点到直线距离的一种新求法

已知点Ｐ的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ的值。全日制高中教材《平面解析几何》及成人中专教材《数学》都是通过“讨论”、“过Ｐ点作 ｙ轴的平行线”、“运用三角知识”导出ｄ的 ,笔者认为两教材的求法思路自然、灵活 ,也易为学生理解 ,但也有不足之处 ,如过多地依赖图形 ,出现了多次讨论等 ,本文将独辟蹊径 ,通过求函数最小值来导出ｄ的值 .众所周知 ,点Ｐ到直线ｌ的距离就是点Ｐ到直线ｌ上任一点Ｍ的距离的最小值ｄ .设Ｍ (ｕ ,ｖ)是直线ｌ上任意一点 ,则　 |ＰＭ|=(ｕ -ｘ0 ) 2 (ｖ -…     

二次曲线问题

二次曲线是解析几何的主要内容,二次曲线问题在数学竞赛中十分常见.特别是在近几年的高中数学联赛中,除了小题外几乎每年都有一个大题,尽管问题并不很复杂,亦十分传统,但却相当综合,要用到的知识和方法很广,需要我们灵活应用所学的基础知识和基本技能.例1　(1998年第九届希望杯数学邀请赛试题)Ｐ是抛物线ｙ=ｘ2上的任意一点,则当Ｐ和直线ｘ ｙ 2=0上的点的距离最小时,Ｐ与该抛物线准线的距离是(　　)(Ａ)19.　(Ｂ)12.　(Ｃ)1.　(Ｄ)2.解　设Ｐ点的坐标是(ｘ,ｘ2),则Ｐ到直线ｘ ｙ 2=0的距离ｄ=|ｘ ｘ2 2|2=22[(ｘ 12)2 74]≥728.∴当ｘ=-12…     

用解析几何模型求函数的值域

解析几何是用代数的方法研究几何问题 ,而某些代数问题 ,根据其结构特征 ,也可构造为解析几何问题 ,本文以求函数值域为例 ,构造解析几何模型 ,使数形转化 ,便于解题 .1　构造距离模型例 1　求函数 ｆ (ｘ ) =ｘ2 ｘ 1-ｘ2 -ｘ 1的值域 .解　由 ｆ(ｘ) =ｘ2 ｘ 1-ｘ2 -ｘ 1=(ｘ 12 ) 2 (32 - 0 ) 2 (ｘ - 12 ) 2 (32 - 0 ) 2 .图 1　例 1图故 ｆ(ｘ)可看作平面上点Ｐ (ｘ ,32 )到两点Ｍ(- 12 ,0 ) ,Ｎ(12 ,0 )的距离之差 ,显然 ｆ(ｘ)的值域为 (- 1,1) .例 2　已知 ｆ(μ) =μ2 ａμ ｂ - 2 ,μ =ｘ 1ｘ图 2　例 2图(ｘ≠ 0 ,ａ…     

点参数的应用

借助常见曲线的参数方程 ,恰当地引入点参数解题 ,有时是十分简便的 ,下面例说点参数的几个应用 .1　求动点的轨迹例 1　已知Ｐ为双曲线ｘ21 6- ｙ29=1上任一点 ,Ｆ1,Ｆ2 是双曲线的两个焦点 ,求△Ｆ1ＰＦ2 的重心的轨迹方程 .解　∵Ｐ点在双曲线ｘ21 6- ｙ29=1上 ,∴可设Ｐ(4ｓｅｃθ,3ｔｇθ) ,又设△Ｆ1ＰＦ2重心的坐标为 (ｘ ,ｙ) ,而Ｆ1(- 5,0 ) ,Ｆ2 (5,0 ) ,则ｘ =4ｓｅｃθ- 5+53 =43 ｓｅｃθ,ｙ =ｔｇθ.消去θ ,得 91 6ｘ2 - ｙ2 =1 .由题设知重心不能在ｘ轴上 ,则所求轨迹方程为91 6ｘ2 - ｙ2 =1 (ｙ≠ 0 ) .2　求参数的范围 (…     

圆锥曲线的一组相关的性质

笔者在探讨圆锥曲线焦点三角形的有关性质过程中 ,通过类比联想得到了一组结论及其证明思路 ,简录于下 ,供大家参考 .性质 1　若Ｆ1 、Ｆ2 分别为双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1图 1左、右焦点 ,点Ｐ是双曲线右分支上的一点 ,则△ＰＦ1 Ｆ2 的内切圆必切于双曲线的右顶点 ;若点Ｐ是双曲线左分支上的一点 ,则△ＰＦ1 Ｆ2 的内切圆必切于双曲线的左顶点 .思路　如图 1 ,因为2ａ=｜ＰＦ1 ｜- ｜ＰＦ2 ｜ =｜Ｆ1 Ａ｜ -｜Ｆ2 Ａ ｜ =｜Ｆ1 Ｏ｜ +｜ＯＡ｜- (｜ＯＦ2 ｜ -｜ＯＡ｜) =2 ｜ＯＡ｜ .图 2　　所以Ａ点的坐标为 (ａ ,0 ) ,即实轴的右顶点 …     

同侧得负 异侧得正

设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ >0 )上的任意一点 ,双曲线的焦点是Ｆ1( -ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 ) ,易知双曲线的焦半径公式为 |ＰＦ1| =|ａ +ｅｘ0 | ,|ＰＦ2 | =|ａ-ｅｘ0 | .如何快速去掉绝对值符号呢 ?笔者发现 ,若Ｐ ,Ｆ1(Ｆ2 )在 ｙ轴的同侧 ,则|ＰＦ1| =- (ａ +ｅｘ0 ) ,|ＰＦ2 | =- (ａ -ｅｘ0 ) ;若Ｐ ,Ｆ1(Ｆ2 )在 ｙ轴的异侧 ,则|ＰＦ1| =ａ +ｅｘ0 ,|ＰＦ2 | =ａ -ｅｘ0 .以上方法可简记为 :同侧得负 ,异侧得正 .对于双曲线ｙ2ａ2 - ｘ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ >0 )而言 ,也有类似的结论 .例 1　 ( 1 988年上海…     

一道习题结论的推广

在人教版高二解析几何《基础训练》上有这样一道题 :设Ｆ1 、Ｆ2 为双曲线ｘ24 - ｙ2 =1的两个焦点 ,点Ｐ在双曲线上 ,∠Ｆ1 ＰＦ2 =90° ,求△Ｆ1 ＰＦ2 的面积 .解　由ａ =2 ,ｂ =1,ｃ= 5,∠Ｆ1 ＰＦ2 =90°,得　 ||ＰＦ1 |- |ＰＦ2 ||=4①　　 |ＰＦ1 |2 +|ＰＦ2 |2 =2 0②将①式两边同时平方得|ＰＦ1 |2 +|ＰＦ2 |2 - 2 |ＰＦ1 |·|ＰＦ2 |=16③将②式代入③式得2 0 - 2 |ＰＦ1 |·|ＰＦ2 |=16 ,即　 |ＰＦ1 |·|ＰＦ2 |=2 .所以△Ｆ1 ＰＦ2 的面积为 1　 ( =ｂ2 ) .推广　设Ｆ1 、Ｆ2 为双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两个焦点 ,点Ｐ在双…     

数学“尾巴”不可丢

在数学学习中 ,我们可以发现 ,有很多的数学概念、公式、定理等都有一定附加条件 ,而为了叙述的方便 ,往往以括号的形式给出 .我们经常形象地称之为“尾巴” .例如 ,双曲线的定义 :平面内与两个定点Ｆ1、Ｆ2 的距离的差的绝对值是常数 (小于 |Ｆ1Ｆ2 |)的点的轨迹叫双曲线 ;二次函数的定义 :形如ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的函数叫二次函数 ;反三角函数的定义 :函数ｙ=ｓｉｎｘ(ｘ∈ [-π2 ,π2 ])的反函数叫反正弦函数 ;等比数列的求和公式 :Ｓｎ =ａ1( 1 -ｑｎ)1 -ｑ (ｑ≠ 1 ) ;反正弦函数的性质 :ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎｘ) =ｘ　 (ｘ∈…     

数学竞赛中的解析几何问题（一）

解析几何是高中数学的重要内容 .解析法的特点就是通过代数运算解决几何问题 ,因此 ,解析几何问题在高中数学联赛中的内容也是十分丰富的 .1　基本知识设Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )是直角坐标平面上的两点 ,则1 ) |Ｐ1 Ｐ2 | =(ｘ1 -ｘ2 ) 2 (ｙ1 - ｙ2 ) 2 =1 ｋ2 |ｘ1 -ｘ2 |(其中ｋ=ｙ2 -ｙ1 ｘ2 -ｘ1 为直线Ｐ1 Ｐ2 的斜率 ) ;2 )若点Ｐ(ｘ,ｙ)分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ (λ≠ - 1 ) ,则ｘ=ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ=ｙ1 λｙ21 λ ;3)直线Ｐ1 Ｐ2 的方程可写成ｙ - ｙ1 =ｋ(ｘ1 -ｘ2 ) (当斜率ｋ存在时 ) ,且一定能表示为Ａｘ Ｂｙ Ｃ …     

关于圆锥曲线弦中点问题的解法再探

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一 .本刊文 [1]、文 [2 ]与文 [3 ] ,探讨了解此类问题的代点相减法、点参数法 ,本文用圆锥曲线弦的中点与斜率的关系给出一类统一解法 ,归结为定理 ,利用本文提供的定理来求解此类问题 ,能化难为易 ,化繁为简 .设圆锥曲线Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,其斜率存在 ,设为ｋ ,且ｋ ≠ 0 .其中Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )、Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则有Ａｘ21 +Ｃｙ21 +Ｄｘ1 +Ｅｙ1 +Ｆ =0 ,Ａｘ22 +Ｃｙ22 +Ｄｘ2 +Ｅｙ2 +Ｆ =0 ,两式相减并同除以 (ｘ1 -ｘ2 ) ,考虑到ｘ1 +ｘ2 =2ｘ0 ,ｙ1 +ｙ2 =2 ｙ0 ,得　　Ａｘ0 +Ｃｋｙ0 +Ｄ2 +Ｅｋ2 =0 .仿此可得 :定理 1　椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ &;gt;0 ,ｂ&;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ ,ｙ) ,其斜率ｋ存在且不为零 ,则　　 ｙｘ &;#183;ｋ =-ｂ2ａ2 .定理 2　双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1(ａ&;gt;0 ,ｂ &;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ...     

利用GeoGebra探索一种新曲线

1问题提出平面解析几何中利用平面内到两定点的距离构造椭圆、双曲线、圆,这三种曲线的构造分别用动点到两定点的距离的和、差、商为定值的形式给出.在四种算术运算中,唯独没有积,那么平面内与两定点距离之积是常数的点的轨迹是怎样的呢?可以利用GeoGebra的绘制隐函数图象的功能进行探索!     

要重视圆锥曲线的范围

我们知道 ,平面解析几何研究的主要问题之一就是通过方程研究平面曲线的性质 ,而在我们用方程研究圆锥曲线间的相关位置时 ,圆锥曲线的范围就不容忽视 .先看下面一个比较熟悉的例子 .题目　设椭圆的中心是坐标原点 ,长轴在ｘ轴上 ,离心率ｅ =32 .已知点Ｐ 0 ,32 到这个椭圆上的点的最远距离是 7,求这个椭圆的方程 ,并求椭圆上到点Ｐ的距离等于 7的点的坐标 .在同学们中有如下一种比较流行的解法 :解　由题意可设椭圆方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 ) ,∵ｅ =ｃａ=32 ,∴ａ =2ｂ,从而椭圆方程为 ｘ24ｂ2 + ｙ2ｂ2 =1 ( 1 )又以点Ｐ 0 ,…     

求解代数问题的常用解析几何模型

解题几何是数形结合的典型范例 ,它是通过坐标系的建立 ,将几何问题转化为代数问题来处理 ,反过来 ,很多代数问题利用解析几何理论 ,可转化为几何问题来处理 .本文结合例题介绍几种常用的解析几何模型 ,供学习时参考 .1　距离模型例 1　已知ｘ ,ｙ∈Ｒ ,且ｘ2 ｙ2 =2 ,求ｘ2 ｙ2 6ｘ 2 ｙ 10的最大值和最小值 .图 1　例 1图解　因ｘ2 ｙ2 6ｘ 2ｙ 10 =(ｘ 3) 2 (ｙ 1) 2 表示圆ｘ2 ｙ2 =2上的动点Ｐ (ｘ ,ｙ)到定点Ｑ( - 3,- 1)的距离的平方 .由图 1可知 ,连结ＯＱ交圆于两点Ｐ1 ,Ｐ2 ,则所求式子的最大值为 |ＱＰ2 | …     

圆锥曲线上的点对焦点张角的性质

本文介绍椭圆或双曲线上的点对焦点的张角的一个性质 ,将它们用之解题是比较方便的 .定理 1　点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 )上的点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是左、右焦点 ,则有1)∠Ｆ1ＰＦ2 是直角的充要条件是ｘ20 =ｃ4 -ｂ4ｃ2 ;2 )∠Ｆ1ＰＦ2 是锐角的充要条件是ｘ20 >ｃ4 -ｂ4ｃ2 ;3)∠Ｆ1ＰＦ2 是钝角的充要条件是ｘ20 <ｃ4 -ｂ4ｃ2 .证　在△Ｆ1ＰＦ2 中 ,|ＰＦ1|=ａ ｅｘ0 ,|ＰＦ2 |=ａ -ｅｘ0 ,ｃｏｓ∠Ｆ1ＰＦ2 =|ＰＦ1|2 |ＰＦ2 |2 - |Ｆ1Ｆ2 |22 |ＰＦ1||ＰＦ2 |,1)∠Ｆ1ＰＦ2 是直角 |ＰＦ1|2 |Ｐ…     

2003年高考复数题探源与启示

题1　已知复数z的辐角主值为60°,且| z- 1|是| z|和| z- 2 |的等比中项,求| z| .( 2 0 0 3年全国高考题)这是以复数的基本概念和模的性质等知识为载体,考查推理能力和运算能力的一道题.探求解题思路并不困难,其计算量大却让不少考生望而却步,或者花费了很多宝贵的考试时间仍无功而返.事实上,本题有其深刻的几何背景:复平面内点z到点A( 1 ,0 )的距离是它到原点O( 0 ,0 )和点B( 2 ,0 )的距离的等比中项.请看课本上的一道习题:题2　求证:等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点距离的等比中项.(《平面解析几何》P1 46第1 1题)笔者…     

关于近地点与远地点的补充证明

现行高中课本《平面解析几何》(必修 )Ｐ75 例 2 ,求我国第一颗人造卫星的轨道方程 .在解答中默认了近地点Ａ与远地点Ｂ就是椭圆长轴的两个端点 .但这一结论在课本中并没有证明 ,严格说来是不够严谨的 ,同时也容易让同学们产生疑惑 ,现给予补证 ,供同学们参考 .命题　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )中 ,长轴右(左 )端点到右 (左 )焦点距离最短 ,到左 (右 )焦点距离最长 .证法 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 )上任意一点 ,则 ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1,又设右焦点为Ｆ2 (ｃ,0 ) ,从而有|ＰＦ2 | =(ｘ0 -ｃ) 2 ｙ2…     

要学好课本的典型习题

数学课本中的典型习题 ,具有较强的代表性、可塑性和迁移性 ,另一方面 ,也是我们智能的生长点 ,是高考、竞赛的依据 .故在学习中 ,要重视对课本习题的研究 .为此 ,本文以一道课本习题为例 ,研究其解法、推广、引申及应用 ,说明对课本中典型习题要进行探究式的学习 ,供同学们参考 .题目　在椭圆 ｘ24 5 ｙ22 0 =1上求一点Ｐ ,使它与两个焦点Ｆ1和Ｆ2 的连线互相垂直 (现行高中平面解析几何必修本 (老教材 )全一册Ｐ112第 10题 ) .1　研究解法解法 1　设点Ｐ为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,因为两焦点为Ｆ1(- 5 ,0 ) ,Ｆ2 (5 ,0 ) ,∠Ｆ1ＰＦ2 =90° ,故ｋ…     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析1)重点 :椭圆与双曲线的定义及相关概念 ;椭圆与双曲线的标准方程及其推导 ;椭圆与双曲线的几何性质及应用 .2 )难点 :利用椭圆与双曲线的第一定义和第二定义解题 ;椭圆与双曲线的几何性质的应用 ;直线与椭圆、双曲线的位置关系及与弦有关的问题 .2　典型例题选讲例 1　已知Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的左、右焦点 ,Ｐ为椭圆上的一点 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =π3.1)求椭圆离心率的取值范围 ;2 )求证 :Ｓ△Ｆ1ＰＦ2 =33ｂ2 .图 1　例 1图讲解　由椭圆的第一定义 :|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,而 |ＰＦ1| ,|ＰＦ…     

抓住轨迹意识，优化解题应用

<正>轨迹意识是平面解析几何中的一种重要行为意识,也是平面解析几何中的重要思想方法.除在解析几何中熟练应用外,在解三角形、平面向量以及立体几何等其他场合,也经常借助轨迹意识来解决相应的数学问题,直观形象.1 解析几何中的轨迹意识解析几何中的轨迹问题,其实质就是由曲线上的动点变化规律,按照一个条件的变化引起其他相关新动点的变化情况,利用对图形结构的理解、探索与联想,构建“形”与“数”之间的联系,进而探究新动点的轨迹.     

点到平面距离公式的多种推导

利用平面的向量式方程和向量的射影、两点间距离、平行平面间距离,给出了点到平面距离公式的五种推导方法.相关方法显示了平面的向量式方程和向量运算在解决几何问题中的重要作用.