有关椭圆的四个性质

文 [1]对椭圆的内接矩形进行了讨论 ,本文对此问题进行了拓展 ,并就椭圆中的“最大角”问题进行了探讨 .定理 1　设Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ20 + ｙ20 ≠ 0 )是椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )内一点 ,则过点Ｐ0 的弦中 ,有且仅有一条以Ｐ0 为中点 .证　设过Ｐ0 的直线的参数方程为ｌ2 :ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 +ｔｓｉｎα (α为倾角 ,ｔ为参数 ) ,代入 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 α +ｂ2 ｃｏｓ2 α )ｔ2 + (2ａ2 ｙ0 ｓｉｎα +2ｂ2 ｘ0 ｃｏｓα)ｔ+ａ2 ｙ20 +ｂ2 ｘ20 -ａ2 ｂ2 =0 .若直线ｌ2 截椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2…     

关于椭圆的一个命题

设Ｐ1Ｐ2 Ｐ3 Ｐ4 为椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1的内接矩形 (如图1) ,则Ｐ1Ｐ2 ,Ｐ1Ｐ4 分别平行于ｘ轴 ,ｙ轴 .证　不妨设ａ >ｂ ,Ｐｉ(ａｃｏｓαｉ,ｂｓｉｎαｉ) (ｉ =1,2 ,3,4 ) ,0≤α1<α2 <α3 <α4 <2π .因为矩形两条对角线相交于一点 ,且相互平分 ,所以ａｃｏｓα1+ａｃｏｓα3 =ａｃｏｓα2 +ａｃｏｓα4 ,ｂｓｉｎα1+ｂｓｉｎα3 =ｂｓｉｎα2 +ｂｓｉｎα4 ,即 ｃｏｓα1+ｃｏｓα3 =ｃｏｓα2 +ｃｏｓα4ｓｉｎα1+ｓｉｎα3 =ｓｉｎα2 +ｓｉｎα4(1)(2 )∴ (ｃｏｓα1+ｃｏｓα3 ) 2 + (ｓｉｎα1+ｓｉｎα3 ) 2=(ｃｏｓα2 …     

类比——让我分享一次成功

题 1　已知实常数ａ >0 ,ｂ >0 ,0 <θ <π2 ,求 ｙ =ａｓｉｎθ+ ｂｃｏｓθ的最小值 .当我试图去解这道题时 ,几经努力都没成功 ,失败使我陷入深思中 .忽然 ,我头脑中浮现出我曾做过的一道题 :题 2　已知实常数ａ >0 ,ｂ >0 ,且ｘ + ｙ=1,求 ｙ =ａｘ+ ｂｙ 的最小值 .这道题可以这样来解 :ｙ =ａｘ+ ｂｙ=(ａｘ + ｂｙ) (ｘ + ｙ)=ａ + ａｙｘ + ｂｘｙ +ｂ≥ａ + 2ａｂ +ｂ=(ａ +ｂ) 2 .其中当且仅当ａｙｘ =ｂｘｙ ,即 ｘｙ=ａｂ 时等号成立 .题 1、题 2很相似 ,但题 2有变量约束条件ｘ + ｙ =1,而题 1隐含条件ｓｉｎ2 θ +ｃｏｓ2 θ …     

平面向量的一个优美的综合公式

笔者研究发现 ,平面向量中有一个优美并且非常有用的综合公式 :图 1　证公式用图设 |ｂ→|=ｋ ,ｂ→ 与ａ→ 夹角为θ ,则有 :　ｂ→ =(ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ ,　ｓｉｎ(±θ) ) ,ｋａ→|ａ→|　·(ｓｉｎ( θ) ,ｃｏｓθ) ) .　　证　如图 1 ,设ａ→ =(ｘ ,ｙ)与ｘ轴正半轴夹角为α ,ｂ→ =(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则ｃｏｓα =ｘ|ａ→|,ｓｉｎα =ｙ|ａ→|.ｘ0 =ｋ(ｃｏｓ(α±θ) ) ,ｙ0 =ｋ(ｓｉｎ(α±θ) ) .ｘ0 =ｋ(ｃｏｓαｃｏｓθ ｓｉｎαｓｉｎθ)=ｋ(ｘ|ａ→|ｃｏｓθ ｙ|ａ→|ｓｉｎθ)= ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ,ｓｉｎ( θ) ) ,…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

课外练习

高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京　含　笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的…     

三角形的一个边角变换的推广

王开广老师在贵刊 2 0 0 1年第 5期给出了一个三角形边到角的三角函数的变换 :定理　 ｆ (ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ ｆ (ｃｏｓ Ａ2 ,ｃｏｓ Ｂ2 ,ｃｏｓ Ｃ2 ,18(ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ) ) ,其中ａ ,ｂ ,ｃ ,△分别是△ＡＢＣ的三边和面积 .下同 .本文予以推广推广　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ｆ(ａ′ ,ｂ′ ,ｃ′ ,△′) ,其中　　ａ′ =ｙ2 ｚ2 2 ｙｚｃｏｓＡ,ｂ′=ｚ2 ｘ2 2ｚｘｃｏｓＢ ,ｃ′ =ｘ2 ｙ2 2ｘｙｃｏｓＣ,△′ =12 | ｙｚｓｉｎＡ ｚｘｓｉｎＢ ｘｙｓｉｎＣ| .ｘ ,ｙ ,ｚ是任意实数 ,且ｘｙｚ≠ 0 .为证明该推广…     

圆锥曲线焦半径的一个性质

定理 1　Ａ1 ,Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ｆ为椭圆的焦点 ,ｌ为椭圆的与Ｆ对应的准线 ,Ｐ是椭圆上任一点 (除Ａ1 、Ａ2 外 ) ,设Ａ1 Ｐ、Ａ2 Ｐ分别与ｌ交于Ｍ、Ｎ ,则①ＭＦ⊥ＮＦ ,②以ＭＮ为直径的圆与ＰＦ相切于Ｆ ,③ＦＭ平分∠ＰＦＡ2 (如图 1 ) .图 1证明　①设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >ｂ>0 ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｆ(ｃ ,0 ) ,ｌ:ｘ =ａ2ｃ,Ａ1 (-ａ ,0 ) ,Ａ2 (ａ ,0 ) .则Ａ1 Ｐ :　　ｙ=ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα +1 ) (ｘ+ａ) ,Ａ2 Ｐ :　　ｙ =ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα - 1 ) (ｘ -ａ) ,容易求得Ｍ ａ2ｃ…     

一类转迹问题的一般解法

关于“已知某直线过一定点 ,且与某二次曲线相交 ,求所得弦的中点的轨迹方程“一类问题 ,可视具体情况采取多种解法 .利用直线的参数方程中参数ｔ的几何意义 ,可较简捷地得到一般解法 .问题 1　设直线ｌ过定点 (ｍ ,ｎ) ,且与椭圆ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 相交 ,求所得弦的中点的轨迹方程 .解　设直线ｌ的参数方程为 :ｘ =ｍ ｔｃｏｓαｙ =ｎ ｔｓｉｎα (ｔ为参数 ) ,代入椭圆方程 ,得ｂ2 (ｍ ｔｃｏｓα) 2 ａ2 (ｎ ｔｓｉｎα) 2 -ａ2 ｂ2 =0 ,化简得到(ｂ2 ｃｏｓ2 α ａ2 ｓｉｎ2 α)ｔ2 2 (ｂ2 ｍｃｏｓα ａ2 ｎｓｉｎα…     

圆锥曲线间的有趣变换

文 [1 ]中给出了双曲线的一个有趣的性质 ,受此启发 ,进一步研究 ,得到圆锥曲线间的一个有趣的变换 .定理 1　设椭圆Ｃ :ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,ＰＰ′是Ｃ上的垂直于ｘ轴的一条弦 ,Ａ(-ａ,0 ) ,Ａ′(ａ,0 )是Ｃ的两个顶点 ,则直线ＰＡ与Ｐ′Ａ′的交点在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 .证明　设Ｐ(ａｃｏｓｔ,ｂｓｉｎｔ) ,则Ｐ′(ａｃｏｓｔ,-ｂｓｉｎｔ) ,直线ＰＡ :ｙｂｓｉｎｔ=ｘ+ａａｃｏｓｔ+ａ (1 )直线Ｐ′Ａ′:ｙ-ｂｓｉｎｔ=ｘ-ａａｃｏｓｔ-ａ (2 )由 (1 ) ,(2 )解得 ｘ=ａｓｅｃｔ,ｙ=ｂｔａｎｔ.所以ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1…     

上期课外练习解答

高一年级1.设 ｆ(ｔ) =ｔ3 +2 0 0 3ｔ,易证 ｆ(ｔ)在Ｒ上是奇函数且递增函数 ,由题意可知 :ｆ(ｘ - 1) =- 1,　ｆ(ｙ - 1) =1.即　ｆ(ｘ - 1) =-ｆ( ｙ - 1) =ｆ( 1-ｙ) .∴　ｘ - 1=1-ｙ ,故ｘ +ｙ =2 .2 .由条件知 :ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ,ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 中必有一个不大于 1,一个不小于 1.不妨设　 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ≤ 1,　 ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 ≥ 1.∵　α ,β∈ ( 0 ,π2 ) ,又ｙ=ｓｉｎｘ在 ( 0 ,π2 )上递增 .∴　ｓｉｎα≤ｃｏｓβ且ｓｉｎβ≥ｃｏｓα .∴　ｓｉｎα≤ｓｉｎ( π2 - β)且ｓｉｎβ≥ｓ…     

巧用数学思想 探求三角最值

本文通过一道三角函数例题 ,说明函数最值的一些通常求法 .例　求函数ｙ =ｓｉｎｘ2 ｃｏｓｘ的最值 .思路 :本题可从化归思想出发 ,设法把函数变成ａｓｉｎ(ωｘ φ) =ｂ型 ;或借助万能公式 ,把函数转化成只含正切的函数 ;或寻求函数的几何背景 ,用数形结合的办法求出函数的最值 .解法 1　应用有界性将原函数变形 ,得2 ｙ ｙｃｏｓｘ =ｓｉｎｘ ,即ｓｉｎｘ -ｙｃｏｓｘ =2 ｙ ,∴ ｙ2 1ｓｉｎ(ｘ - φ) =2 ｙ ,其中 φ =ａｒｃｔｇｙ .∴ｓｉｎ(ｘ - φ) =2 ｙｙ2 1,则 2ｙｙ2 1≤ 1.解之得- 33≤ｙ≤ 33,∴ ｙｍａｘ=33,ｙｍ…     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

关于椭圆的十个最值问题

本文利用初等方法讨论了与椭圆有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 ,为方便读者选用 ,现用定理形式叙述如下 .定理 1　椭圆ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ >0 )的内接三角形的面积的最大值为3 34ａｂ .证明　设该椭圆内接三角形ＡＢＣ三顶点坐标按逆时针方向依次为Ａ(ａｃｏｓθ1 ,ｂｓｉｎθ1 ) ,Ｂ(ａｃｏｓθ2 ,ｂｓｉｎθ2 ) ,Ｃ(ａｃｏｓθ3,ｂｓｉｎθ3) ,则 △ ＡＢＣ的面积为Ｓ=121　ａｃｏｓθ1 　ｂｓｉｎθ11　ａｃｏｓθ2 　ｂｓｉｎθ21　ａｃｏｓθ3　ｂｓｉｎθ3=12 ａｂ1　ｃｏｓθ1 　ｓｉｎθ11　ｃｏｓθ2…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…     

两种类型二元三角方程的图形的描绘

在中学数学里 ,我们讨论了ｙ =ｓｉｎｘ、ｙ =ｃｏｓｘ等特殊二元三角方程的作图方法 ,在 2 0 0 0年全国高考试卷中 ,出现了二元三角方程ｙ =-ｘｃｏｓｘ的图形 ,在这里我们通过例题讨论另两类二元三角方程的作图方法 ,通过讨论这两类二元三角方程的作图 ,可以加深对三角知识的理解 ,加强三角知识和平面解析几何知识之间的联系 ,也可以提高师生的作图技能 .1　形如Ｆ(ｃｏｓωｘ ,ｓｉｎｕｘ) =0的方程的图形例 1　画出在 0≤ｘ≤ 2π ,0 ≤ｙ≤ 2π范围内ｓｉｎ2 2ｘ ｃｏｓ2 ｙ =1的图形 .解　∵ｃｏｓ2 ｙ=1 -ｓｉｎ2 2ｘ,∴ｃｏｓ2 ｙ=…     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷)(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(ａ +β) +ｓｉｎ(α-β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(ａ+β) -ｓｉｎ(α -β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(ａ+β) +ｃｏｓ(α -β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ =-12 [ｃｏｓ(ａ +β) -ｃｏｓ(ａ-β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′ +ｃ)ｌ其中　ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长球的体积公式Ｖ球 =43 πＲ3　　其中Ｒ表示球的半径一 选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )圆 (ｘ -1 ) 2 +ｙ2 =1的圆心到直线ｙ=33…     

上期课外练习解答

高一年级1 .在ＡＢ上取一点Ｄ ,使ＤＢ =ＣＢ ,设Ｅ为Ｄ关于ＡＣ的对称点 .连ＥＡ ,ＥＢ ,ＥＤ ,ＣＤ .易证△ＤＣＥ为正三角形 .ＢＥ为ＤＣ的中垂线 ,ＡＣ为ＤＥ的中垂线 ,有 :∠ＥＢＡ =4 0° =∠ＥＡＢ ,ＥＢ =ＥＡ =ＡＤ =ｂ -ａ .在△ＡＢＥ中 ,ｃｏｓ∠ＡＥＢ =2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ -ａ) 2 ;在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ∠ＡＢＣ =ａ2 +ｂ2 -ｂ22ａｂ ;由ｃｏｓ∠ＡＥＢ =-ｃｏｓ∠ＡＢＣ ,得2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ-ａ) 2 =- ａ2ｂ.整理 ,得　ａ3+ｂ3=3ａｂ2 .2 .ｙ=1 -ｓｉｎｘｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘｃｏｓｘ=212 ｓｉｎ2ｘ + 1- 1 .∵　 π…     

一个三角函数的最小上界

第 1 9届全俄中学生数学奥林匹克竞赛中有一个三角不等式问题 :求证 :对任意的实数ｘ,ｙ,ｚ,有下面的不等式ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ+ｓｉｎ2 ｙｃｏｓｚ+ｓｉｎ2 ｚｃｏｓｘ<32 (1 )成立 .文[1 ]对(1 )做了推广 ,给出一个一般性的结果 :命题 1　设ｘ,ｙ,ｚ∈ 0 ,π2 ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,则ｓｉｎｍｘｃｏｓｎｙ+ｓｉｎｍｙｃｏｓｎｚ+ｓｉｎｍｚｃｏｓｎｘ<1 +ｍｍｎｎ(ｍ+ｎ) ｍ+ｎ (2 )并根据 (2 )将 (1 )加强为ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ +ｓｉｎ2 ｙｃｏｓｚ +ｓｉｎ2 ｚｃｏｓｘ<1 +2 39≈ 1 3 85 (3 )本文进一步将 (3 )加强为ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ+ｓｉ…