2~(1/2)——无理数的诞生

毕达哥拉斯(约公元前580-前500年)是古希腊的数学家、哲学家和天文学家.公元前6世纪时,他是古希腊的数学权威,并建立了毕达哥拉斯学派,公元前5世纪处于鼎盛时期.这个学派为数学和天文学的发展作出过宝贵的贡献,其中最著名的是勾股定理,据说他们证出此定理后,杀了一百头牛以示庆     

证明3~(1/2)是无理数的方法推广

《中学生数学》的文[1]、[2]证明(1/2)~3是无理数的方法均带有特殊性．不易推广．本文将用反证法给出证明(1/2)~3是无理数方法的两种推广,供同学们参考．     

3~(1/2)是无理数的证明

一些同学对无理数的证明很感兴趣,并从不少的资料中也看到了2~(1/2)是无理数的详尽证明。然而又如何去证明3~(1/3)是无理数呢? 证明假设3~(1/3)是有理数,则存在互质数p、q使得3~(1/3)=q/p。两边平方得3=q2/p2,     

3~(1/2)是无理数的又一简证

文[1]对一道小证明题竟用到数学的分类思想、反证法、奇偶数的性质．本文换个角度, 依据质数不可以质因数分解的性质,给出一个较为简明的证明,并顺势推广到一类无理数．     

(P~2+k)~(1/2)是无理数的证明

<正>定理若p为正整数,k为半偶数,则(p²+k)(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如(22+k)(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如(2²+12)(1/2)=16不是无理数,原因为12不是半偶数.下面用穷举反证法分两部分证明定理.     

2~(1/2)是无理数的六个证明

“如何证明是无理数呢？”“那还不容易！设，可当m和n不全是偶数。由于，m对必为偶数，写作2k，则4k2=2n2，2k2=n2，故n亦是偶数，矛盾！”上述证明，只用到奇偶性质，来源已不可稽考。亚里士多德（Aristotle）在公元前330年左右把它（以几何形式）写下来，用作反证法的示范，可见在那个时候这回事已是众所周知了。不过由放这证明是如此简洁，很多数学史家都相信那不是这回事的发现经过，而是“事后孔明”的解释。在这个证明中，2并没有什么特别，换了是另一个质数，同样的思路仍可沿用，只是单凭奇偶性质并不足够，需要用到质因子唯一分…     

用x~(1/2)±y~(1/2)=(x y±(2xy~(1/2)))~(1/2)解题

公式若注意其特点,巧解妙证一些题,真是别有情趣。例1 求函数f(x)=1-cos2x 1 cos2x~(1/2)的最小正周期。解由(＊)得解由a在二象限知sina>0, cosa<0 由(＊)得原式=2 2cosa~(1/2) 1-sina~(1/2)-1 sina~(1/2)     

化简(a±b~(1/2))~(1/2)的一种方法

把(a±b~(1/2))~(1/2)化简。但这个公式比较难记,化简又繁,且容易弄错。在教学实践中,我认为采用下面方法较为简便。     

2~(1/2)是无理数的另一个简捷证明

<正>有许多方法可以证得2^(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2^(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2^(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2^(1/2)是有理数,那么它必然可以写成两个整数的比的形式,对分子分母约分,一定可     

arcsin(1-x~2)/(1 x~2) arccos(2x)/(1 x~2) 2arctg(2x)/(1-x~2)的构图

题目设,求的值此题通常是观察联想，应用万能公式作交换的典型题．然而，笔者通过构造直角三角形来求解，则更为简洁，令人叹服．解构造Rt凸ABC，使LC＝90”，AC一2，＊C一I－／，则＊B＝1＋’，如图．arcsin(1-x~2)/(1 x~2) arccos(2x)/(1 x~2) 2arctg(2x)/(1-x~2)的构图@毛晓峰$兰州铁路一中!73000     

方程~2u/x~1x~1 ~2u/x~2x~2=f(u)的Bcklund变换

本文利用Wahlquist-Estabrook过程(WEP)研究了方程(?)~2u/(?)x~1(?)x~1 (?)~2u/(?)x~2(?)x~2=f(u)(这里f是任意函数)的B(?)cklund变换.我们发现该方程存在B(?)cklund变换的充分条件是d~2f/du~2=λf.我们所得到的结果的一个特殊情况就是Leibbrandt的结论.     

实数p~(1/2)+(p+k)~(1/2)是无理数的证明

<正>定理若p为半偶数,k为奇数,则槡p^(1/2)+(p+k)(1/2)+(p+k)^(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如4(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如4^(1/2)(4+5)(1/2)(4+5)^(1/2)不是无理数,原因为4不是半偶数.下面证明定理.     

(2x)~(1/2)与x~(1/2)是同类二次根式吗

数学是一门有趣的科目,它启示人们不断探索.正因此,历史上出现了诸多数学难题.今天我们来一起讨论一个小问题,即:"(2x)~(1/2)与x~(1/2)是否是同类二次根式",这个问题是初二学生几乎都见过的一道普通的关于同类二次根式的判断题,也许很多人会根据课本上给出的定义不假思索地回答"不是",有可能一些人会觉得这是一个很幼稚的问题,但我却不这样认为. 是的,当我们看到这道题时,就会联想到     

有意思的无理数(n2+1)1/2

<正>人们对于无理数的认识经历了漫长而曲折的历史过程,其中流传着一个故事.毕达哥拉斯(公元前500年左右)学派有着“万物皆是数”的基本观点,他们这个学派的人认为数就只有正整数及正整数之比,还认为正整数就是组成物质的基本粒子.后来,在毕达哥拉斯学派有一个叫做西帕苏斯的年轻人,他第一个发现了正方形的边和对角线的长度之比不是正整数之比,     

方程2(x+(x~2-1)~(1/2))=(x-1+(x+1)~(1/2))~2的另一解法

贵刊83年6期《问题征解》一栏中,刊登了上面这个方程的解法,本人觉得比较繁,既设辅助未知数,又出现了高次方程。这里提出一个解法,迴避了上述两个问题,使解法过程简化。只要看出有 2x+2(x~2-1)~1/2=((x+1)~1/2+((x-1)~2)~1/2即可简化过程,从而原方程变形成 (x+1)~1/2+(x-1)~1/2=(x+1)~1/2+x-1。整理得     

关于e~(1/tm~(1/2))为无理数的注记

主要利用幂级数展开式证明了e~(1/tm~(1/2))(m=1,2,3,…,n,t=1,2,3,…,n)是无理数.     

这样证3~(1/2)是无理数更简捷

《中学生数学》2004年3月上(高中版第3期)给出了~3(1/2)是无理数的证明,但过程繁琐.现给出它的简捷证法. 证明用反证法:假设~3(1/2)是有理数,则可设~3(1/2)=m/n(m∈Z,n∈N )且m,n互质. ∴3=m2/n2(?)m2=3n2, ∴m必为3的倍数,可设m=3k(k∈Z),     

从证明“2~(1/2)”是无理数所想到的

一般数学资料上在谈到实数分类时,都讲到无理数,但往往所举之例多是证明2~(1/2)为无理数,以及用几何方法在数轴上作表示2~(1/2)的点。其证明都是采用反证法,首先假设它是有理数,按反设—推演—矛盾—结论的步骤证明,那么形如3~(1/2)、5~(1/2)、7~(1/2)、……等等无理数是否可以采用同样的方法证明呢?我请教了数学老师,他们都隐约给我提了些线索让我思考,并指点了     

p~(1/n)是无理数的简证

《中学生数学》04年3月(上)期P30刊登了3~(1/3)是无理数的证明”,读后颇受启发,但感到邓老师的证法有点繁,现首先给出如下简证: 证明假设3~(1/3)=q/p,P,q互质,平方整理得3p2=q2 若q=3n 1(n∈N),则q2=9n2 3n 1;     

漫谈曲线x~(2/3) y~(2/3)=a~(2/3)的构成

曲线总是作为符合某种条件的动点的集合(轨迹)。方程x~(2/3) y~(2/3)=a~(2/3)所表示的是一种特殊的曲线。它是符合什么条件的动点的集合呢?一般都是采用圆的一种内摆线形成方法而得出方程。有的书上就直接就方程进行讨论,从而指出这个方程所表示的曲线通常称为星形线。