数学问题解答

20 0 1年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 3 6　⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ垂直于非直径的弦ＣＤ ,弦ＡＥ与半径ＯＣ交于点Ｆ ,弦ＤＥ交弦ＢＣ于点Ｇ .求证 :ＦＧ∥ＡＢ .(四川省普格县荞窝农场子弟学校　王承宣　 6 1 5 3 0 2 )证明　如图 ,连结ＢＤ、ＣＡ .∵ＡＢ ⊥ＣＤ ,∴ ＣＡ =ＤＡ ,ＣＢ=ＢＤ ,∴∠ＣＯＡ =∠ＣＢＤ ,又ＡＯ =ＣＯ ,∴∠ＡＣＦ =∠ＧＣＤ ,又∠ＥＡＯ=∠ＥＤＢ ,∠ＣＡＦ=∠ＣＤＥ ,∴△ＡＣＯ ∽△ＣＢＤ ,△ＡＯＦ∽△ＤＢＧ ,△ＡＣＦ∽△ＤＣＧ ,∴ ＣＦＣＧ =ＡＣＣＤ =ＡＯＢＤ =ＦＯＧＢ,即 ＣＦＦＯ =Ｃ…     

以三角形的三边构图的数学名题

题 1　 (拿破仑定理 )以△ＡＢＣ各边为边分别向外作等边三角形 ,则它们的中心构成一个等边三角形 .(此定理是法国皇帝拿破仑发现的 ,又叫拿破仑三角形 )图 1证明　如图 1,等边△Ａ′ＢＣ、△ＡＢ′Ｃ、△ＡＢＣ′的中心分别为Ｏ1 、Ｏ2 、Ｏ3,连结ＢＢ′ ,ＣＣ′ .∵　∠ＢＡＢ′ =∠ＣＡＣ′ =∠ＢＡＣ +60° ,∴　△ＢＡＢ′≌△Ｃ′ＡＣ .故　ＢＢ′ =ＣＣ′.同理可得　ＡＡ′ =ＢＢ′ =ＣＣ′.记△ＡＢＣ三边分别为ａ、ｂ、ｃ,连结ＢＯ1 、ＢＯ3,则ＢＯ1 =33 ａ ,　ＢＯ3=33 ｃ .∴　 ＢＯ1 ＢＯ3=ＢＣＢＣ′=ａｃ.又　∠Ｏ1 ＢＯ3=∠…     

数学问题解答

20 0 0年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 76　设Ｉ为△ＡＢＣ的内心 ,Ｋ、Ｌ、Ｍ分别为△ＡＢＣ的内切圆在ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ上的切点 .过Ｂ且与ＭＫ平行的直线分别与直线ＬＭ及ＬＫ交于Ｒ及Ｓ ,点Ｊ在ＢＩ上 ,试证明 :∠ＲＪＳ是锐角 ,当且仅当ＢＪ >12 (ＡＢ ＢＣ-ＡＣ) .(山东枣庄市立新学校　孔令恩　 2 771 0 2 )证明　如图所示 ,ＩＢ⊥ＭＫＲＳ∥ＭＫ ＩＢ ⊥ＲＳ∠ＡＢＩ=∠ＣＢＩ ∠ＲＢＭ =∠ＳＢＫ∠ＲＭＢ =∠ＡＭＬ =90°- Ａ2∠ＢＳＫ =∠ＭＫＬ =90°- Ａ2 ∠ＲＭＢ=∠ＢＳＫ △ＲＢＭ ∽△ＳＢＫ ＢＲＢＫ …     

数学问题解答

20 0 1年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 1　ＡＢ是⊙Ｏ非直径的弦 ,半径ＯＣ ⊥ＡＢ于Ｍ ,Ｄ是ＯＢ的中点 ,Ｅ在劣弧ＢＣ上 ,且∠ＡＥＤ =∠ＡＣＯ ,ＡＥ交ＣＢ于Ｆ ,交ＣＯ于Ｎ .求证 :Ｓ△ＦＣＮＳ△ＤＭＯ =ＣＮＭＯ.(重庆市合川太和中学　陈开龙　 40 1 555)证明　如图 ,延长ＣＯ交⊙Ｏ于Ｐ ,连结ＥＰ ,ＦＤ .∵ＣＰ是直径 ,ＯＣ ⊥ＡＢ ,∴ＡＰ =ＢＰ ,故∠ 1 =∠ 2 ,ＡＣ =ＢＣ .∵∠ＡＥＤ =∠ＡＣＰ ,又∠ＡＥＰ =∠ＡＣＰ ,∴∠ＡＥＤ =∠ＡＥＰ ,即Ｅ ,Ｄ ,Ｐ三点共线 .∵ＯＢ =ＯＣ ,∴∠ 3=∠ 2 ∠ＯＢＣ =2∠ 2 …     

数学问题解答

20 0 1年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 46　已知 :点Ｐ是△ＡＢＣ内一点 ,∠ＰＡＢ =∠ＰＢＣ =∠ＰＣＡ=α.Ａ′Ｂ′,Ｂ′Ｃ′,Ｃ′Ａ′分别过Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点 ,且分别垂直于ＰＡ ,ＰＢ ,ＰＣ .求证 :Ｓ△ＡＢＣ =Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ｓｉｎ2 α(江西省宜丰县二中　龚浩生　 3 3 63 0 0 )证明　如图 ,过点Ｃ′作Ｃ′Ｄ⊥Ｂ′Ｐ于Ｄ ,连结ＣＤ .因为　ＰＡ⊥Ａ′Ｂ′ ,ＰＢ⊥Ｂ′Ｃ′所以　Ａ ,Ｂ′,Ｂ ,Ｐ四点共圆所以　∠ＤＢ′Ｂ =∠ＰＡＢ =α又显然 ,Ｐ ,Ｂ ,Ｃ′,Ｄ ,Ｃ五点在以ＰＣ′为直径的圆上 .所以　∠ＰＤＣ =∠Ｐ…     

数学问题解答

20 0 2年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 5 6　正△ＡＢＣ的内切圆圆心为Ｉ,半径为ｒ,在⊙Ｉ内任取一点Ｐ ,设Ｐ点到ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ的距离分别为ｒ1 ,ｒ2 ,ｒ3,求证 :以ｒ1 ,ｒ2 ,ｒ3为边可以构成一个三角形 ,且其面积为 34 ｒ2 -ＰＩ2 .(山东枣庄市立新学校　孔令恩　 2 771 0 1 )证明　设正△ＡＢＣ边长为 1 ,则ＩＡ =ＩＢ =ＩＣ=2ｒ =33 ,由Ｓ△ＡＰＢ∶Ｓ△ＣＰＡ =ｒ3∶ｒ2 ,可见ＢＤ∶ＤＣ =ｒ3∶ｒ2 .由ＤＰ∶ＤＡ =Ｓ△ＢＰＣ∶Ｓ△ＡＢＣ =ｒ1 ∶ (ｒ1 +ｒ2+ｒ3) ,可见ＤＰ∶ＰＡ =ｒ1 ∶ (ｒ2 +ｒ3) .分别在△ＢＩＣ…     

一道高中数学联赛题的解法探讨

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1　三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1　 (直接法 )　 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同…     

用解析法解答一道加试平面几何题

20 0 2年全国高中数学联赛加试试题第一题是一道平面几何题 ,参考答案给出的是纯几何法 ,作辅助线的技巧较高 .图 1题目　如图 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ ,求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解　以Ａ点为原点 ,线段ＡＢ所在直线为ｘ轴建立如图所示的平面直角坐标系 ,∴　Ａ点坐标为 (0 ,0 ) ,∵　∠Ａ =6 0° ,∴设Ｂ、Ｃ的坐标分别为 (ｂ,0 ) ,(ｃ,3ｃ) ,∵　 |ＡＢ| >|ＡＣ| ,　∠Ａ =6 0° ,∴　∠Ｂ <6 0° =∠Ａ ,∴　ｃ <ｂ2 ,∴　线…     

由射影定理产生的联想

射影定理,如图1,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,则, (1)∠1=∠B=90°-∠A;(2)△ACD∽△ABC;(3)AC~2=AD·AD……联想:如图2,任意△ABC,如果∠1=∠B,是否有△ACD∽△ABC,AC~2=AD·AB? 很容易证明结论是成立的。     

有趣的结论 灵巧的应用——由勾股定理想到的

勾股定理是我国劳动人民的伟大发现 ,除了其自身有很多有趣的性质外 ,应用它还能证明一些有趣的结论 .结论 1　若四边形的两条对角线互相垂直 ,则这个四边形两组对边的平方和相等 .图 1已知如图 1 ,四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ、ＢＤ垂直相交于Ｏ ,求证 :ＡＢ2 +ＣＤ2 =ＢＣ2+ＤＡ2 .证明　∵　ＡＣ⊥ＢＤ ,由勾股定理 ,有ＡＢ2 =ＡＯ2 +ＢＯ2 ,　ＢＣ2 =ＢＯ2 +ＣＯ2 ,ＣＤ2 =ＣＯ2 +ＤＯ2 ,　ＤＡ2 =ＤＯ2 +ＡＯ2 .∴ＡＢ2 +ＣＤ2 =ＡＯ2 +ＢＯ2 +ＣＯ2 +ＤＯ2 ,　ＢＣ2 +ＤＡ2 =ＢＯ2 +ＣＯ2 +ＤＯ2 +ＡＯ2 .∴　ＡＢ2 +ＣＤ2 =ＢＣ2 +Ｄ…     

一道竞赛题的多种证法

2002年全国初中数学竞赛中有这样一道几何题 :△ＡＢＣ内 ,∠ＢＡＣ =6 0° ,∠ＡＣＢ =40° ,Ｐ、Ｑ分别在ＢＣ、ＣＡ上 ,并且ＡＰ、ＢＱ分别是∠ＢＡＣ、ＡＢＣ的角平分线 .求证 :ＢＱ +ＡＱ =ＡＢ +ＢＰ .下面给出它的几种证法 .图 1证法 1　延长ＡＢ到Ｄ ,使ＢＤ =ＢＰ ,连结ＤＰ(如图 1 ) ,则∠Ｄ =∠ＢＰＤ .∵　∠ＡＢＣ =1 80°-(∠ＢＡＣ +∠ＡＣＢ) =80° ,∴　∠Ｄ =∠ＢＰＤ=40° ,∴　∠Ｃ =∠Ｄ .∵　∠ 1 =∠ 2 ,　ＡＰ =ＡＰ ,∴　△ＡＣＰ≌△ＡＤＰ ,∴　ＡＣ =ＡＤ ,即ＡＱ +ＣＱ =ＡＢ +ＢＤ .又∵　∠ 3=12 ∠ＡＢＣ =…     

数学问题解答

20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1　锐角三角形ＡＢＣ中有内接△ＤＥＦ ,且ＦＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＥＦ ⊥ＡＢ于Ｆ ,求证 :Ｓ△ＡＢＣ ≥ 3Ｓ△ＤＥＦ.(武汉华中理工大学西十四舍 5号　黄元兵　 43 0 0 74)证　△ＡＢＣ三边分别与△ＤＥＦ三边垂直 ,又△ＡＢＣ为锐角三角形 ,有∠Ａ =∠ＤＥＦ ,∠Ｂ =∠ＥＦＤ ,∠Ｃ =∠ＦＤＥ即有△ＡＢＣ ∽△ＤＥＦ .又公比ｑ=ＢＣＤＦ =ＢＤＤＦ ＣＤＤＦ=ｃｏｔＢ ＤＥＤＦｓｉｎＣ=ｃｏｔＢ ｓｉｎＢｓｉｎＡｓｉｎＣ =ｃｏｔＢ ｓｉｎ(Ａ Ｃ)ｓｉｎＡｓｉｎＣ=…     

综合题新编选登

题 5　如图 1 ,四面体ＡＢＣＤ中 ,△ＡＢＣ与△ＤＢＣ都是边长为 4的正三角形 .1 )求证 :ＢＣ⊥ＡＤ ;2 )若点Ｄ到平面ＡＢＣ的距离不小于 3,求二面角Ａ ＢＣ Ｄ的平面角的取值范围 ;3)求四面体ＡＢＣＤ的体积的最大值和最小值 .解　 1 )取ＢＣ的中点Ｏ ,连结ＡＯ ,ＤＯ ,∵△ＡＢＣ ,△ＢＣＤ都是边长为 4的正三角形 ,∴ＡＯ⊥ＢＣ ,ＤＯ⊥ＢＣ ,且ＡＯ∩ＤＯ =Ｏ .∴ＢＣ⊥平面ＡＯＤ .又∵ＡＤ 平面ＡＯＤ ,∴ＢＣ⊥ＡＤ .2 )由 1 )的证明过程可知 ,∠ＡＯＤ为二面角Ａ ＢＣ Ｄ的平面角 ,记为θ,则θ∈ ( 0 ,π) .过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＯ交…     

圆锥曲线的一个性质

20 0 1年全国初中数学竞赛试题Ｂ卷第 14题 :如图 1,已知点Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＳ ,ＰＴ是⊙Ｏ的两条切线 ,过点Ｐ作⊙Ｏ的割线ＰＡＢ ,交⊙Ｏ于Ａ ,Ｂ两点 ,并交ＳＴ于点Ｃ ,求证 :1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) .分析 :先研究此题结论 ,由 1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) 2ＰＣ=1ＰＡ+ 1ＰＢ,即ＰＡ ,ＰＣ ,ＰＢ的倒数成等差数列 .此题的平面几何证法有多种 ,这里从略 .现运用解析几何知识给出证明 .图 2　 14题图证　如图 2建立坐标系 ,圆外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,圆的方程ｘ2 + ｙ2 =ｒ2 ,可求ＳＴ的直线方程ｘｘ0 + ｙｙ0 =ｒ2 (1)设⊙Ｏ的割线ＰＡＢ…     

一个几何恒等式的推广及其应用

关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1　设△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,Ｐ为△ＡＢＣ内部的任意一点 ,过Ｐ向三边作垂线段ＰＤ =ｒａ,ＰＥ=ｒｂ,ＰＦ =ｒｃ,若设△ＡＢＣ、△ＤＥＦ的面积为△与△′ ,则有　 4△△′ =ｒａｒｂｈａｈｂ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ｒｃｒａｈｃｈａ. ( 1)证明　如图 1,因为ＰＤ⊥ＢＣ ,ＰＥ ⊥ＣＡ ,ＰＦ ⊥ＡＢ ,故　∠Ａ ∠ＥＰＦ =π ,∠Ｂ ∠ＦＰＤ =π ,∠Ｃ ∠ＤＰＥ =π .由三角形的面积公式可得　△′ =Ｓ△ＥＰＦ Ｓ△ＦＰＤ …     

2003年中考数学模拟试题(8)

一、填空题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .-3的绝对值是 .2 .ｓｉｎ60° =.3 .函数 ｙ =ｘ -1的自变量ｘ的取值范围是.4.分母有理化 :12 +3 =.5 .若实数ａ ,ｂ分别满足ａ2 -5ａ +2 =0 ,ｂ2 -5ｂ+2 =0 ,则 ｂａ +ａｂ =.6.分解因式 :ｘ3-4ｘ =.7.若直线 ｙ =2ｘ +ｂ过点 ( 2 ,1 ) ,则ｂ =.8.如图 ,如果ｍ∥ｎ ,∠ 1 =40°,那么∠ 2 =.9.如图 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ;△ＤＥＦ中 ,ＤＥ =ＤＦ .要使得△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ ,还需增加一个条件是(填上你认为正确的一个即可 ,不必考虑所有可能情况 ) .1 0 .如图 ,Ａ ,Ｂ是⊙Ｏ上两点 ,且∠…     

异面直线所成角的向量求法

对于异面直线所成角 ,若能构造向量 ,将异面直线所成角转化为两向量的夹角 ,利用向量的数量积公式 ,则可在不作出异面直线所成角的情况下 ,巧妙而简捷地求出异面直线所成角 .例 1　 (2 0 0 2年春季高考理科题 )在三棱锥Ｓ ＡＢＣ中 ,∠ＳＡＢ =∠ＳＡＣ =∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ =2 ,ＢＣ= 13,ＳＢ =2 9.图 1　例 1图1)证明ＳＣ⊥ＢＣ ;2 )求异面直线ＳＣ与ＡＢ所成角的大小 .解　如图 1,1)∵ＳＡ⊥ＡＢ ,ＳＡ⊥ＡＣ ,∴ＳＡ⊥面ＳＡＢ ,∴ＳＡ⊥ＢＣ .∴ＳＣ·ＢＣ =ＳＡ +ＡＣ·ＢＣ =ＳＡ·ＢＣ +ＡＣ·ＢＣ =0 + 0 =0 ,故ＳＣ⊥ＢＣ .2 )…     

第四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题参考答案(题目已在本刊第2期发表)

1　窗户造型解　设⊙Ｏ1 ,⊙Ｏ2 相切于点Ｅ ,⊙Ｏ1 ,⊙Ｏ3相切于点Ｆ ,⊙Ｏ2 ,⊙Ｏ3相切于点Ｄ ,⊙Ｏ1 与弧ＡＢ相切于点Ｇ .显然 ,点Ｆ在Ｏ1 Ｏ3上 ,点Ｇ在ＣＯ1 的延长线上 ,且Ｏ1 Ｄ ⊥ＢＣ .⊙Ｏ2 和⊙Ｏ3的半径均为 ａ4.如果⊙Ｏ1 的半径为ｒ,则有ＣＯ1 =ａ-ｒ,ＣＤ =ａ2 ,Ｏ1 Ｏ3=ｒ ａ4.由此可得ＣＯ1 2 -ＣＤ2 =Ｏ1 Ｏ32 -Ｏ3Ｄ2即　　 (ａ-ｒ) 2 - ａ22 =ｒ ａ42 - ａ42解得ｒ =0 3ａ .⊙Ｏ1 的半径为ｒ=0 3ａ ,它的圆心Ｏ1 是以Ｏ3为圆心 ,0 55ａ为半径的圆与ＢＣ的中垂线的交点 .2　买房贷款解　设贷款额 (本金 )为Ｎ ,贷款…     

一道全国联赛加试题的推广

2002年全国高中数学联赛加试第一题 :图 1问题　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ ,ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ ,ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .分析　如图 1,ＭＨ =ＢＨ -ＢＭ ,ＮＨ =ＣＮ -ＣＨ ,又　ＢＭ =ＣＮ ,∴　ＭＨ +ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ ,于是　 ＭＨ +ＮＨＯＨ =ＢＨ -ＣＨＯＨ .问题等价于求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面我们来解答本题的一般情况 .推广题　在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,Ｈ是垂心 ,则　 ＢＨ -ＣＨＯＨ =2 (ｃｏｓＢ -ｃｏｓＣ)1-8…     

数学问题解答

20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6　Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学　金旗　2 42 40 0 )图 1引理　如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解　如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ…