复数运算中的典型错误剖析

实数集扩充成复数集后,在实数集中成立的结论在复数集中就不一定成立了,而许多同学的思维往往停留在实数集上,错误地照搬一些结论,下面就典型的错误进行剖析. 一、把表面不含“i”的数当成实数去处理 例1 解方程x2-(9-i)x 20=0. 错解由复数相等的定义得 ∴原方程无解. 剖析上面解方程时忽视了x∈C这一条件.     

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释

在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又　 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴　cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山…     

再谈一类三角问题解的讨论

题目 1已知cosα -cosβ =12 ,sinα -sinβ =- 13,求cos(α +β) ,sin(α +β) ,cos(α - β) ,sin(α -β) .解　设z1=cosα +isinα ,z2 =cosβ +isinβ则 |z1|=|z2 |=1,且由题意可得z1-z2 =12 - 13icos(α +β) ,sin(α +β)即为z1z2 的实部和虚部 ;cos(α - β) ,sin(α - β)即为 z1z2的实部和虚部 ;1)∵z1z1=|z1|2 =1,z2 z2 =|z2 |2 =1,易得z1z2 =- z1-z2z1-z2=-12 - 13i12 +13i=- 513+1213i,即cos(α +β) =- 513,sin(α +β) =1213.2 )设 z1z2=z1z2z2 z2=z1z2 =1z2 z1=x .∵ (z1-z2 ) (z1-z2 ) =z1z1-z1z2 -z2 z1+z2 z2 ,∴ (12 - …     

Existence of multiple solutions for a fractional p-Laplacian system with concave-convex term

In this article, we study the existence of multiple solutions for the following system driven by a nonlocal integro-differential operator with zero Dirichlet boundary conditions{(-?)_p~su = a(x)|u|~(q-2) u +2α/α + βc(x)|u|~(α-2) u|v|~β, in ?,(-?)_p~sv = b(x)|v|~(q-2) v +2β/α + βc(x)|u|α|v|~(β-2) v, in ?,u = v = 0, in Rn\?,(0.1) where Ω is a smooth bounded domain in Rn, n ps with s ∈(0,1) fixed, a(x), b(x), c(x) ≥ 0 and a(x),b(x),c(x) ∈L∞(Ω), 1 q p and α,β 1 satisfy pα + βp*,p* =np/n-ps.By Nehari manifold and fibering maps with proper conditions, we obtain the multiplicity of solutions to problem(0.1).?????     

纯虚数的一个性质及应用

关于纯虚数有许多性质 ,在解题中的应用都很广泛 ,笔者在教学中发现一条性质 ,在解题中应用起来 ,同样给人以美不胜收之感 .命题　设ｚ为非零复数 ,若ｚ为纯虚数则对任意非零实数ａ ,有 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ|成立 .反之 ,若ａ是非零实数 ,且 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ| ,则ｚ为纯虚数 .证明　 [方法 1]由两复数差的模的几何意义可知 ,复数ｚ对应点的轨迹为复平面上复数ａ与 -ａ对应点连线的中垂线 .显然其中垂线为虚轴 .因而复数ｚ为纯虚数 ,反之亦然 .[方法 2 ]利用复数性质ｚｚ =|ｚ| 2 .已知可化为 |ｚ +ａ| 2 =|ｚ -ａ| 2 ,则(ｚ +ａ) (ｚ +ａ) =…     

例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

2011年高中数学联赛(B卷)第8、9题解法探究

第8题抛物线y2=2p(x-p/2)(p>0)上动点A到点B(3,0)的距离的最小值记为d(p),求满足d(p)=2的所有实数p的和.解法一设抛物线上动点A(x,y),有y2=2p(x-p/2),则|AB|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+2p(x-p/2)=x2+2(p-3)x+(9-p/2)=(x+p-3)2-2p2+6p,(x≥p/2)     

复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

非线性薛定谔方程组的散射

本文主要考虑如下非线性薛定谔方程组的柯西问题:{-iu1t=△u1-μ|u1 |p1u1--α |u1 | q1-2 |u2 |q2u1,(x,t)∈RN×(0,T),-iu2t=△u2-ν |u2 |p2u2-β|u1|q1|u2 | q2-2u2, (x,t)∈RN×(0,T),u1 (x,0)=φ(x),u2(x,0)=φ2(x), x∈RN,其中μ,ν,α,β＞0,q1+q2=p3+2,且α/q1=β/q2=b.本文主要研究一些渐近性质,并分别在Sobolev空间、Σ空间及L2(RN)中建立散射理论,这里三={u∈H1(RN),|x|u∈L2 (RN)}.     

一类带Sobolev-Hardy指数的椭圆型方程组无穷多球对称解的存在性

考虑了一类带Sobolev-Hardy指数的椭圆型方程组{-Δu-μu/|x|2=α/α+β|μ|α-2u|v|β/|x|s+σp/p+q|u|p-2u|v|q,x∈B,-Δu-μu/|x|2=β/α+β|μ|α|v|β-2v/|x|s+σp/p+q|u|p|v|q-2,x∈B,其中0≤μμ,-4,μ=((N-2)~2)/4,σ0,0≤s2,N6+s,α+β=2~*(s)=(2(N-s))/(N-2),p,q≥1,2≤p+q2~*(s),B■R~N为以原点为心的一个开球.利用逼近方法及喷泉定理,得到了上述方程组无穷多个球对称解的存在性.     

综合题新编选登

题 6 9　 已知函数 f(x) =4x -ax2 + 1在区间 [α ,β]上为增函数 ,且 f(α)·f(β) =- 4.1)求 f(β) - f(α)的最小值及取到最小值时a的值 ;2 )求α ,β的值 (用a表示 ) .解　 1) f(x)在 [α ,β]上为增函数 ,且f(α)·f(β) =- 4<0 .∴ f(β) >0 >f(α) .则f(β) - f(α) =f(β) + [- f(α) ]≥ 2 - f(α)·f(β) =4 .“ =”成立时有 f(β) =- f(α) =2 .由 f(β) =2 ,得4 β -aβ2 + 1=2 ,∴ -a =2 (β - 1) 2 ≥ 0知a≤ 0 ;由 f(α) =- 2 ,得4α -aα2 + 1=- 2 ,∴a =2 (α + 1) 2 ≥ 0知a≥ 0 .则 f(β) - f(α)取最小值时a =0 .2 )首…     

挖掘隐含条件去伪存真

解三角函数求值问题时 ,如果漫不经心 ,就可能得出多值的答案 ,而正确答案又应比它少 .如何去伪存真 ,这就需要我们深入挖掘题目中隐含条件 ,合理筛选 .例 1　已知ｔａｎ(α -β) =12 ,ｔａｎβ =-17,α ,β∈ (0 ,π) ,求 2α -β.错解　∵　 2α -β=2 (α -β) + β ,∴　ｔａｎ(2α -β) =ｔａｎ[2 (α -β) + β]　 =ｔａｎ2 (α -β) +ｔａｎβ1-ｔａｎ2 (α -β)·ｔａｎβ,ｔａｎ2 (α -β) =2ｔａｎ(α -β)1-ｔａｎ2 (α -β) =43,∴　ｔａｎ(2α -β) =1.∵　 0 <α <π ,0 <β <π ,∴　 0 <2α <2π ,-π <2α -β <2π .故　 …     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

含临界指数的拟线性椭圆系统正对称解的存在性（英文）

本文讨论一类拟线性椭圆型系统-Δpu=μ|u|p-2 u|x|p+2αQ(x)(α+β)|x|s|u|α-2 u|v|β+σ1|u|q1-2 u,x∈Ω,-Δpv=μ|v|p-2v|x|p+2βQ(x)(α+β)|x|s|u|α|v|β-2v+σ2|v|q2-2v,x∈Ω,u=v=0,x∈Ω,其中Δpu=div(|▽u|p-2▽u)是p-Laplacian,2≤pN,ΩRN是一个有界光滑区域,0∈Ω,且Ω关于O(N)的一个闭子群G对称,0≤μ,=((N-p)/p)p,σ1,σ2≥0,0≤sp,α,β1满足α+β=p*(s)=(N-s)p/(N-p),pq1,q2p*=Np/(N-p),Q(x)是Ω上的连续G对称函数.应用Palais对称临界原理和变分方法,我们建立了该系统几个全新的正G-对称解的存在性结果.     

REGULARITY AND SYMMETRY OF SOLUTIONS OF AN INTEGRAL SYSTEM

In this paper,we are concerned with the regularity and symmetry of positive solutions of the following nonlinear integral system u(x) = ∫R n G α(x-y)v(y) q/|y|β dy,v(x) = ∫R n G α(x-y)u(y) p/|y|β dy for x ∈ R n,where G α(x) is the kernel of Bessel potential of order α,0 ≤β < α < n,1 < p,q < n-β/β and 1/p + 1 + 1/q + 1 > n-α + β/n.We show that positive solution pairs(u,v) ∈ L p +1(R n) × L q +1(R n) are Ho¨lder continuous,radially symmetric and strictly decreasing about the origin.     

利用复数的性质z=|z|~2解高考题

教材中关于共轭复数的性质有下面一条 :一对共轭复数ｚ , ｚ的乘积是一个实数 ,且这个实数等于每一个复数的模的平方 ,即ｚ ｚ =|ｚ| 2 =| ｚ| 2 .这一性质可以实现复数乘法与复数模之间的转换 .运用这种转换 ,可以使解题过程更为简捷、新颖 .本文以高考试题为例 ,谈其四种应用 ,以供参考 .1　用于求复数例 1　 (1989年全国高考题 )设复数ｚ满足关系式ｚ |ｚ| =2 ｉ,那么ｚ =(　　 )(Ａ) - 34 ｉ.　　 (Ｂ) 34-ｉ.(Ｃ) - 34-ｉ. (Ｄ) 34 ｉ.解　由已知可得ｚ =2 - |ｚ| ｉ,则 ｚ =2 - |ｚ|-ｉ ,两式相乘得ｚ ｚ =(2 - |ｚ| ) 2 -ｉ2 ,…     

用向量证明不等式两例

由向量的内积:a·b=|a|·|b|·cosθ, 可得 因为 -1≤cosθ≤1, 所以有 这个结论在证明不等式时常常用到. 例1 已知口a2+b2+c2=1,x2+y2+z2= 1,其中a、b、c、x、y、z均为实数,求证: -1≤ax+by+cz≤1. 证明 设p=(a,b,c), q=(x,y,z), 则 ,即.     

一个复数设置问题的探究

问题　应用复数知识求函数 ｙ =ｘ2 + 9+ｘ2 - 2ｘ + 5的最小值 .在一次课堂练习中 ,笔者提出以上问题 ,第一步同学们都能将此函数式化为ｙ =ｘ2 + 9+ (ｘ - 1) 2 + 4 ,转化为利用复数的模的性质来求解 .但在第二步设复数具体解的时候 ,所设复数可以说五花八门 ,而所得结果不外乎两种 ,简录四种如下 :(以下ｘ均为实数 )1)设复数ｚ1=ｘ + 3ｉ,ｚ2 =ｘ - 1+ 2ｉ,则原函数可化为 ｙ =|ｚ1| + |ｚ2 |≥ |ｚ1-ｚ2 | =| 1+ｉ| =2 .2 )设ｚ1=ｘ + 3ｉ,ｚ2 =1-ｘ - 2ｉ,则原函数可化为 ｙ =|ｚ1+ |ｚ2 |≥ |ｚ1+ｚ2 | =| 1+ｉ| =2 .3)设ｚ1=ｘ + 3ｉ…     

不容忽视函数定义域

研究函数的性质 ,若忽视了定义域往往会出现失误 .若首先考虑定义域 ,有时还有意想不到的收获 .一在求函数值域时不容忽视函数定义域例 1已知 3sin2 α + 2sin2 β =2sinα ,求7sin2 α + 4sin2 β的最小值 .错解　∵　sin2 β=-32 sin2 α +sinα ,∴　原式 =sin2 α + 4sinα =(sinα + 2 ) 2 -4 .当sinα =-1时 ,有最小值 -3 .分析　 7sin2 α + 4sin2 β≥ 0 ,可见上面所求最小值明显不合理 .问题出在定义域上 ,先求sinα的范围 :由 0≤sin2 β =-32 sin2 α +sinα≤1,求出 0≤sinα≤ 23 ,可见sinα =0时 ,有最小值 0 .例 2求y =x + 1…     

一道题的错解与正解

<正>题目a为何值时,方程|x2-5x|=a有且仅有两个实数根?在解决这个题目时,同学们常会出现下面的错误解法.错解方程|x2-5x|=a可以转化为x2-5x-a=0或x2-5x+a=0,判别式Δ1=25+4a,Δ2=25-4a,因为方程有且仅有两个实