巧用公式tanθ=tanα/sinβ速解高考题

求二面角的大小是立几中的重点和难点 ,但有时苦于难作二面角的平面角 ,或平面角虽作出 ,但计算繁琐 .可以发现 ,利用下面的公式 ,常能摆脱上述的困境 .定理　如图 1 ,四面体 P - ABC中 ,PC⊥面 ABC,∠ PAC =α,∠ BAC =β,二面角P - AB - C的大小为θ,则tanθ =tanαsinβ.证明　作 PM⊥ AB于 M,连 CM,则∠ PMC =θ.∵　 tanα =PCAC,　 sinβ =MCAC,tanθ =PCMC,∴　 tanθ =tanαsinβ.应用上述公式求二面角的大小 ,不必作平面角 ,并且计算量少 ,从而使问题简捷解决 .下面以高考题为例说明公式的应用 .图 1　　　　　　…     

由重心定理的证明谈a=2b型命题证法

证明a=2b型(或a=1/2b型)命题是平面几何中较常见的一类证明题,证法繁多,涉及定理广泛,但众多的证法通常可分别归属于四条思路,掌握这种思路后,再证明此类命题,便会得心应手,挥洒自如。例如重心定理的证明便可由此找出至少16种证法,下面进行逐一介绍。命题:求证三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。已知:△ABC的三条中线AD、BE、CF相交于点O,求证:AO=2OD(BO=20E、CO=20F) 思路一利用折半法就是把长线段(AO)二等分,再证明其中一份和短线段(OD)相等。证明时,取AO的中点P,证AP=OD或OP。=OD即可,证法如下:     

关于a/1+1/b=1/c的一些数学题

型如“1/a 1/b=1/c”的证明,通常是先变形为“ac bc=1”.再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示ac和bc,然后再证这比的和为1初,中这几是何证课明本此习类题问题的基本途径.“已知:AC⊥AB,BD⊥AB,AD和BC相交于点E,EF⊥AB,垂足为F,又AC=p,BD=q,EF=r,如图证明:1p 1q=1r.这是一道很有用途的习题.现将该题作一简单推广.例1:直线AB之同侧有平行线AC,BD,连AD,BC相交于点E,又EF∥AC交AB于F,求证:A1C B1D=E1F.由证平明:行∵截A线C定∥…     

关于1/a+1/b=1/c的一些数学题

型如"1/a+1/b=1/c"的证明,通常是先变形为"c/a+c/b=1".再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示c/a和c/b,然后再证这比的和为1,这是证明此类问题的基本途径.     

比较a/b与(a 2b)/(a b)的大小

设a,b∈R~ 且a>b,讨论并比较a/b与a 2b/a b的大小。原题中含有两个变元a、b,为使问题化繁为简,引进新的变元t,且令t=a/b,显然有t>l,则(a 2b)/(a b)=(t 2)/(t 1)>1,这样,要讨论的两个分式的大小比较就转化为讨论t与(t 2)/(t 1)的大小比较了。 1°设t=t 2/t 1,则有t~2 t=t 2t~2=2,由     

由y=cx+d/ax+b引发的探究性学习

在一次习题课中,我选用了这样一道习题:例1、求一次分式函数y=32xx -14的值域.解答此题并不困难,学生利用反函数法和     

关系式x/a+y/b=1的几何模型与应用

在数学学习中经常遇到与关系式x/a+y/b=1有关的问题,可统一为以下几何模型.命题 如图1,点E,F,G分别在线段BD,BC,DA上,EG∥AB,EF∥CD,设EG=x,EF=y,AB＝a,CD=b.则x/a+y/b=1.     

用相似三角形面积比证 a/b=c~2/d~2

在平面几何中,常会遇到证明关于某两条线段比等于另两条线段平方比的问题。下面介绍利用相似三角形面积比定理处理这类问题的方法。一、属于直角三角形的线段问题例1:在△AEC中,∠A=90°,AD⊥BC,DE⊥AB于E,求证BE/AE=AB~2/AC~2     

从不等式√a/a+3b+√b/b+3a≥1谈数学推广

1 从一个"形式推广"的案例说起 1.1"形式推广"的案例 文[1]给出不等式: 例1 a,b∈R ,求证:     

形如1/a 1/b=N/c线段等式的证明

几何图形里各线段之间,往往存在着一定的关系,这类关系可以说与“长度单位”的选择完全无关,因而常把它们视为线段本身之间的关系,由于它们有这种特性,所以对同类图形无不合适。     

定理〔a,b〕= ab/(a,b)的教学体会

在中等师范算术理论的教学中,有关最小公倍数的定理[a,b]=ab/(a,b)的教学确是一个难度较大的内容。课本对于定理采用格列本卡著《算术》的证法。这种证法抽象,它牵涉的概念多,运用的性质多,证明的步骤繁,其方法实难于使学生在短时间内接受。     

Über die gruppenA a B b = 1

Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg -     

当a+b+c=0时

<正>经常会在一些竞赛题中看到当a+b+c=0时,求解分式或整式有关的计算、判断或证明.如果能对其有深入的了解,相信解题会方便不少.从条件a+b+c=0出发,可以推导出一些有用的结论,在解决与三个字母有关的运算或证明时非常有用.下面就结合例题,说说这几个重要的结论:     

关于证明“1/a+1/b=t/c”型线段关系式

在平面几何中怎样证明型如“1/a+1/b=t/c”(a、b、c表示线段,t是常数)之类的问题,中学生往往感到束手无策。其主要原因是教师在教学中就题论题,没有揭示出解题的一般规律。实际上,解这类问题的思     

再谈1/a 1/b=1/c型线段等式的证明思路

在平面几何里,有一类问题是求证形如 1/a 1/b=1/c的等式,其中a、b、是已知图形中的线段。关于这类线段等式的证明思路,本刊85年第9期《也谈〈关于证明“1/a 1/b=t/c”型线段关系式〉》一文,发表了有启发性的意见,读后得益非浅。作为对该文的补充,本文谈谈这类线段等式的另外几种证明思路,供教学参考。     

不等式1/a+1/b≥4/(a+b)的应用

由不等式a2+b2≥2ab,我们可以得到(a+b)2≥4ab.当a,b∈R+时,容易得到a+b/ab≥4a+b,即1a+1b≥4a+b.这又是一个非常有用的基本不等式,下面我们用这个不等式来处理几个问题,看看它的威力。     

形如1/a+1/b=N/C线段等式的极坐标证明

读了本刊8。年第3期刘荡圆同志·形如告+含一髻线段等式的证明”一文后,收益不浅.文中给出的两种证明方法对于寻觅这类线段等式的证明带来不少方便.本文在该文的基础上再给出一种证朋方法,即极坐标证法. 下面先就该文例1、例2给出极坐标的证明,然后再举两例加以说明. 例1已知在△A厅C中乙城万120。它的平分线交BC于D,证明:如图以尸为极点,尸A所在射线为极轴建立极坐标系.设尸B~石,PC*c尸N=”,.’乙X尸B ~乙CBA=60。乙X尸C~匕亡B汉=60’则B、C、N点的坐标分别为(b,60’),(e,一60’),(n,o)过B,C两点的直线BC方程可求证:六+俞一九,写…     

(a+b)2=a2+b2现象与直觉模型的缺乏

(a+b) 2 =a2 +b2 现象 ,在历届初中学生中都有表现 ,类似的 ,学生还会写出sin(α+ β) =sinα+sinβ ,lg(a+b) =lga+lgb等 .对此 ,有些老师简单的一句“概念不清” ,然后 ,一味用正确的答案进行强化训练了事 .但是 ,模仿既不能避免这类错误的出现 ,也与“理解数学”的教育理念相去甚远 .应该说 ,这类问题产生的根源 ,在于学生的学和教师的教都只求知其然而不求知其所以然 .现在的问题是 :学生为什么会“概念不清” ?我们在教学中又应采取何种对策 ,才能从根本上解决这类问题 ?本文将以 (a+b) 2 =a2 +b2 为例探讨这些问题 .1　 (a+b) 2 =a2 +…