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三角形余切定理及其应用 总被引:1,自引:0,他引:1
在△ ABC中 ,三内角及它们所对的边长 ,半周长 ,外接圆半径 ,内切圆半径 ,面积分别记为 A、B、C,a、b、c,p,R、r,S.本文介绍三角形余切定理及其应用——解答一些与斜三角形有关的试题 .三角形余切定理 在△ ABC中 , actg B2 ctg C2=bctg C2 ctg A2= cctg A2 ctg B2=r. 相似文献
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九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥… 相似文献
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如图,在△ABC中,设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,过B作BD⊥AC于D点.1.三角形面积公式 在Rt△ADB中, BD=c·sinA.∴S△=1/2AC·BD=1/2bc·sinA.同理S△1/2casinB,S△1/2casinC. 相似文献
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定理以△ABC的三内角A、B、C的正弦sinA、sinB、sinC为边长能组成一个三角形,且这个三角形的三内角仍为A、B、C。证设△ABC的三边长分别为a、b、c。其外接圆半径为R,依正弦定理,得 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, ∴ a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ∵ a b>c。∴ 2RsinA 2RsinB>2RsinC。∴ sinA sinB>sinC 相似文献
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在三角形ABC中,三边为a,b,c,面积为S,则有 a~2+b~2+c~2≥4 3~(1/2)S.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.这就是Weitzenboeck不等式. 对于两个三角形ABC和A′B′C′,其边分别为a,b,c,和a′,b′,c′,面积分别为S和S′,则有 相似文献
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题目:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,它的外接圆半径为6,∠B,∠C和△ABC的面积S满足条件:S=a2-(b-c)2且sinB+sinC=43,(1)求sinA;(2)求△ABC的面积S的最大值.解(1)因为S=1/2bcsinA,a2=b2+c2-2bccosA,所以由题得:12bcsinA=-2bccosA+2bc, 相似文献
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题目在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=1/23/4(a2+b2-c2),求sinA+sinB的最大值.在高三第一轮复习三角函数时,偶遇这道三角函数综合题.本题是一道以三角形为背景的三角函数最值问题,在求解过程中,必然涉及到余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识的应用. 相似文献
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<正>题目在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=1/23/4(a2+b2-c2),求sinA+sinB的最大值.在高三第一轮复习三角函数时,偶遇这道三角函数综合题.本题是一道以三角形为背景的三角函数最值问题,在求解过程中,必然涉及到余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识的应用.首先根据余弦定理和三角形面积公式可以得到关于角C的正切值,进而确 相似文献
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边长为等差数列的三角形的一组性质 总被引:1,自引:0,他引:1
98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin 相似文献
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题目1在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+tan A/tan B=2c/b.(Ⅰ)求角A的值;(Ⅱ)若a=7(1/2),且△ABC的面积为33(1/2)/2,求b+c的值.命题意图本题主要考查余弦定理,同角三角函数关系,两角和的正弦公式,三角形面积公式等,考查学生运算求解能力.难度系数0.88. 相似文献
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题 在△ABC中,三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b=1,c=2,且S△ABC等于以a为边长的正三角形的面积,求sin(A 60°)的值. 相似文献
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《中学数学》2005,(Z1)
1.(江苏卷,5)△ABC中,A=π3,BC=3,则△ABC的周长为().(A)43sin(B+3π)+3(B)43sin(B+6π)+3(C)6sin(B+3π)+3(D)6sin(B+6π)+32.(辽宁卷,8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是().(A)(1,2)(B)(2,+∞)(C)[3,+∞)(D)(3,+∞)3.(上海卷,9)在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积S=.4.(湖南卷,13)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,且AB=3,则OA·OB=.5.(天津卷,17)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和cb=21+3,求… 相似文献
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三角形的双圆半径的一个"孪生"命题 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [1 ]给出如下关于三角形双圆半径的一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则 4 Rr2 =a0 b0 c0 .今给出此命题所引伸出的一个“姊妹”命题 :命题 设△ ABC的外接圆半径为 R,旁切圆半径为 r′,顶点 A、B、C到对应的旁心的距离分别为 a′0 、b′0 、c′0 ,则 4 Rr′2 =a′0 b′0 c′0 .证明 如图 1 ,∵ r′=a′0 sin A2 =b′0 cos B2=c′0 cos C2 ,∴ r′3=a′0 b′0 c′0 sin A2 cos B2 cos C2 1又 △ =12 r′( b c - a) =Rr′( sin B sin C - sin A… 相似文献
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文[1]中笔者研究三角形性质时,发现了一个由三角形中线“生成”正三角形的问题,在文末笔者指出三条高线中能否有这种生成问题.最近,我们得到了如下结论.图1定理如图1,△ABC中,H是△ABC的垂心,H A、H B、H C的延长线上分别有点Z、L、M.若AZBC=BLAC=CMAB=33,则△ZLM是等边三角形.证明∵AZ=33a,BL=33b,CM=33c.(以锐角三角形为例)∵AH=2R cos A,∴H Z=2R cos A 13a,同理HM=2R cos C 13c.∵∠AH C=180-°B.ZM2=(2R cos A a3)2 (2R cos C c32) 2(2R cos C c)(2R cos A a3)cos B=4R2(cos2A cos2C 2cos A cos B cos C) … 相似文献
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设△ABC与△A1B1C1的边分别为a、b、c与a1、b1、c1,面积分别为△与△1,则有a2(b21 c12-a12) b2(c12 a12-b21) c2(a12 b12-c12)≥16△.△1.当且仅当△ABC∽△A1B1C1时取等号.这就是著名的Pedoe不等式.关于它的证明可参见文[1].本文试图给出Pedoe不等式的一个向量证明.图1证明将△ABC与△A1B1C1如图放置.记BC=a,AC=b,AB=cB1C1=a1,A1C1=b1,A1B1=c1则a=b-c,a1=b1-c1,c1=λc(λ>0)且有:△=12|b×c|,△1=21|b1×c1|.b12 c21-a12=b12 c12-a12=b12 c12-(b1-c1)2=2b1.c1.c12 a21-b12=c12 a12-b12=c12 (b1-c1)2-b12=2c12-2b1.c1a12 b12-c… 相似文献
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选择题:
1.已知集合S={a,b,c)中的三个元素可构成△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是( )
(A)锐角三角形. (B)直角三角形.
(C)钝角三角形. (D)等腰三角形. 相似文献
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一、重视例习题的反思,创设探究情境
例题与练习(人教A版必修5第一章“解三角形”P3例1、2,P8练习1、2)
例1 在△ABC中,已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形.
例2 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.
练1 在△ABC中,已知a=2.7cm,b=3.6cm,C=82.2°,解三角形.
练2 在△ABC中,已知a=7cm,b=10cm,c=6cm,解三角形.
在学习“解三角形”这章时,首先,教师可将这些例习题放在一起请学生思考:完成这些题目后你发现了什么?这将促使学生主动进行题后反思活动并从不同角度进行分析,有的学生根据自己的解法发现知道两角及其中一角对边或知道两边及其中一边对角用正弦定理解三角形;知道三边或两边及夹角用余弦定理解三角形. 相似文献
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利用高中数学新教材中的平面向量知识,我们可以用向量坐标给出一个求三角形面积的新公式. 在△ABC中,设CA=(a1,b1),CB=(a2,b2),则△ABC面积为S△=1/2|a1b2-a2b1|. 相似文献