A∩B与A∪B的应用

Ａ∩Ｂ指集合Ａ与Ｂ的公共元素组成的集合 .若Ａ∩Ｂ =Ａ则说明Ａ Ｂ(即Ａ是Ｂ的子集 ) .Ａ∪Ｂ指所有属于Ａ或属于Ｂ的元素所组成的集合 .若Ａ∪Ｂ =Ａ则说明Ｂ Ａ(即Ｂ是Ａ的子集 ) .现举例说明其应用 .例 1　已知集合Ａ ={ｘ|2ｘ2 -ａｘ ｂ =0 },Ｂ ={ｘ|6ｘ2 (ａ 2 )ｘ 5 ｂ =0 },且Ａ∩Ｂ ={12 },求Ａ∪Ｂ .分析 :由Ａ∩Ｂ ={12 }知 12 ∈Ａ且 12 ∈Ｂ ,这就是说 12 既是方程 2ｘ2 -ａｘ ｂ =0的解 ,也是方程6ｘ2 (ａ 2 )ｘ 5 ｂ =0的解 ,故2× 14 - 12 ａ ｂ =0 ,6× 14 ａ 22 5 ｂ =0 ,解得 ａ =- 7,ｂ =- 4,代入原方…     

课外练习

高一年级1 .已知集合Ａ ={ｍ ,ｎ},问集合Ｂ ={ｘ|ｘ∈Ａ},Ｃ ={ｘ|ｘ Ａ}中的元素分别是什么 ?(贵州开阳县教育局教研室 (5 5 0 3 0 0 )　张廷均 )2 .已知ａ—→ 与ｂ—→不共线 ,试判断关于ｘ的方程ａ—→·ｘ2 +ｂ—→·ｘ+ｃ—→=0—→ 的实数解的个数 .(河北石家庄四十二中 (0 5 0 0 61 )　于润兴 )3 .设函数ｆ(ｘ) =1 -2ｘ1 +ｘ ,若将ｙ=ｇ(ｘ)的图像与函数ｙ =ｆ- 1(ｘ +1 )的图像关于直线ｙ =ｘ对称 ,求ｇ(2 )的值 . (山东沂水县第二中学 (2 7640 0 )　沈　韦华)高二年级1 .已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ-2 -ｘ,数列 {ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2 …     

警惕解题中的遗漏

解题时 ,只把注意力放在一般情形上而遗漏了特殊情形通常会造成答案不完备 .现将遗漏特殊情形出现解答不完整的部分典型例题曝光如下 ,以期引起同学们注意 .例 1　已知ｘ∈Ｒ ,集合Ａ ={ｘ|ｘ2 -3ｘ 2 =0 },Ｂ ={ｘ|ｘ2 -ｍｘ 2 =0 },若Ａ∩Ｂ =Ｂ ,求实数ｍ的取值范围 .解　Ａ ={1,2 },由于Ａ∩Ｂ =Ｂ ,则Ｂ Ａ ,∴Ｂ ={1}或Ｂ ={2 }或Ｂ ={1,2 },∴ｍ =3 .评析　以上解答遗漏了“空集是任何集合的子集” ,特殊情形Ｂ = 亦符合条件 .完整解答应补充Δ =ｍ2 -8<0 ,即-2 2 <ｍ <2 2 .　　∴ｍ的取值范围是 ( -2 2 ,2 2 )∪ {3 }.例 2　在等…     

集合问题错解五处谈

有关集合问题 ,题目灵活多变 ,稍不注意就会造成解题失误 .总结以往同学们在解题中出现的问题 ,分类整理如下 ,以期引起重视 .　1　错误理解集合元素的构成对于一个给定的集合 ,其元素的构成是有明确意义的 ,稍有模糊或疏忽 ,均可造成错解 .例 1　设Ａ ={ (ｘ ,ｙ) | 4ｘ ｙ =6 } ,Ｂ ={ (ｘ ,ｙ) | 3ｘ 2ｙ =7} ,求Ａ∩Ｂ .错解 1　解方程组 4ｘ ｙ =6 ,3ｘ 2 ｙ =7,得　　　　 ｘ =1,ｙ =2 .所以Ａ∩Ｂ ={ 1,2 } .错解 2　同上 .解方程组得解为 ｘ =1,ｙ =2 .所以Ａ∩Ｂ ={ｘ =1,ｙ =2 } .辨析　Ａ∩Ｂ的元素应是实数对 (两直线的…     

观察 归纳 应用

高中代数上册Ｐ 18第 13题是 :设Ｉ ={ａ ,ｂ ,ｃ ,ｄ ,ｅ ,ｆ},Ａ ={ａ ,ｃ,ｄ},Ｂ ={ｂ ,ｄ ,ｅ},求Ａ,Ｂ ,Ａ∩Ｂ ,Ａ∪Ｂ ,Ａ∩Ｂ ,Ａ∪Ｂ .看看求出的后四个集合中有没有相等的集合 .从本题的解答过程中 ,通过观察可归纳出结论Ａ∩Ｂ =Ａ∪Ｂ ,Ａ∪Ｂ =Ａ∩Ｂ ,且易证对于一般情形也成立 ,这就是集合运算中的反演律 ,可记忆为“一横分家 ,交并变号” .下面例谈在解题中的应用 .1　用于简化运算例 1　 ( 1990年全国高考题 )设全集Ｉ={(ｘ ,ｙ)|ｘ ,ｙ∈Ｒ},集合Ｍ ={(ｘ ,ｙ) |ｙ - 3ｘ - 2 =1},Ｎ ={(ｘ ,ｙ) |ｙ≠ｘ 1},那么 Ｍ∪Ｎ…     

高中数学“陷阱”题

高中数学中常有这样的习题 :一看就能做 ,一做就易错 .为此 ,我们将 4 1道易错题汇集在一起 ,供同学们参考 .建议同学们先独立做一遍 ,然后对照题后的错点分析 ,找寻一下自己可能存在的误区 ,从而不断降低解题的错误率 .填空题1　已知集合Ａ ={ｘ|ｘ2 - 3ｘ 2 =0 } ,Ｂ ={ｘ|ｘ2 -ａｘ 2 =0 } .若Ｂ Ａ ,则实数ａ的取值范围是.2　已知集合Ｐ ={ ｙ|ｙ =-ｘ2 2 ,ｘ∈Ｒ} ,Ｑ ={ ｙ|ｙ =-ｘ 2 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ｐ∩Ｑ =.3　已知实数ｘ ,ｙ满足 2ｘ2 ｙ2 =6ｘ ,则ｘ2 ｙ2 2ｘ的最大值是 .4　已知 ｆ(ｌｇｘ 1)的定义域是 ( 0 ,1].则 ｆ(ｘ…     

对解集合问题的两点建议

集合问题常涉及函数、方程、不等式等多种知识 .怎样解好集合问题 ,初学集合的同学最好将抽象的集合问题具体化 ,实际操作时可从下面两个方面入手解决 .1　抽象集合问题具体化　解集合问题时常将用描述法表示的集合 ,如有可能应先化简 ,最好用列举法给出 .例 1　已知集合Ａ ={ｘ|ｘ2 - 3ｘ 2 =0 } ,Ｂ ={ｘ|ａｘ - 2 =0 } ,若Ａ∪Ｂ =Ａ ,求实数ａ的值 .分析 :Ａ ={ｘ|ｘ2 - 3ｘ 2 =0 } ={ 1,2 } .由Ａ∪Ｂ =Ａ知Ｂ Ａ .所以当 1∈Ｂ时得ａ =2 ;当 2∈Ｂ时得ａ =1;又当ａ =0时 ,方程ａｘ - 2 =0无解 ,即Ｂ= Ａ .所以ａ的值为 0或 1或 2 …     

苏州市1999年高三教学调研数学试题

选择题 :本大题共 1 4小题 ,第 1～ 1 0题每小题 4分 ,第 1 1～ 1 4题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 .1　设全集为Ｒ ,Ａ ={ｘ|ｘ <- 2或ｘ >5 },Ｂ={ｘ| - 2 <ｘ <2 },则 (　　 )(Ａ) Ａ∪Ｂ =Ｒ .　　　 (Ｂ)Ａ∪ Ｂ =Ｒ .(Ｃ) Ａ∪ Ｂ =Ｒ . (Ｄ)Ａ∪Ｂ =Ｒ .2　已知直线ｌ1:ａｘ 3ｙ 1 2 =0与直线ｌ2 :ｘ (ａ - 2 )ｙ ａ2 - 5 =0平行 ,则实数ａ的值是 (　　 )(Ａ) - 1或 3. (Ｂ) 0或 1 .(Ｃ) - 1 . (Ｄ) 3.3　若 0 <ａ <1 ,则函数ｙ =ｌｏｇａ(…     

高三综合复习自测题

选择题 (本大题共 14小题 ;第 1～ 10题每小题 4分 ,第 11～ 14题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1　已知全集Ｉ =Ｒ ,集合Ｍ ={ｘ||ｘ - 1|<2 } ,集合Ｎ ={ｘ|ｘ 1<2 } ,则 (　　 )(Ａ)Ｍ =Ｎ .　　　　 (Ｂ)Ｍ Ｎ .(Ｃ) Ｍ∩Ｎ ={ - 1} .(Ｄ)Ｍ∩ Ｎ ={ - 1} .2　双曲线 3ｘ2 - ｙ2 =- 3的渐近线的方程是 (　　 )(Ａ) ｙ =± 3ｘ . (Ｂ) ｙ =± 13ｘ .(Ｃ) ｙ =± 3ｘ . (Ｄ) ｙ =± 33ｘ .3　若 3ｓｉｎθ =ｃｏｓθ ,则ｃｏｓ2 θ 12 ｓｉｎ2θ的值是 (　　 )(Ａ) 65. (Ｂ) - 65.(Ｃ)…     

平面区域问题

在坐标平面上 ,一个二元方程Ｆ(ｘ ,ｙ) =0所表示的曲线Ｃ把平面上所有的点组成的集合Ｉ ={ (ｘ ,ｙ) |ｘ∈Ｒ ,ｙ∈Ｒ}分成三个子集 :1)Ｃ ={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) =0 } ;2 )Ｃ1={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) <0 } ;3)Ｃ2 ={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) >0 } .我们可以利用特殊点试验法来确定二元 (一次或二次 )不等式Ｆ(ｘ ,ｙ) >0 (或Ｆ(ｘ ,ｙ) <0 )所表示的平面区域 .1　直线划分的平面区域点Ｐ(ｘ ,ｙ)位于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0同侧时 ,α =Ａｘ Ｂｙ Ｃ的值的符号不变 ;位于异侧时 ,α的符号相反 .2　二次曲线划分的平面区域1)点Ｐ(ｘ ,…     

集合

集合和它的元素集合就是某些对象的全体 ,集合的特征是对于任何一个对象要能够确定它是不是该集合的元素 ,用集合的语言来表述 ,就是对于任何一个对象ａ与集合Ｍ ,ａ∈Ａ与ａ Ａ ,二者必居其一 .例 1　 (哈尔滨市 1986年高中数学竞赛题 )设Ｇ ={ａ ｂ 2 ||ａ2 - 2ｂ2 |=1,ａ∈Ｚ ,ｂ∈Ｚ}.已知ｘ∈Ｇ ,ｙ∈Ｇ ,求证 :( 1)ｘｙ∈Ｇ ;( 2 ) 1ｘ ∈Ｇ .证　 1)设ｘ =ａ ｂ 2 ,ｙ =ｃ ｄ 2 (ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ∈Ｚ) ,于是 |ａ2 - 2ｂ2 |=1,|ｃ2 - 2ｄ2 |=1,∴ｘｙ =(ａ ｂ 2 ) (ｃ ｄ 2 )=(ａｃ 2ｂｄ) 2 (ａｄ ｂｃ) .∵ |(ａｃ 2ｂｄ) …     

2000年“3 X”高考数学检测试卷

选择题:每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的.每小题5分,共60分.1　全集Ｉ=Ｒ,集合Ｐ={ｘ|(4 ｘ)(2-ｘ)<0},Ｑ={ｘ|4 ｘ>0},则(　　)(Ａ)Ｐ∩Ｑ=.　　　　(Ｂ)Ｐ∪Ｑ=Ｒ.(Ｃ)Ｐ∩Ｑ=Ｐ.　　　　(Ｄ)Ｐ∩Ｑ={-4}.2　设52π<θ<3π,|ｃｏｓθ|=ｍ,则ｓｉｎθ2的值等于(　　)(Ａ)-1 ｍ2.(Ｂ)-1-ｍ2.(Ｃ)1 ｍ2.(Ｄ)1-ｍ2.3　在(1-ｘ3)·(1 ｘ)10的展开式中,ｘ5的系数是(　　)(Ａ)-297.(Ｂ)-252.(Ｃ)297.(Ｄ)207.4　下面命题中,正确的是(　　)①已知异面直线ａ,ｂ和平面α,若ａ∥α,则ｂ∥α;②若平面α∥平面β,ａα,则ａ∥β;③若…     

2001年安徽省春季高考数学（理）试题简析

安徽省自 2 0 0 0年试行春季高考后 ,取得较为成功的经验 .经教育部批准今年继续实行春季招生 .现提供春季高考的数学试卷并作简短评析 .选择题1　集合Ｍ ={ 1,2 ,3,4 ,5}的子集个数是 (　　 )(Ａ) 32 .　　　　 (Ｂ) 31.(Ｃ) 16. (Ｄ) 15.本题考查集合运算 ,组合数性质 .利用公式Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ … Ｃｎｎ=2 ｎ 可知本题选 (Ａ) .2　函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0且ａ≠ 1)对于任意的实数ｘ ,ｙ都有 (　　 )(Ａ) ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ) .(Ｂ) ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) .(Ｃ) ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ) .(Ｄ) ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ) .…     

高三数学备考自测题

选择题 (第 1— 10题每题 4分 ,第 11— 14题每题 5分 ,共 6 0分 )1　已知集合Ｉ ={1,2 ,3,4 ,5},Ａ ={1,2 ,3},Ｂ ={3,4 ,5},则Ａ∩Ｂ = (　　 )(Ａ) {3}.　 (Ｂ) {4,5}.　 (Ｃ) {1,2 }.　 (Ｄ) .2　已知元素 (ｘ ,ｙ)在映射 ｆ下的像是 (ｘ -ｙ ,ｘ ｙ) ,那么 ( 2 ,- 4)在 ｆ下的原象为 (　　 )(Ａ) ( 1,3) .　　　 (Ｂ) ( - 1,3) .(Ｃ) ( 1,- 3) .　　 (Ｄ) ( - 1,- 3) .3　函数 ｆ(ｘ) =1 ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ的最小正周期为(　　 )(Ａ) π2 .　 (Ｂ)π .　 (Ｃ) 2π .　 (Ｄ) 3π .4　函数 ｆ(ｘ) =2 ｘ ａ2 ｘ-ａ为奇函数 ,则实数ａ…     

两曲线的交点与Δ≥0的关系

首先我们先看下面一道习题及同学们给出的三种解法 .题目　设集合Ａ ={ (ｘ ,ｙ) | ｙ =ｘ2 } ,Ｂ ={ (ｘ ,ｙ) |ｘ2 + (ｙ -ｍ) 2 =1} ,若Ａ∩Ｂ≠ ,试求ｍ的取值范围 .[错解 1]　 (判别式法 )由 ｙ =ｘ2 ,ｘ2 + (ｙ -ｍ) 2 =1,消去ｘ得　　ｙ2 + (1- 2ｍ) ｙ +ｍ2 - 1=0 (1)∵Ａ∩Ｂ≠ ,∴方程 (1)有解 ,∴Δ≥ 0 ,解得ｍ≤ 54.[错解 2 ]　 (韦达定理法 )由上得方程 (1) ,又由已知得 ｙ =ｘ2 ≥ 0 ,故方程 (1)有零根或正根 .当 ｙ =0时 ,ｍ =± 1;当ｙ >0时 ,由韦达定理得Δ≥ 0 ,- 1- 2ｍ2 >0 ,ｍ2 - 1>0 ,解得 1<ｍ≤ 54,综合得 1≤ｍ…     

烟台市1999年高考适应性练习数学试题(文、理合卷)

选择题 :本大题共 14小题 ;第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　函数 ｆ(ｘ) =3ｓｉｎ2 πｘ 1的最小正周期为 (　　 )(Ａ) 1.　 (Ｂ) 2 .　 (Ｃ) 3 .　 (Ｄ) 4.2　设Ｍ ={ｘ|0≤ｘ≤ 2 },Ｎ ={ｙ|0≤ ｙ≤2 },给出下列 4个图形 .其中能表示集合Ｍ到集合Ｎ的函数关系的有 (　　 )(1)　　　　　 (2 )　　　　　 (3 )　　　　　 (4 )(Ａ) 0个 .　　　　　 (Ｂ) 1个 .(Ｃ) 2个 .　　　　　 (Ｄ) 3个 .3　双曲线的焦点在ｘ轴上 ,它的两条渐近线与ｘ轴的夹角都是…     

指数函数与对数函数

选择题1　函数 ｙ =ｌｏｇ0 .5(4ｘ - 3)的定义域是 (　　 )(Ａ) {ｘ|ｘ≥ 1} .　　　 (Ｂ) {ｘ|ｘ≤ 1} .(Ｃ) {ｘ|ｘ >34 } . (Ｄ) {ｘ|34 <ｘ≤ 1} .2　函数 ｙ =ｌｏｇ12 (6-ｘ -ｘ2 )的单调递增区间是(　　 )(Ａ) [- 12 , ∞ ) . (Ｂ) [- 12 ,2 ) .(Ｃ) (-∞ ,- 12 ]. (Ｄ) (- 3,- 12 ].3　设 3ｘ=0 .0 3ｙ=10 - 2 ,则 1ｘ - 1ｙ 等于 (　　 )(Ａ) 1. (Ｂ) - 1.(Ｃ) 1-ｌｇ3. (Ｄ) ｙ =- 1 ｌｇ3.4　下列函数中 ,值域是 (0 , ∞ )的是 (　　 )(Ａ) ｙ =31ｘ - 2 . (Ｂ) ｙ =2 ｘ- 1.(Ｃ)ｙ =ｘ3ｘ. (Ｄ)ｙ =(15 ) ｘ - 1.5　函数 ｙ =1…     

高一数学同步思考题

幂函数、指数函数和对数函数　　选择题1　定义Ａ -Ｂ ={ｘ|ｘ∈Ａ且ｘ Ｂ} ,若Ｉ =Ｎ ,Ｍ={ 1,2 ,3,4 ,5} ,Ｎ ={ 2 ,3,6 } ,则Ｎ -Ｍ =(　　 )(Ａ)Ｍ .　 (Ｂ)Ｎ .　 (Ｃ) { 1,4 ,5} .　 (Ｄ) { 6 } .2　已知集合Ｍ ={ａ ,ｂ ,ｃ}中的三个元素可构成某一个△ＡＢＣ的三边长 ,那么△ＡＢＣ一定不是(　　 )(Ａ)直角三角形 .　 (Ｂ)锐角三角形 .(Ｃ)钝角三角形 .　 (Ｄ)等腰三角形 .3　使不等式ｘ2 - 2 |ｘ|- 15>0成立的负值ｘ的范围是 (　　 )(Ａ)ｘ <- 3.　 (Ｂ)ｘ <0 .(Ｃ)ｘ <- 5.　 (Ｄ) - 5<ｘ <- 3.4　从集合 {ａ ,ｂ}到集合 {ｃ,ｄ …     

判断集合间关系的方法

对含有参数的无限集 ,判断它们之间的关系问题 ,不少同学总觉无从下手 .为此本文将以 2 0 0 2年全国高考理科卷第 5题为例 ,揭示此类问题的一般求解策略 .题目　设集合Ｍ ={ｘ|ｘ =ｋ2 + 14 ,ｋ∈Ｚ},Ｎ ={ｘ|ｘ =ｋ4+ 12 ,ｋ∈Ｚ},则 (　　 ) .(Ａ)Ｍ =Ｎ　　　 (Ｂ)Ｍ Ｎ(Ｃ)Ｍ Ｎ　　　 (Ｄ)Ｍ∩Ｎ = 一、列举法用列举法把两个集合表示出来 ,再比较两个集合元素的异同 ,从而找出两集合的关系 ,此法比较直观 .解法 1　分别取ｋ =… ,-1,0 ,1,2 ,… .得Ｍ ={… ,-14 ,14 ,34,54,74,… },Ｎ ={… ,14 ,12 ,34,1,54,32 ,74,… }.易看出 ,Ｍ…     

综合题新编选登

题 1 1　已知复数 -4 ,4,ｚ0 分别对应复平面内的点Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,ｚ0 不在实轴上 ,|ｚ0 |=8.1 )求△ＡＢＣ的外接圆圆心Ｍ的轨迹Ｃ ;2 )若Ｎ是圆 (ｘ -4 ) 2 ( ｙ -ｂ) 2 =4上的动点 ,求 |ＭＮ|ｍｉｎ=ｆ(ｂ)的最大值 ;3 )若二次方程 2ｘ2 ( 2ｍ 4 )ｘ ｍ2 4=0有实根 ,且抛物线 ( ｙ-ｎ) 2 =92 (ｘ ｍ)与轨迹Ｃ有两个不同的交点 ,求实数ｎ的取值范围 .解　 1 )设ｚ0 =ｘ0 ｙ0 ｉ (ｘ0 ,ｙ0 ∈Ｒ) ,则ＡＣ的中点坐标为 ( ｘ0 -42 ,ｙ02 ) ,∴ＡＣ边的中垂线方程为ｙ-ｙ02 =-ｘ0 4ｙ0(ｘ -ｘ0 -42 ) ( 1 )又ＡＢ边的中垂线方程为ｘ =0 …