寻找规律解赛题

在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作;然后在AB中点为C处标注0+2002/2=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即0+1001/2与1001+2002/2,称为第三次操作;照此下去,经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字和是多少? 首先,寻找标注数字的规律.为了寻找规律,设B点标注的数字为m,则:     

一道规律求和题的探究

试题 在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2010,这称为第一次操作;然后在AB的中点C处标注(0+2010)/2=1005,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC,BC的中点D,E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即(0+1005)/2与(1005+2010)/2,称为第三次操作;依次下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所标注的数字的和是多少?1 问题的解法解法1从简单做起,然后由求和的结果观察猜想,发现规律.     

2002年广东高考试题的别解

2002年广东高考数学试卷第 ( 2 0 )题是———设Ａ、Ｂ是双曲线ｘ2 -ｙ22 =1上的两点 ,点Ｎ( 1 ,2 )是线段ＡＢ的中点 .( 1 )求直线ＡＢ的方程 ;( 2 )如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线相交于Ｃ、Ｄ两点 ,那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点是否共圆 ?为什么 ?命题组提供此题的评卷解答的要点是 :( 1 )依次用到直线的点斜式方程、韦达定理、中点坐标公式 ;( 2 )考虑线段ＣＤ的中点Ｍ到Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的距离是否都相等 ?下面分标题介绍此题的其它典型解法 ,以期提高同学们的解题技巧和思维品质 .解 ( 1 )方法 1　设Ａ、Ｂ两点的坐标依次是 (ｘ1 ,ｙ1…     

取中点巧解赛题

中点是线段上的特殊点 ,中线和中位线是三角形中的特殊线段 .平面几何中有许多与线段有关的问题 ,常可以通过巧取线段的中点后 ,转化为“中线”或“中位线”问题 ,然后再运用相关的性质来解决 .请看以下几例 .图 1如图 1 ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,一组对边ＡＢ =ＣＤ ,另一组对边ＡＤ≠ＢＣ ,分别取ＡＤ、ＢＣ的中点Ｍ、Ｎ ,连结ＭＮ ,则ＡＢ与ＭＮ的大小关系是 .( 2 0 0 1年河北省初中数学竞赛题 )解　连结ＢＤ ,取其中点Ｐ ,连结ＰＭ ,ＰＮ ,则ＰＭ =12 ＡＢ ,ＰＮ =12 ＣＤ .∵　点Ｐ不在ＭＮ上 (否则ＡＢ∥ＣＤ ,使得四边形ＡＢＣＤ为平行…     

从一道赛题到一个著名定理

学数学离不开习题 ,但解题不可盲目 ,应少而精 .与其泛泛地解许多题而印象淡薄 ,不如深入剖析一道题 ,并研究它的发展与变化 ,从而对知识有透彻地理解 .这样便会收到以少胜多的效果 .下面以一赛题为例 ,略加阐述 .一题目与解法图 1题目　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ∶ＤＣ =1∶3 ,ＢＥ∶ＥＤ =1∶1.试求ＢＦ∶ＦＣ .这原是美国犹他州 2 0 0 0年数学竞赛中的一道选择题 ,这里改成求解形式 .见《中等数学》2 0 0 0年第 2期 .图 2解　本题有中点 ,因此容易想到中位线 ,为此 ,取ＢＣ的中点Ｍ ,如图 2 .则由ＥＭ∥ＤＣ知　ＦＭＦＣ=ＥＭＡＣ=12Ｄ…     

一道高考题引出的圆锥曲线的二个性质及其推论

题目 :已知椭圆ｘ22 +ｙ2 =1的右准线Ｌ和ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ作直线与椭圆相交于Ａ ,Ｂ两点 ,点Ｃ在椭圆右准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .这是 2 0 0 1年高考广东、河南卷中的一道考题 ,从其几何证法不难发现 :结论与椭圆方程以及椭圆离心离率大小无关 ,因此 ,对于一般的圆锥曲线 ,命题仍然成立 ,可见 ,圆锥曲线有如下性质 :性质 1　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,ＢＣ∥ＦＥ ,点Ｃ在Ｌ上 ,则直线ＡＣ平分线段ＥＦ .证明如下 :如图 ,…     

“中点重合”的妙用举隅

“中点重合”的妙用举隅江苏射阳中学钱军先众所周知：同一直线上顺次是Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的四点构成线段｜ＡＢ｜—｜ＣＤ｜的充要条件是线段ＡＤ与ＢＣ的中点重合．在求解直线与二次曲线相交所得的线段相等的有关问题时，合理地运用这一结论，可以将距离计算转化为中点坐标...     

数学问题解答

20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6　Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学　金旗　2 42 40 0 )图 1引理　如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解　如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ…     

高三复习解析几何训练题

选择题 :共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　点Ｐ分有向线段ＡＢ所成的比是 23,则点Ｂ分有向线段ＰＡ所成的比是 (　　 )(Ａ) 35. (Ｂ) 32 (Ｃ) - 32 . (Ｄ) - 35.2　过点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ0 ≠ 0 ,ｙ0 ≠ 0 )且在ｘ轴和 ｙ轴上截距相等的直线有 (　　 )(Ａ) 4条 .　　　 (Ｂ) 3条 .(Ｃ) 2条 .　　　 (Ｄ) 1条 .3　设Ａ ,Ｂ ,Ｃ为同一直线上的点 ,则不论其位置如何 ,下列等式恒成立的是 (　　 )(Ａ) |ＡＢ| |ＢＣ|=|ＡＣ|.(Ｂ)ＡＢ ＢＣ =ＣＡ .(Ｃ)ＡＢ ＢＣ =ＡＣ .(Ｄ)ＢＣ Ｃ…     

用解析法解答一道加试平面几何题

20 0 2年全国高中数学联赛加试试题第一题是一道平面几何题 ,参考答案给出的是纯几何法 ,作辅助线的技巧较高 .图 1题目　如图 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ ,求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解　以Ａ点为原点 ,线段ＡＢ所在直线为ｘ轴建立如图所示的平面直角坐标系 ,∴　Ａ点坐标为 (0 ,0 ) ,∵　∠Ａ =6 0° ,∴设Ｂ、Ｃ的坐标分别为 (ｂ,0 ) ,(ｃ,3ｃ) ,∵　 |ＡＢ| >|ＡＣ| ,　∠Ａ =6 0° ,∴　∠Ｂ <6 0° =∠Ａ ,∴　ｃ <ｂ2 ,∴　线…     

周界中点三角形又一有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .文 [1]、文 [2 ]得到了与周界中点三角形有关的三角形外接圆半径、面积之间的三个不等式 .本文再给出一个更有趣的性质 .定理 1　设Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,Ｓ =12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＢＣ的外接圆半径和面积分别为Ｒ ,△ ,△ＤＥＦ的外接圆半径为Ｒ0 ,则有 :Ｒ·Ｒ0 ≥2 39△ .为证明此不等式 ,先看如下引理 :图 1　引…     

高三复习立体几何训练题

选择题 :本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边ＡＢ∥平面α ,则此三角形在α上的射影不可能是 (　　 )(Ａ)直角三角形 .　 (Ｂ)钝角三角形 .(Ｃ)锐角三角形 . (Ｄ)线段 .2　正方形ＡＢＣＤ的边长为 2ａ ,ＣＤ 平面α ,ＡＢ与α的距离为 2ａ ,那么ＡＣ与α所成角为 (　　 )(Ａ) 1 5° . (Ｂ) 30°.(Ｃ) 45° . (Ｄ) 6 0° .3　在正方体ＡＢＣＤ Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,Ｍ ,Ｎ分别是棱ＡＡ1和ＢＢ1的中点 ,θ为直线ＣＭ和Ｄ1Ｎ所成的角 ,则ｃｏｓθ=(　　 )(Ａ) 1…     

名校基础知识自测

★高一年级一、选择题1 .若Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,Ｄ是平面内的任意四点 ,对于下列等式 :( 1 )ＡＢ———→ +ＣＤ———→ =ＢＣ———→ +ＤＡ———→( 2 )ＡＣ———→ +ＢＤ———→ =ＢＣ———→ +ＡＤ———→( 3 )ＡＣ———→ -ＢＤ———→ =ＤＣ———→ +ＡＢ———→其中正确的个数是 (　　 ) .(Ａ) 0　 (Ｂ) 1　 (Ｃ) 2　 (Ｄ) 32 .已知 :Ｐ1 ( 6,- 3 ) ,Ｐ2 ( - 3 ,8) ,且 |Ｐ1 Ｐ———→ | =2 |ＰＰ2———→| ,点Ｐ在线段Ｐ1 Ｐ2 的延长线上 ,则Ｐ点坐标为(　　 ) .(Ａ) ( - 1 2 ,1 9)　　　 (Ｂ) ( 1 2 ,1 9)(Ｃ) ( - 6,1 1 ) (…     

2002年第四期初中数学问题解答

一、已知ａ <0 ,-1 <ｂ <0 ,则ａ ,ａｂ ,ａｂ2 之间的大小关系如何 ?解 :∵ -1 <ｂ <0 ,∴ｂ<ｂ2 <1 .又ａ<0 ,　∴ａｂ >ａｂ2 >ａ .二、如果二次不等式ａｘ2 +8ａｘ+2 1 <0的解是 -7<ｘ <-1 ,求ａ的值 .解 :考虑二次函数ｙ =ａｘ2 +8ａｘ +2 1的图象 ,由已知条件可知它与Ｏｘ轴的两个交点为 (-1 ,0 ) ,(-7,0 ) ,故由韦达定理知 (-7)× (-1 ) =2 1ａ .∴ａ=3 .答 :略 .三、在△ＡＢＣ中 ,∠ＣＢＡ =72° ,Ｅ是边ＡＣ的中点 ,Ｄ在ＢＣ边上且 2ＢＤ =ＤＣ ,ＡＤ与ＢＥ交于Ｆ ,求△ＢＤＦ和四边形ＦＤＣＥ的面积之比 .解 :过Ｅ作ＥＧ∥ＡＤ交…     

2000年莫斯科大学数学力学系入学考试试题

试卷 1 (3月 )1　解不等式｜ｘ- 4｜- ｜ｘ- 1｜｜ｘ- 3｜-｜ｘ- 2 ｜ <｜ｘ- 3｜ ｜ｘ- 2｜｜ｘ- 4｜ .2　已知一个递减等差数列的前 7项的 5次幂之和等于 0 ,而它们的 4次幂之和等于 51 .求这个数列的第 7项 .3　在区间 [- 92 π ,- 32 π]上 ,求下列方程的所有的根 :ｃｏｓｘｓｉｎ ｘ4 91 0 ｓｉｎｘ 2ｓｉｎ ｘ4ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ4 - 12 ｃｏｓ ｘ4 - 92 0 =0 .4　经过梯形ＡＢＣＤ的腰ＡＢ的中点Ｋ作出ＡＢ的垂线与边ＣＤ相交于点Ｌ .已知四边形ＡＫＬＤ的面积是四边形ＢＫＬＣ的面积的 5倍 ,ＣＬ=3,ＤＬ =1 5,ＫＣ =4.求线段Ｋ…     

抛物线的定长弦中点横坐标的最小值

促使我思考“抛物线的定长弦中点横坐标的最小值”这个问题是在教学中遇到了下面一道题 :定长为 5的线段ＡＢ的两端点在抛物线ｙ2 =4ｘ上移动 ,设线段ＡＢ的中点为Ｍ ,求点Ｍ到准线的最短距离 .为该题提供的参考答案是这样解的 :把弦ＡＢ分成两类 :(1 )弦ＡＢ过焦点Ｆ时 ,过Ａ ,Ｍ ,Ｂ分别作准线的垂线 ,垂足分别为Ａ′,Ｍ′,Ｂ′ .｜ＭＭ′｜=12 (｜ＡＡ′｜+｜ＢＢ′｜)=12 (｜ＡＦ｜+｜ＢＦ｜)=12 ｜ＡＢ｜ =52(2 )弦ＡＢ不过焦点Ｆ时 ,过Ａ ,Ｍ ,Ｂ分别作准线的垂线 ,垂足分别为Ａ′,Ｍ′,Ｂ′ .｜ＭＭ′｜=12 (｜ＡＡ′｜+｜ＢＢ′｜)=…     

圆内接星形的一种奇特属性

本文揭示圆内接星形的一种非常奇特的属性．为此,先给出如下概念和引理：图１定义１从点Ｃ向有向线段ＡＢ引垂线（图１）,交ＡＢ或其延长线于Ｄ．设有向线段ＣＤ的数量为ｄ,则ｄ称为点Ｃ到线段ＡＢ的有向距离．当点Ｃ位于ＡＢ所指方向的左侧时,ｄ＝｜ＣＤ｜＞０;当点...     

证明三点共线问题的若干种思路

本文通过一道题目介绍证明三点共线问题的12种思路 ,掌握这些思路可加深我们对一些概念、公式、定理的理解 .题目　证明 :三点Ａ(1,3) ,Ｂ(5 ,7) ,Ｃ(10 ,12 )在同一条直线上 .思路 1　利用平面内两点间的距离公式 .证法 1:∵ |ＡＢ|=(5 - 1) 2 (7- 3) 2 =4 2 ,|ＢＣ |=(10 - 5 ) 2 (12 - 7) 2 =5 2 ,|ＡＣ|=(10 - 1) 2 (12 - 3) 2 =92 ,∵ |ＡＢ| |ＢＣ|=|ＡＣ|,∴Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点在同一条直线上 .思路 2　利用定比分点坐标公式 .证法 2 :设Ｂ′(5 ,ｙ)是有向线段ＡＣ的定比分点 ,点Ｂ分ＡＣ所成的比为λ ,则　　5 =1 10λ1 λ ,ｙ =3 12…     

利用转化巧解几种距离

解立体几何题时,我们常会遇到求点到面、线与面、面与面及异面直线之间距离的问题.用直接法解就是作出垂线段,再求其长,但多数情况下,垂线段是难以作出的,因此求它的长也就十分困难了.我们不妨换一种思路.图1　例1图例1　如图,ＡＢＣＤＡ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1是棱长为ａ的正方体,Ｍ,Ｎ分别是Ａ1Ｂ1,Ｂ1Ｃ1的中点,求Ａ1到平面ＡＭＮ的距离.分析:本题直接作Ａ1到平面ＡＭＮ的垂线段有一定难度.但我们可以过Ａ1构造一条平行于平面ＡＭＮ的线段,再求线面距离.为了方便解题我们还可把平面ＡＭＮ拓展为平面ＡＣＮＭ.解　连接ＡＣ,ＢＤ,Ａ1Ｃ1,Ｂ1Ｄ1,ＣＮ,设…     

用导数解初等数学题

对于某些较难的数学题 ,若想到运用导数解决 ,则能居高临下 ,往往能揭示题目之内核 ,且使得解题更容易操作 ,从而获得淡化复杂技巧的功效 .本文拟以数学竞赛题为主 ,就七个方面总结如下 .图 11　求切线的斜率例 1　 (《中等数学》)ＩＭＯ训练题 (6) .二(4) )如图 1 ,已知椭圆ｘ22 ｙ2 =1 ,ＤＡ⊥ＡＢ ,ＣＢ⊥ＡＢ且ＤＡ =3 2 ,ＣＢ= 2 ,动点Ｐ在ＡＢ上移动 ,则△ＰＣＤ的面积的最小值为 .解　易求直线ＣＤ :ｘ ｙ- 2 2 =0 .设切点Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,显见过Ｐ0 点与ＣＤ平行的切线ＥＦ和ＣＤ的距离为最小 .在ｘ轴上方 ,椭圆方程为ｙ= 1 - ｘ2…