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垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理 ,它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据 ,也是学好本章的基础 .在学习中要注意以下几点 :一 .圆的轴对称性是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折 ,直径两边的两个半圆就会重合在一起 .因此 ,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折 ,直径两侧的两个半圆能重合这事实 ,指出圆是轴对称图形 ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 ,然后利用这一性质给出了垂径定理 ,并利用圆的轴对称性证明 .所以 ,圆的轴对称性是垂径定理的理论基础 .二 .垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理 (推论 )中 ,一是隐含着一条直线 ;二是该直线具有以下性质 :①经过圆心 ;②垂直于弦 ;③平分这条弦 ;④平分这条弦所对的劣弧 ;⑤平分这条弦所对的优弧 .垂径定理可以简记为 :①② ③④⑤由于垂径定理本身的结论有多个 ,因此在构造逆命题时也会有多个 ,这就需要掌握构造逆命题的技巧 .例如 ,以① ,③为条件的逆命题为 :如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦 (不是直径 ) ,那么这条直线垂直于弦 ,且平分弦所对的... 相似文献
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据说 ,孙悟空用金箍棒在地面上画了一个半径为R的圆而携棒离去后 ,余下的师徒三人不仅在该圆之内能避妖袭 ,而且在以该圆的任一弦为直径的圆内也同样安然无恙 .试问这个安全区域的面积有多大 ?笔者组织学生讨论 ,求得问题的答案 ,并由此探索出一些结果 .如图 ,设悟空所画之圆为⊙O ,⊙C是以⊙O的任一弦AB为直径的圆 ,点P是OC之延长线与⊙C的交点 .显然 ,OC⊥AB .注意到⊙C的可变性易看出 ,题述之安全区域乃是以O为圆心、OP的最大长度为半径的一个“圆盘” .如何求OP的最大长度呢 ?设⊙C的半径为r,OC =x ,OP =y … 相似文献
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华东师大版《数学》九年级 (上 )第四十八页“试一试” ,同学们 ,发现了什么结论吗 ?这个结论是 :垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .这个结论叫做垂径定理 .而实际上 ,如果一条直线具有 :( 1 )垂直弦 ;( 2 )过圆心 ;( 3 )平分弦 ;( 4 )平分弦所对的劣弧 ;( 5 )平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个 ,那么它同时也具有其余三个性质 .(具有 ( 2 )、( 3 )时 ,弦不能为直径 ) .一、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ,在实际中有着广泛的应用例 1 如图 1 .在⊙O中 ,弦AB的长为 1 6cm ,⊙O的半径为 1 0cm ,求圆心O到AB的距离 .解 :过点O作OE⊥AB于E ,连结OA .因为OE过圆心且垂直于弦 ,所以平分弦 .因此 AE =12 AB =8cm .根据勾股定理 ,得OE =OA2 -AE2 =1 0 2 -82 =6cm .因此圆心O到AB的距离为 6cm .例 2 “五段彩虹展翅飞” .我省利用国债资金所建的横跨南渡江的琼州大桥 ,今年 5月 1 2日正式通车 .该桥的两边均有五个红色的圆拱 (如图 2 ) ,其中最高的圆拱的跨... 相似文献
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A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .确定一个圆的要素是和 .2 .若要证明五个点在同一个圆上 ,根据定义应该证明 .3 .已知⊙O的最大弦是 8cm ,点A ,B ,C与圆心O的距离分别为 4cm ,3cm ,5cm ,则点A在 ,点B在,点C在 .4.△ABC的三边为 3 ,2 ,1 3 ,设其三条高的交点为H ,外心为O ,则OH =.5 .在半径为 5cm的圆中 ,弦AB∥CD ,AB =6cm ,CD =8cm ,则AB和CD的距离是 .6.如图 1 ,⊙O的直径为 1 0 ,弦AB =8,P是弦AB上的一个动点 ,那么OP长的取值范围是 .7.如图 2 ,⊙O中 ,弦CD与直径AB相… 相似文献
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课题抽屉原理适用年级初中一年级学期2005-2006学年第一学期训练目的能够运用抽屉原理解决问题,通过解决问题的过程,学会构造“抽屉”。典型范例例有一个圆心任意作992条直径,它们与圆共有1986个交点,在每个交点分别填写 相似文献
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在解析几何中有些问题涉及到以二次曲线的弦为直径的圆方程 ,若用求圆心和半径的方法来解 ,一般较为麻烦 .这里介绍一种较简单的解法 .先来看一个结论 :若直线l与二次曲线C有两个交点A ,B ,则将直线l与二次曲线C的方程联立 ,分别消去y和x ,所得的关于x和y的两个一元二次方程 (让二次项系数相等 )相加即得以AB为直径的圆方程 .应用上述结论的思路解决二次曲线中有关问题是比较方便的 .下面举几个例子介绍有关问题的这种解题模式 .例 1 设过坐标原点的直线l与抛物线C :y2=4(x - 1 )交于A ,B两点 ,且以AB为直径的圆恰好经过抛物线C的焦点… 相似文献
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从平面几何知识知道,圆中垂直于弦的直径必过此弦的中点,反之,圆中任意一条弦的中点,必在垂直于此弦的直径上,而且,与已知弦平行的一组弦的中点,都在这条直径上。于是,我们这样定义圆的直径: 定义1 圆中一组平行弦的中点所在的直线(诸平行弦中点轨迹),叫做这组平行弦所确定的直径。(括号内的叙述是狭义的) 定理1 圆x~2+y~2=R~2的直径方程可表示为 x+ky=0,其中k为诸平行弦的共同斜率。证明设诸平行弦中的任意一条弦的方程为 y=kx+b,其中b是参数。又设它与圆 相似文献
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圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各省市中招考试必考的重要知识 ,尤其是“和圆有关的比例线段”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .和圆有关的比例线段 ,知识点多 ,综合性强 ,题型广泛 ,方法灵活 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要给予高度重视 .以下谈谈“和圆有关的比例线段”的学习需注意的几个要点 ,并举例说明 ,供读者阅读参考 .一、熟练掌握相关定理及推论1.相交弦定理 :圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的积相等 .如图 1,弦AB ,CD相交于P点 ,则有PA·PB =PC·PD .2 .相交弦定理的推论 :如果弦与直径垂直相… 相似文献
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笔者在高考复习中发现江苏省 1 997年普通高等学校单独招生考试数学试题的最后一题 ,即第 2 5题是一道病题 .原题是这样的 :已知圆 C:x2 y2 - 1 0 x =0 ,过原点的直线l被圆 C所截得的弦长为 8,求以圆 C的圆心为一个焦点 ,以 l为渐进线的双曲线方程 .根据题意 ,过原点的直线 l被圆 C所截得的弦长为 8,这样的直线 l有两条 y =34x与 y =- 34x,到底以哪一条为渐近线呢 ,还是以这两条为渐近线呢 ?这里原题只说求以圆 C的圆心为一个焦点 ,以 l为渐近线的双曲线方程 .依题意 ,渐近线 l的选择可以任取一条 .这里就有这样一个问题 ;以一个点为焦点… 相似文献
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证明某直线是圆的切线的主要证题依据是 :(一 )切线的判定定理 :经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ;(二 )圆心到直线的距离d与圆的半径的数量关系 :直线l和⊙O相切 d =r,即当d =r 直线l和⊙O相切 .这一证题依据的实质就是 :若圆心到某直线的距离等于半径 ,则此直线是圆的切线 .在大量有关切线判定的题型中 ,常规辅助线的作法通常有以下两种 :一 .连线得半径要证明某直线是圆的切线 ,若此直线与圆有一个明确的交点而经过此点的半径未作出时 ,则连结圆心和此交点 ,得到圆的半径 ,再利用第一个证题依据 ,即切线的判定… 相似文献