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引言在这篇短文里,我們向讀者介紹一种新的建立尤拉公式的方法。我們不用一般数学分析里所用的方法,而用一个人家熟知的重要极限来建立尤拉公式。同时,我們考虑到尤拉公式的应用很广泛,也很重要,因此,順便列举了一些应用。其中特别請大家注意应用4和5,显然这样做是不够严格的,但我們想借此向讀者說明:当在复数城里研究初等函数时会出現实数城里沒有的有趣性质,从而帮助我們更深地理解初等实函数。这对中学数学教师是有帮助的。§1.尤拉公式e~(θi)=cosθ+isinθ的推导在数学分析里已經証明了一个重要极限 e~θ=(?)(1+θ/n)~n,这里θ为任意实数。推广这个結果于θi,得 e~(θi)=(?)(1+θi/n)~n (1)这里θ为任意实数,而i为虚数单位。現在我們来計 相似文献
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sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ的几何简证225211江苏省江都市大桥中学党庆寿本文给出恒等式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsniβ的一个几何简证.如图1,△ABC为Rt△,∠ACB=90°,D在线段BC的延长线上.... 相似文献
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如图,构造两个边长为1的全等菱形ABCD与菱形A’B’C'D.设ADC=2a,连结AC,则由对顶角性质及菱形对角线互相垂直且平分,连结A’C’,DB’,则A’DB’=C'DB’=a,依余弦定理易知DB‘=2cosa,其几何解释如图所示,就是构造菱形的面积.sin2α=2sinαcosα的一种几何解释@黎民生$广西扶绥二中!532100 相似文献
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由平方关系sin2α+cos2α=1不难得到(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.它揭示了sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα三者之间的密切关系,知其一必能求出另二.在一些解方程、求最值问题中,恰当运用此关系有助于简化运算、发现解题途径.例1已知sinα+cosα=1/5(0<α<π),求tanα的值.分析本题可先求出sinα-cosα的值,再和sinα+cosα=15联立方程组求出sinα,cosα 相似文献
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在解三角问题时 ,经常要确定“sinα±cosα”的符号 ,通常的方法是利用三角函数的图象或单位圆中的三角函数线 ,既费时又繁琐 .那么是否有简单易行的方法呢 ,答案是肯定的 .下面就介绍一种方便、实用的确定“sinα±cosα”符号的方法 ,供同学们参考 .在直角坐标系中作出直线 y =x (或 y=-x) ,则1)当α角的终边落在直线 y =x(或 y =-x)的上方时 ,sinα -cosα >0 (或sinα cosα >0 ) .2 )当α角的终边落在直线 y =x(或 y =-x)的下方时 ,sinα -cosα <0 (或sinα cosα <0 ) .3)当α角… 相似文献
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以往在代数学教科书里虚数是作为代数方程的虚根来教的,由于接触不到它的真正面目,所以学生往往体会不到复数的实用价值,但是一旦接触到复数的极坐标形式或欧拉公式的简洁而出色的应用后,就有可能对复数的概念进一步的了解。在这篇短文中作者准备叙述复数在几何学中的一个应用,内容仅限于在坐标变换和一般二次曲线论的应用方面。 (一) 坐标变换 相似文献
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1956年第12期《数学通报》上曾发表过阿意今斯他和別罗郭夫斯卡娅写的“求三角函数的周期”一文(由张鉴卿譯自苏联“中学数学”),該文提出了求f_1(x)=cos(3/2)x-sin(x/3),f_2(x)=cos 2x-tgx的周期的問題。本文打算就这些問題加以推广,进而求sin nx+cos mx的周期(其中m,n为实数)。分析:若該函数存在周期b(b>0),則根据周期函数的周期的定义,f(x+b)=sin n(x+b)+cos m(x+b) =sin(nx+nb)+cos(mx+mb) =sin nx+cos mx=f(x). 現在的任务是判断b是否存在;如果存在,如何把它求出来。根据三角函数的性貭知道,对sin nx来說,要使sin(nx+nb)=sin nx对一切x的值都成立,則 相似文献
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判断sinα±cosα与tgα -ctgα的符号问题 ,在高考中屡见不鲜 .由单位圆中的三角函数线易得如下结论 :图 1 sinα±cosα的符号图 图 2 tgα -ctgα的符号图由图 1知 ,直线 y =±x将坐标平面分成四个区域 ,当角α的终边落在直线y=x上时 ,sinα-cosα =0 ,在 y =x上方有sinα -cosα >0 ,在 y =x下方有sinα-cosα <0 ;当角α的终边落在直线 y =-x上时 ,sinα +cosα =0 ,在 y =-x上方有sinα +cosα >0 ,在y =-x下方有sinα +cosα <0 .由图 2知 ,x轴、y轴… 相似文献
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“已知sinα sinβ =sinα·sinβ ,求sinα β2的值 .” ,这是文 [1 ]给出的一道解答题 .其解答为 :“由条件得 (sinα- 1 ) (sinβ- 1 ) =1 ,∴只能sinα =sinβ=0 ,于是α =mπ ,β=nπ(m、n∈Z) ,∴sinα β2 =sin(m n) · π2 =± 1 ,0 .”该解答的错误是显然的 ,因为sinα=sinβ=0仅是sinα sinβ=sinα·sinβ成立的一个充分条件 ,并非充要条件 .举一反例即可推翻原解答 :当sinα=12 ,sinβ=- 1时 ,满足sinα sinβ=sinα·sinβ的题设条件 ,但si… 相似文献
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Recently, basing on a suitable application of Milne-Bhatnagar's characterization theorem about matrix inversions, we have found that Warnaar's elliptic matrix inversion can be further extended to the following general inversion theorem. 相似文献
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cos=cosα·cosβ的推广及应用栗领义(郑州二十四中450007)1前言如何计算地球面上任意两地的球面距离,在数学中认为属于地理知识的范畴,没有作深入的研究;在地理中如何计算大圆航线,则认为属于数学方面知识,也不作进一步的探讨.事实上,这两个... 相似文献
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在解三角问题时,经常要确定“sinα±cosα”的符号,通常的方法是利用三角函数的图象或单位圆中的三角函数线,既费时又繁琐.那么是否有简单易行的方法呢,答案是肯定的.下面就介绍一种方便、实用的确定“sinα±cosα”符号的方法,供同学们参考。 相似文献
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高中《代数》第一册通过作辅助角-β,然后根据两个三角形全等和两点间距离公式证明了公式Cα+β,方法较繁,现给一种简捷法。证明建系如图5,作单位圆O,α、β角的始边为ox,交圆O于P,终边分别交圆O于P_1和P_2,其坐标是:P_1(cosα,sinα)P_2(cosβ,sinβ)。由余弦定理得 相似文献
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通用教材高中《数学》第一册第三章是“两角和与差的三角函数”,这一章给出了和、差、倍、半角及和差化积、积化和差等三角函数公式。现行教材把两角差的余弦函数即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ作为这些公式的基础,加以严格推证。在推证过程中, 相似文献
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对于一阶常系数非齐线性微分方程组dX/dt=AX+eαt(cosβt.P(1)m(t)+sinβt.P(2)m(t)),P(1)m(t),P(2)m(t)为次数不超过m关于实变量t的n维向量实值多项式,当n级实方阵A具有s≥1重特征根α+iβ时,给出了其特解珟X(t)的结构定理和计算方法,使求特解珟X(t)的积分运算转化为简单的代数运算.解决了利用计算机求特解珟X(t)的计算问题. 相似文献
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众所周知,关系式sin~2A+cos~2A=1是三角学中最基本的关系式之一。统编教材对其应用作了一定的安排,无疑对提高学生的三角式变形能力是有益的,但限于篇幅,无论深度或广度都很不够。据多年实践,我认为对关系式之应用,有必要进一步加强,在教学过程中不失时机地适当予以补充,从顺用、逆用、顺逆交替用等方面加强训练,充分发挥关系式之妙用,以利于培养学生恒等变形及综合运用知识的能力。一、顺用公式以达熟能生巧 相似文献
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求二面角的大小是立几中的重点和难点 ,但有时苦于难作二面角的平面角 ,或平面角虽作出 ,但计算繁琐 .可以发现 ,利用下面的公式 ,常能摆脱上述的困境 .定理 如图 1 ,四面体 P - ABC中 ,PC⊥面 ABC,∠ PAC =α,∠ BAC =β,二面角P - AB - C的大小为θ,则tanθ =tanαsinβ.证明 作 PM⊥ AB于 M,连 CM,则∠ PMC =θ.∵ tanα =PCAC, sinβ =MCAC,tanθ =PCMC,∴ tanθ =tanαsinβ.应用上述公式求二面角的大小 ,不必作平面角 ,并且计算量少 ,从而使问题简捷解决 .下面以高考题为例说明公式的应用 .图 1 … 相似文献
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K.B. Subramaniam 《International Journal of Mathematical Education in Science & Technology》2013,44(2):279-280
In approximating a function with a pole‐like singularity at a non‐rational point a* by a rational polynomial, the approximating package will be robust (i.e. undetectably erroneous to a user) if the rational polynomial includes a factor which cancels out the pole to the full accuracy of the machine in use. Naturally in order to be portable, the approximation a to a* must be to the full machine accuracy of the receiving machine. 相似文献
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本文就高中《代数》(甲种本)第一册第1昵页第3题的第8小题围绕半角的三角公式给出几种证法,以便激发同学们的学习兴趣,并藉以说明如何灵活地运用公式,以期有助于复习巩固所学知识,培养思维能力.利用tg夕=:i,7介口1+:。虑日和才召忿夕=1一co‘旦日1+cosZ台得到1+51;,2召一c(。52“1+52),Zd+eo52已::。竺0/(1+:。:20)+(]一走。:全[))/(1十eo:9口题目:证明1弓一、;,22口一‘052日矛名口1+s:nZ口八工+。o:2夕)1+‘z于22白+‘。62创tg夕+19艺夕洲 一充分5lJ用题目本身的条件 1若注意到条件:::口十。。:O斗。容易得到下面的两种方法 证法一由于:… 相似文献