数“不等于零”在同底数幂的除法中 ,为了确保零指数幂 ,负整…  相似文献   

6.
韦达定理 :“若实数x1 、x2 是方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根 ,则有x1 +x2 =-ba ,x1 ·x2 =ca” .其逆定理是 :“若实数x1 、x2 满足x1 +x2 =-ba,x1 ·x2 =ca,则x1 、x2是方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两根” .韦达定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛题中应用也较多 .现举例如下 :例 1 已知实数a、b满足a2 +ab +b2 =1,且t =ab -a2 -b2 ,那么t的取值范围是.(2 0 0 1年TI杯全国初中数学竞赛试题 )解 由a2 +…  相似文献   

7.
胡世蒸 《数学通讯》2001,(20):13-14
1 在解不等式中的应用例 1 解不等式(1 .2 5) 1-(log2 x) 2 <(0 .64 ) 2 log xx.解 ∵ (1 .2 5) 1-(log2 x) 2 =541-(log2 x) 2=54 · 45(log2 x) 2 ,又∵ (0 .64 ) 2 log xx=(45) 8,∴原不等式可变形为5445(log2 x) 2 <458,即 45(log2 x) 2 <459.∵ 45(log2 x) 2 为单调减函数 ,∴ (log2 x) 2 >9.即log2 x >3或log2 x <- 3 .故此不等式的解是 :0 <x <18或x >8.例 2 已知 y1=ax2 -3x 1与 y2 =ax2 2x -5 ,其中a >0且a≠ 1 ,若 y1<y2 ,求x的值 .解 若a >1 ,则 y…  相似文献   

8.
初中数学中一元二次方程根的判别式的应用相当广泛 ,为使同学们在复习中系统地掌握其应用 ,现将它们归纳如下 ,供同学们参考 .应用一 :不解方程 ,判断方程的根的情况例 1 不解方程 ,判定方程 ( 3x - 5) (x - 3 ) =1 0的根的情况 .解 :整理原方程 ,得    3x2 - 1 4x + 5=0 .∵△ =( - 1 4 ) 2 - 4× 3× 5>0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式△ =b2 - 4ac时 ,方程一定要化为一般形式ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 ) .应用二 :确定方程 (组 )中未知字母的取值或取值范围例 2 m取何值时 ,方程 ( 2x - 2 ) (x - 2 ) =m无…  相似文献   

9.
对于形如 y =a1 x2 +b1 x +c1 a2 x2 +b2 x +c2(a1 a2 ≠ 0 )的函数的值域 ,我们一般采用判别式法求解 ,但在用这种方法求解的时候 ,有一个问题需要加以注意 ,否则 ,将会得到错误的结论 .例 1 求函数 y =x2 -3x + 2x2 -1的值域 .错解 将原函数变形y(x2 -1) =x2 -3x + 2 ,整理成关于x的方程(y -1)x2 + 3x -(y + 2 ) =0 ,1.y -1=0 ,即y =1,也即 x2 -3x + 2x2 -1=1,该方程无解 ,故y≠ 1.2 .y -1≠ 0 ,即 y≠ 1,得到关于x的一元二次方程 .要使方程有解 ,则Δ =32 + 4 (y -1) (y + 2 )≥ 0 ,即 (2y + 1…  相似文献   

10.
本单元知识点及重要方法本单元的主要知识点是 :指数函数y =ax(a >0且a≠ 1)和对数函数 y =logax(a >0且a≠ 1)的概念、图象和性质 ;特殊的指数方程和对数方程的解法 .其难点内容是 :1)指数型 y =af(x) 和对数型 y=logaf(x)复合函数单调性的判断 .2 )解对数方程的增根问题 .解指数方程和对数方程的基本方法有 :定义法、同底比较法、换元法 .练 习选择题1 设 0 <a <1,α >0 ,在下列四个选项中正确的选项是 (   )(A) ( 1-a) α>( 1 a) α.(B)log(1 -a) ( 1 a) >0 .(C) ( 1-a) 1 a>1.(D) ( 1-a) 1…  相似文献   

11.
A组一 .选择题 (每小题 2分 ,共 2 4分 )1 .若关于x的方程 (m -2 ) 2 x2 +(2m +1 )x +1 =0有两个不相等的实数根 ,则m的取值范围是 (  ) .A .m≤ 34      B .m <34C .m≥ 34且m≠ 2 D .m >34且m≠ 22 .在一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )中 ,若a与c异号 ,则方程 (  ) .A .有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C .没有实数根D .根的情况无法确定3 .若解分式方程 2xx +1 -m +1x2 +x=x +1x 产生增根 ,则m的值是 (  ) .A . -1或 -2 B . -1或 2C . 1或 2 D .1或 -24.用换元法解方…  相似文献   

12.
辛民 《数学通讯》2003,(7):37-38
题 6 5  已知函数 f(x) =x|x -a|(a∈R) .1 )判断 f(x)的奇偶性 ;2 )解关于x的不等式 :f(x)≥ 2a2 ;3)写出 f(x)的单调区间 .解  1 )当a =0时 ,f(-x) =-x|-x|=-x|x|=- f(x) ;∴f(x)是奇函数 .当a≠ 0时 ,f(a) =0且 f(-a) =- 2a|a|.故 f(-a)≠f(a)且 f(-a)≠ - f(a) ,∴f(x)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .2 )由题设知x|x -a|≥ 2a2 ,∴原不等式等价于   x <a-x2 +ax≥ 2a2 (1 )   x≥ax2 -ax≥ 2a2 (2 )由 (1 ) ,得 x <a ,x2 -ax +2a2 ≤ 0 .  无解 .由 (2 ) ,得 …  相似文献   

13.
对于函数f(x) =ax b cx d的值域 ,当a ,c同号时 ,显然可以用函数的单调性求解 ;当a ,c异号时 ,不能用函数单调性求解 ,近几年各数学刊物介绍了许多好的解法 .本文试给出一个求函数f(x)值域的定理 ,从根本上解决这种函数的值域求解问题 .为了叙述方便 ,设f(x) =ax b d-cx(a>0 ,c>0 ) .下面先给出一个引理 .引理 设f1 (x) =ax b ,f2 (x) =d -cx(a>0 ,c>0 ) ,则f1dc f2 - ba =f1dc f2 (x) f2 - ba f1 (x) .证明 因为f1dc f2 - ba =adc bd bca =(ad bc) 2ac ,…  相似文献   

14.
问题 若函数 y =logax与其反函数有交点 ,试确定a的取值范围 .我们来作一探讨 .设交点为P(x0 ,y0 ) ,则 y0 =logax0 ,y0 =ax0 ,即logax0 =ax0 .问题转化为 :当a在哪一范围取值时 ,关于x的方程logax =ax 有解 ?遗憾的是 ,处理这一方程 ,我们还没有一套初等的办法 ,或者说还没有象解二次方程那样的公式 ,我们只能借助于图象 .关于对数函数的图象 ,课本的正文部分给出了三个“代表” :y =log2 x ,y =log10 x ,y =log 12 x ,由此归纳出在其底数a >1及 0 <a <1这两种情况下的图象和性质 (…  相似文献   

15.
设函数 f(x) =x2 1 -ax ,其中a>0 .1 )解不等式f(x) ≤ 1 ;2 )求a的取值范围 ,使函数f(x) 在区间 [0 , ∞ )上是单调函数 .这是 2 0 0 0年理科数学高考第 1 9题 ,我参加了本题的阅卷工作 .众多试卷上的错解、妙解给人许多启迪 .对于 1 ) ,有下面典型性错解 :解原不等式 ,即解不等式 x2 1≤ 1 ax (i) 1 x2 ≤ (1 ax) 2 (ii) x≤ 0 ,(a2 - 1 )x 2a≤ 0 (1 )或  x≥ 0(a2 - 1 )x 2a≥ 0 (2 )(1 )的解为x≤ 2a1 -a2 (a >1 ) ;(2 )的解为 :当a≥ 1时 ,x≥ 0 ;当 0 <a<1时 ,0≤x≤ 2a1 -a2 .…  相似文献   

16.
韩苏 《数学通讯》2001,(22):38-40
函数f(x) =ax(a >0 ,a≠ 1)叫做指数函数 ,定义域是R .函数f(x) =logax (a >0 ,a≠ 1)叫做对数函数 ,定义域是R ,指数函数与对数函数互为反函数 ,它们的图象关于直线 y =x对称 .指数函数和对数函数是两个重要的基本初等函数 ,也是中学数学的重要内容之一 .本文我们讨论数学竞赛中的一些指数函数和对数函数问题 .例 1  (1983年全国高中数学联赛试题 )x =1log1213 1log1513的值属于区间 (   )(A) (- 2 ,- 1) .     (B) (1,2 ) .(C) (- 3,- 2 ) . (D) (2 ,3) .解 ∵x =log1312 log1315 =log…  相似文献   

17.
从另一角度审视一元二次方程 ,引出根与系数关系 .不妨设ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )有两个不为 0的根x1、x2 ,且x1≠x2 .∵ ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 ) ,∴  ca·1x=-ba-x .令y =ca·1x,则y =-ba-x .画它们的图像如图 .  由于它们的图像都关于直线 y =x对称 ,所以 ,可设两图像交于M (x1,y1) ,N(x2 ,y2 )点 .则 x1=y2 , x2 =y1,所以 x1+x2 =x1+y1=-ba.x1·x2 =x1·y1=ca.这就证明了韦达定理 (当x1、x2 均不为零的情况 ) .其它情况也可得出相应结论韦达定理的另探$山东省单县孙六张黄…  相似文献   

18.
王峰 《中学数学》2002,(2):29-30
含参数的方程有解问题是同学们在数学学习中经常遇到的一类问题 ,此类问题的应用也相当广泛 .但是面对此类问题 ,同学们往往束手无策 ,难以顺利解决 .本文将结合实例谈谈方程有解问题的求参策略 .1 等价转化混合组法此法是先把原方程转化为方程与不等式的混合组 ,然后在满足混合组中每个不等式的条件下 ,求使混合组中的方程有解的参数的取值范围 .例 1  ( 1 989年高考题 )已知 a >0 ,a≠1 ,试求方程 loga( x - ak) =loga2 ( x2 - a2 )有解时 k的取值范围 .解 原方程等价于   x - ka >0 ,( x - ka) 2 =x2 - a2 .( 1 )( 2 )由方程 ( 2 ) …  相似文献   

19.
化归是一种重要的数学方法 ,许多难度较大的竞赛题通过化归往往会收到意想不到的效果 .例 1  ( 1991年全国高中数学联赛试题 )已知 :0 <a <1,x2 y =0 .求证 :loga(ax ay)≤loga2 18.分析 由于 0 <a <1,故由对数函数的单调性 ,不等式loga(ax ay)≤loga2 18等价于     ax ay≥ 2a18( 1)这样原来的问题就转化为 :在 0 <a <1且x2 y =0的条件下 ,证明不等式 ( 1) .由条件x2 y =0 ,得 y =-x2 .从而不等式 ( 1)又可化归为ax a-x2 ≥ 2a18( 2 )注意到不等式 ( 2 )的右边有一个系数 2 ,显…  相似文献   

20.
在解题过程中 ,我们会发现有的题若按一般解法往往比较繁锁或较难入手 ,如果变换一下思维角度 ,立刻给人柳岸花明的感觉 .现举例如下 :例 1 已知函数 f(x) =3ax + 1 -2a在[-1 ,1 ]上存在x0 ,使 f(x0 ) =0 (x≠± 1 ) ,则a的取值范围是 (   ) .解法一  (常规解法 :对函数进行讨论 .)( 1 )若a =0 ,则f(x) =1 ,在 [-1 ,1 ]上不存在x0 ,使 f(x0 ) =0 .( 2 )若a≠ 0 ,要使一次函数f(x) =3ax+ 1 -2a在 [-1 ,1 ]上存在x0 ,使 f(x0 ) =0 ,必须满足f( 1 ) f( -1 ) <0 ,即  ( 3a + 1 -2a) ( -3a + 1 -2a) <0 ,∴…  相似文献   

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