浅论矩阵初等变换法在数论中的应用

矩阵论是一个应用十分广泛的数学学科 .本文将以矩陈的初等变换法为理论工具 ,谈谈它在数论中的两个应用 .本文约定 :小写拉丁字母表示整数 ,大写拉丁字母表示整数矩阵 ,对矩阵实施初等变换的过程中所用到 (得到 )的数均为整数 .1　一个命题命题 1　设 (ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ) =ｄ ,则存在可逆方阵Ａ =[ａｉｊ]ｎ×ｎ,使得ａ1 ａ2 …ａｎ Ａ =[ｄ 0… 0 ](ｎ≥ 2 ) .证明 (数学归纳法 )(1 )当ｎ =2时 ,不妨设ａ1 >ａ2 >0 (否则可以施以倍法变换或换位变换 ,使得ａ1 >ａ2 >0 ) ,由辗转相除法知 :ａ1 =ｑ1 ａ2 +ｒ1 ,0 <ｒ1 <ａ2ａ2 =ｑ2 ｒ1 +…     

整数的一个令人惊奇的性质

文〈1〉提出了整数的一个令人惊奇的性质 :对任意的一个整数 ,以你喜欢的任意方式重新排列 ,则开头的数与新的数之间的差 ,永远会被 9整除 !例如 :原数为 1 2 56 3 ,重排后的新数为 2 3 6 51 ,它们的差为 1 1 0 88,1 1 0 88÷ 9=1 2 3 2 ;原数为 3 3 3 3 3 ,重排后还是 3 3 3 3 3 ,它们的差为 0 ,0÷ 9=0 ;原数为 6 72 6 3 6 ,重排后为6 6 6 3 72 ,差为 6 2 6 4,6 2 6 4÷ 9=6 96 .以上选出的三个数都具有这个性质 ,有兴趣的话你可以任选整数进行尝试 .这个性质如果要进行严格的证明 ,似乎无从入手 .我们就先从两位数入手 .设原两位数为ａｂ…     

斐波那契记数法及其应用

记数法的基本功能是记数 ,但在本文中我们即将看到 ,在解答数学问题时 ,不同的记数法各有其十分广泛的应用 .1　记数法的一般原理我们最熟悉的记数法是 1 0进制记数法 ,而在电子计算机中普遍使用二进制记数法 .记数法的本质是什么 ?让我们通过 1 0进制记数法来加以分析 .在 1 0进制记数法中 ,我们有一个由 1 0的幂组成的基本序列 (ｑｎ) :(ｑｎ =1 0 ｎ:ｎ≥ 0 ) ={ 1 ,1 0 ,1 0 0 ,1 0 0 0 ,...}(1 )这个序列具有下列特点 :ⅰ )首项为 1 :ｑ0 =1 ,ⅱ )严格单调上升 :ｑｎ <ｑｎ 1 ,ｎ≥ 0 ;(2 )ⅲ )趋于无穷大 :ｑｎ → ∞ (ｎ→∞ ) .设…     

与多位数有关的应用题的解法

<正>与多位数有关的应用题是初中的重要题型,但学生对这个问题并不熟悉,解题中经常出错,为此本文对此进行解读,要学好数位、数字应用题必须注意两点:1.抓住概念打好基础学好概念即正确理解:数字、数位、数.(1)数字是指0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;(2)数位是指:个位、十位、百位、千位、万位、……;(3)数是由数字组成,同时还要注意数位,数字是数.但数不一定是数字,可它是由数字组成的.例如数字9是数,但数12不是数字.     

保加利亚教育科学部第50届数学奥林匹克试题(续完)

4　ｎ≥ 2为固定的整数 ,定义任意整数坐标点 (ｉ,ｊ)关于ｎ的余数是ｉ ｊ关于ｎ的余数 .找出所有正整数数组 (ａ ,ｂ)使得以 (0 ,0 ) ,(ａ ,0 ) ,(ａ ,ｂ) ,(0 ,ｂ)为顶点的长方形具有如下性质 :1 )长方形内整数点以 0 ,1 ,2 ,… ,ｎ - 1为余数出现的次数相同 ;2 )长方形边界上整数点以 0 ,1 ,2 ,… ,ｎ- 1为余数出现的次数相同 .解　长方形边界上共有 2 (ａ ｂ)个整点 ,则有ｎ|2 (ａ ｂ) .长方形内共有 (ａ - 1 ) (ｂ - 1 )个整点 ,∴ｎ|(ａ - 1 ) (ｂ - 1 ) .当ｎ =2时 ,为使其中被 2除余 0 ,1的点的个数相同 ,则必有 2 |(ａ - 1 ) (…     

零指数幂与负整数指数幂精析

<正>一、零指数幂和负整数指数幂的意义同底数幂相除,当被除式的指数等于或小于除式的指数时,就会出现零指数和负指数,因此,对零指数幂和负整数指数幂的意义作了如下规定:a⁰=1(a≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.a0=1(a≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.a^(-p)=1/a(-p)=1/a^p(a≠0,p是正整数),即任何不等于0的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数.理解和运用这两个法则时应注意以下几     

一道竞赛试题的推广

20 0 2年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛试题中的第 1 5题是这样的 :设数列 {ａｎ}是一个公差不为零的等差数列 ,ａ5 =6 .1 )当ａ3 =3时 ,请在数列 {ａｎ}中找一项ａｍ,ｍ >5,使得ａ3 ,ａ5 ,ａｍ 成等比数列 ;2 )当ａ3 =2时 ,若自然数ｎ1,ｎ2 ,… ,ｎｔ,… ,满足 5<ｎ1<ｎ2 <… <ｎｔ<… ,且ａ3 ,ａ5 ,ａｎ1,ａｎ2 ,… ,ａｎｔ,…是等比数列 ,求ｎｔ.3)如果存在自然数ｎ1,ｎ2 ,… ,ｎｔ,…满足 5<ｎ1<ｎ2 <… <ｎｔ<… ,使得ａ3 ,ａ5 ,ａｎ1,ａｎ2 ,… ,ａｎｔ,…构成一个等比数列 ,求证整数ａ3 必为 1 2的正约数 .这是一道很好的考题 …     

数学趣题

题目 1　空间中能否存在一种多面体 ,它有奇数个面 ,并且每个面又有奇数条边 ?解　设该多面体有ｎ个面 ,ｎ是奇数 ,这ｎ个面的边分别有ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 条 ,则这个多面体的总棱数为12 (ａ1+ａ2 +… +ａｎ) .因为ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 均为奇数 ,ｎ也为奇数 ,所以ａ1+ａ2 +… +ａｎ 为奇数 ,12 (ａ1+ａ2 +… +ａｎ)不为整数 ,产生矛盾 !说明这样的多面体不存在 .题目 2　古书上说 ,今有枯木一根直立地上 ,高二丈 ,周三尺 ,有葛藤自根均匀绕缠而上 ,七周而达其顶 ,问葛藤之长几何 ?(1丈 =1 0尺 )解　假设葛藤攀援而上的轨迹是一条螺旋线 (即自…     

非负数的性质及其应用

当实数ａ 0时 ,我们称ａ为非负数 .在初中阶段 ,常见的非负数主要有以下几种形式 :(1 )实数ａ的偶次方 ,即ａ2ｎ(其中ｎ为整数 ,且当ｎ =0时 ,ａ≠ 0 ) ;(2 )绝对值 ,如 |ａ|等 ;(3 )算术根 ,如ａ(ａ 0 )等 ;(4 )二次根式的被开方式 ,即在二次根式ａ中 ,ａ 0 .非负数有两条非常重要的性质 :(Ⅰ )有限个非负数之和仍为非负数 ;(Ⅱ )如果若干个非负数之和为零 ,那么每个非负数均为零 .这两条性质在解题中往往扮演隐含条件的角色 ,需要我们去挖掘 ,充分发挥它的作用 .本文着重在这方面通过举例向读者介绍 ,仅供参考 .二 .利用非负性判定一些…     

参赛应用题选登

题 42　从 1 980年 1月起计 ,用ａｎ 记某厂第ｎ月的月产值 (ａ1记 1 980年 1月的产值 ,… ,ａ13记 1 981年 1月的产值 ,… ) ,Ｓｎ 记该厂从 1 980年 1月至第ｎ月的总产值 ,即Ｓｎ=ａ1 ａ2 … ａｎ.据该厂产值的统计表发现Ｓｎ 与ａｎ 满足线性关系 :Ｓｎ=ｋａｎ ｈ(ｋ ,ｈ都是常数 ,ｋ >0且ｋ≠ 1 ,ｈ≠ 0 ) .1 )证明 :从 1 980年 2月起 ,任意一个月的产值比它上一个月的产值增长 (减少 )的百分率是一个定值 ;2 )若从 1 980年 1月起每月的产值递增 ,试确定ｋ ,ｈ应满足的条件 ;3 )若ｋ =2 1 ,求产值的月平均增长率及年平均增长率 (精确…     

读者信箱

(一 )　　 2 0 0 0年第 9期数学问题的第 1 2 67题是 :试确定ａ0 的取值范围 ,使由递推式ａｎ 1 =- 3ａｎ 2 ｎ(ｎ=0 ,1 ,2 ,… )给出的数列是严格增数列 .该题提供者给出的解答有误 ,原解答是ａ0 >16 .为说明ａ0 >16 不正确 ,只要举个反例即可 ,例如当ａ0 =1时 ,数列 {ａｎ}是 1 ,- 2 ,… ,足见不是增数列 .如何求ａ0 的范围 ?可先解出ａｎ,一种解法是 :ａｎ 1 =- 3ａｎ 2 ｎ ａｎ 1 - 2 ｎ 15 =(- 3) (ａｎ- 2 ｎ5)∴ａｎ- 2 ｎ5 =(ａ0 - 15) · (- 3) ｎ,ａｎ =2 ｎ (- 1 ) ｎ 1 3ｎ5 (- 1 ) ｎ· 3ｎ·ａ0考查△ｎ =ａｎ-ａｎ - 1…     

n元一次不定方程解法新论

文 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]都研究了ｎ元一次不定方程的通解问题 ,受 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]的启发 ,笔者提出更为简捷有效的解法 .ｎ元一次不定方程ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ ,其中ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ,Ａ都是整数 ,当 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ)｜Ａ时 ,ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ必有整数解 .在有整数解的前提下 ,不妨设 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ) =1 (下同 ) .1　二元一次不定方程二元一次不定方程ａｘ+ｂｙ=ｃ(ａ ,ｂ,ｃ∈Ｚ ,(ａ,ｂ) =1下同 )的所有整数解为ｘ=ｘ0 +ｂｔｙ=ｙ0 -ａｔ(ｔ∈Ｚ)其中ｘ0 ,ｙ0 是ａｘ+ｂｙ =ｃ的一个特…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (第 4 7届拉脱维亚数学奥林匹克 )已知ａ ,ｂ是互不相同的自然数 ,求证 :存在无穷多个自然数ｎ ,使得ａ +ｎ与ｂ +ｎ互素 .证　不妨设ｃ =ａ -ｂ >0 ,则存在非负整数 ｑ ,ｒ ,使得ｂ =ｑｃ +ｒ ,这里 0≤ｒ≤ｃ -1 ,令ｎ =ｃ +1 -ｒ +ｋｃ ,这里ｋ为非负整数 ,则ａ +ｎ =(ｂ +ｃ) +(ｃ+1 -ｒ +ｋｃ)=ｑｃ+ｒ +2ｃ+1 -ｒ +ｋｃ=(ｑ +ｋ +2 )ｃ+1 .ｂ +ｎ =(ｑ +ｎ +1 )ｃ +1 .设ｄ是ａ +ｎ与ｂ +ｎ的最大公约数 ,则ｄ|(ａ +ｎ) - (ｂ +ｎ) =ａ -ｂ =ｃ,∴ｄ|1 ,∴ｄ =1 .∴ａ +ｎ与ｂ +ｎ互素 .2　 (拉脱维亚第 4 7届数学奥林匹克 )是否…     

也谈符号a~(1/n)究竟表示什么?

众所周知 ,在实数系 ,符号ｎａ有明确的意义 :如果ａ>0 ,ｎａ表示一个正数 ,它的ｎ次方等于ａ ,即 ｎａ>0 ,且 ( ｎａ) ｎ =ａ .这时 ,ｎａ表示ａ的ｎ次算术根 .如果ａ=0 ,ｎａ=0 ,如果ａ <0 .当ｎ是奇数时 ,ｎａ =- ｎ -ａ这里的 ｎ -ａ是正数 -ａ的ｎ次算术根 ,当ｎ是偶数时 ,ｎａ没有意义 .在实数系扩张到复数系以后 ,ｎａ的意义就显得非常模糊 ,混乱 .С .И .诺娃塞落夫著《代数与初等函数》第五章“复数“第 5 5节”中说 ,符号ｎｚ表示ｚ的ｎ个互不相同的ｎ次方根 :ｎｚ=ω0 ,ω0 ε ,ω0 ε2 ,…… ,ω0 εｎ- 1 ,其中ｚ=ρ(ｃｏｓ…     

作者·读者·编者

辽宁省大连市 112中学车延文 ,尹向阳读者来信指出 :《数学通报》2 0 0 0年 5月号问题 12 51的解答有不妥之处 .因为数 4 / 9ａ2 ｎ-8和 2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ-8)不是两个无关的数 .数 4 / 9ａ2 ｎ-8是数列 {4 / 9ａ2 ｎ-8}的第ｎ项 .利用关系ａｎ 1 =12 ａｎ 49ａｎ,易知 4 / 9ａ2 ｎ 1 -8=2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ -8) .因此 2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ -8)是数列 {4 /9ａ2 ｎ-8}的第ｎ 1项 .所以用数学归纳法来说明这两个数均为自然数时 ,仅验证ｎ =1时 .结论成立就不够了 .必须验证ｎ =1,及ｎ =2时结论成立 ,整个证明的叙述应改为如下 :令Ａｎ=4 / …     

关于有效数字教学的一点意見

1964年新编初中代数课(第三册,第一分册)中,有效数字是近似计算一章中基本概念之一。它是以后讲解乘、除、乘方、开方运算的基础。课本中给出定义:一个近似数的绝对誤差,如果不超过它最末一位的半个单位,那么这个近似数从左边第一个不是零的数字起,到末位数字止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。如何利用学生已有的知识和具体例子引出有效数字这一新概念,确实是值得研究的问题。下面谈谈我在教学上是如何安排的,请大家指正。 (1) 复习绝对誤差,相对誤差等有关概念。 (2) 在复习的基础上,计算四舍五入得来的近似数0.304,0.00304,0.3040,0.003040的绝对誤差和相对誤差。把计算结果列成下表:     

谈新教材中“数的开方”的学习

一、基本原理1 .基本概念( 1 )平方根 ;　 ( 2 )算术平方根 ;( 3 )立方根 ;　 ( 4)开平方 ;( 5)开立方 ;　 ( 6)二次根式 .2 .推广概念ｎ次方根 :如果ｘｎ=ａ(ｎ是大于 1的整数 ) ,那么 ,ｘ叫做ａ的ｎ次方根 .3 .方根的性质( 1 )一个正数有两个偶次方根 ,这两个偶次方根互为相反数 ,零的偶次方根是零 ,负数没有偶次方根 .( 2 )一个正数有一个正的奇次方根 ,一个负数有一个负的奇次方根 ,零的奇次方根是零 .平方根是偶次方根的特殊情况 ,立方根是奇次方根的特殊情况 .4 .开方与乘方的关系开方与乘方互为逆运算 ,用乘方可检验开方的结果是否正…     

等比数列一个性质的运用

性质　设数列 {ａｎ}是等比数列 ,公比ｑ≠ 1,Ｓｎ 为它的前ｎ项和 ,规定Ｓ0 =0 ,则对任意的自然数ｍ ,ｎ ,当ｍ≠ｎ时 ,总有Ｓｎ-Ｓｍｑｎ-ｑｍ =ａ1 ｑ -1=常数 .此性质的证明不难 ,只须将Ｓｎ =ａ1 ( 1-ｑｎ)1-ｑ ,Ｓｍ=ａ1 ( 1-ｑｍ)1-ｑ 代入便得 ,同时也可验证当ｍ和ｎ之一为零时 ,结论也成立 .本文主要利用 Ｓｎ-Ｓｍｑｎ-ｑｍ 为常数这一特征简捷求解某些等比数列的“和”问题 .例 1　 ( 1990年广东试题 )已知等比数列的公比为 2 ,且前 4项之和为 1,那么前 8项之和等于 (　　 )(Ａ) 15 .　 (Ｂ) 17.　 (Ｃ) 19.　 (Ｄ) 2 1.解　由性…     

对一个不等式猜想的讨论

设ａ >0 ,令Ｓｎ(ａ) =ａ ａ … ａ(ｎ个根号 ) ,(1 )ｆｎ(ａ) =ａ-Ｓｎ 1 (ａ)ａ -Ｓｎ(ａ) ,ａ≠Ｓｎ(ａ) ,(2 )其中ｎ∈Ｎ ={1 ,2 ,… }.当ａ=2时 ,文〔1〕上有如下不等式 :14<ｆｎ(ａ) <π22 7,ｎ∈Ｎ . (3)同时 ,当ａ>1时 ,文〔1〕还提出 (即文〔1〕的第 88个未解决的问题 )ｆｎ(ａ) (ｎ ∈Ｎ)的最优上、下界是多少 ?并猜想 :ｆｎ(ａ) >1ａ2 ,ｎ∈Ｎ (4)本文讨论这个猜想 .显然 ,当ａ >0时 ,{Ｓｎ(ａ) }严格递增 ,又由数学归纳法可得 ,对任何ｎ ∈Ｎ ,有 ａ≤Ｓｎ(ａ) <ａ 1 ,所以数列为有界数列 .注意到 Ｓｎ 1 (ａ) 2=ａ Ｓｎ(ａ…     

不等式的几个性质

不等式的性质是后继学习的基础 ,熟练掌握并能灵活运用不等式的性质 ,是提高解题准确性和快捷性的关键 .这里介绍一些课本中没有直接列出而在解题中经常遇到的性质 ,以供参考 .1　乘方、开方性质1)若ａ >ｂ ,则有 :①ａ2ｎ 1 >ｂ2ｎ 1 ;② 2ｎ 1 ａ >2ｎ 1 ｂ (ｎ∈Ｎ) .2 )若 0 >ａ >ｂ ,则ａ2ｎ<ｂ2ｎ(ｎ∈Ｎ ) .3)若 0 <ａ <ｘ2 <ｂ ,则 -ｂ <ｘ <-ａ或ａ <ｘ <ｂ .2　取倒数性质1)若ａ >ｂ >0或 0 >ａ >ｂ ,则 1ａ<1ｂ.2 )若 0 <ａ <ｘ <ｂ或ａ <ｘ <ｂ <0 ,则1ｂ<1ｘ<1ａ.3　取绝对值的性质1)ａ2 >ｂ2 |ａ| >|ｂ| .2 )若ａ <…