过圆内点最短的弦

<正>在学习圆的基本知识时,其中一个基本概念就是"弦"——连结圆上任意两点的线段.在圆中最长的弦是直径,没有最短的弦,如果经过圆内固定的一点(不是圆心),必然可以将这个点与圆心相连找到一条直径(最长的弦),那过这个固定的点有没有最短的弦呢?通过实际作图可以发现经过这个点且与直径垂直的弦是最短的弦,下面就来解释一下     

摆线趣谈

一、问题的提出很早以前 ,人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣 .有人误认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧 ,也有人误认为这个轨迹是一段段的抛物线 .实际上 ,当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时 ,动圆圆周上一个定点的轨迹是一条摆线 ,也叫旋轮线 .二、摆线的方程和图像设圆的半径为ａ ,取圆滚动所沿的定直线为ｘ轴 ,圆周上定点Ｐ落在直线上的一个位置为原点 ,建立直角坐标系 (如图 1) .图 1设点Ｐ(ｘ ,ｙ)为轨迹上任意一点 ,圆心滚动到Ｂ点时 ,圆与直线相切于Ａ点 .取∠ＡＢＰ=θ为参数 ,作ＰＤ⊥Ｏｘ ,Ｐ…     

在解题探究的过程中提升思维能力

题目(2012年山东卷理16)如图1,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心在(0,1),此时圆上一点P的初始位置是(0,0),圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于B(2,1)时,→OP的坐标为.试题评价此题要求学生理解坐标的几何意义,灵活运用三角、向量的知识和数形结合的方法解决数学问题.考查了学生在运动变化的过程中     

如何找圆心

给你一个圆,但不知它的圆心位置,你能找到它的圆心吗?我们知道圆心是圆的两条直径的交点,因此要找一个圆的圆心,我们只需考虑画直径的方法即可,下面介绍几种方法.1.“利用直径所对的圆周角是直角”,过圆上任一点画两条互相垂直的弦,连结这两弦与圆的另一个交点,即得一直径,取其中点,即为     

再谈滚动中的“玄机”

一、问题的提出有两个圆,其中一个圆固定不动,另一个圆与这个固定圆不滑动地相切滚动,如图1.当动圆绕着定圆滚动到某一位置时,这个动圆自转的周数是多少?应怎样计算?目前有几种不同的说法.     

对滚圆转动的探讨

<正>关于圆无滑动滚动的问题,有小圆绕大圆内切和外切滚动,绕多边形内外切滚动、沿折线段、椭圆形滚动等情况,其中涉及到计算滚动中小圆转动角度或转动圈数,计算方法主要有如下两种.一是计算"小圆圆心转过的路程",如《中学生数学》2009年6月"怎样计算圆自转的周数"、《山西师范大学学报(自然科学版)研究生论文专刊》2012年06月"圆滚动时自转圈数的探究".     

最美的图形——圆

圆是最美的图形,它展现了对称美,象征完美、和谐,它规整、平稳,又富有韵律感. 生活中的圆 在我们的生活中,圆形的物体随处可见,车轮、锅盖、圆形钟面、奥运五环、易拉罐的底面、井盖等都是圆的. 为什么要把车轮做成圆形?如果把车轮做成三角形、四边形或其他的形状,人们坐在车上就会一会儿高、一会儿低,你不头晕才怪.而把车轮做成圆形,因为在同一个圆中所有的半径相等,也就是车轮轴心到地面的距离始终保持不变,这样车子在路面上行驶就比较平稳,并且圆形的车轮容易滚动.     

浅说垂径定理的应用

华东师大版《数学》九年级 (上 )第四十八页“试一试” ,同学们 ,发现了什么结论吗 ?这个结论是 :垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .这个结论叫做垂径定理 .而实际上 ,如果一条直线具有 :( 1 )垂直弦 ;( 2 )过圆心 ;( 3 )平分弦 ;( 4 )平分弦所对的劣弧 ;( 5 )平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个 ,那么它同时也具有其余三个性质 .(具有 ( 2 )、( 3 )时 ,弦不能为直径 ) .一、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ,在实际中有着广泛的应用例 1　如图 1 .在⊙O中 ,弦AB的长为 1 6cm ,⊙O的半径为 1 0cm ,求圆心O到AB的距离 .解 :过点O作OE⊥AB于E ,连结OA .因为OE过圆心且垂直于弦 ,所以平分弦 .因此　AE =12 AB =8cm .根据勾股定理 ,得OE =OA2 -AE2 =1 0 2 -82 =6cm .因此圆心O到AB的距离为 6cm .例 2　“五段彩虹展翅飞” .我省利用国债资金所建的横跨南渡江的琼州大桥 ,今年 5月 1 2日正式通车 .该桥的两边均有五个红色的圆拱 (如图 2 ) ,其中最高的圆拱的跨...     

试论数学习题的科学性

这是一种屡见不鲜的现象:一个具备良好基础和数学能力的学生,为解答一个数学试题或课本上的习题大感困惑,因为这些习题或条件不足,或叙述不清,……,质言之,不符合科学性的要求。十年动乱,祖国语言不纯的现象有所发展,同样的,在数学读物和各种考试中。题目违反科学性要求的现象也有所发展。笔者工作的教学研究机构,每年都要收到许多来信,询问某些有争议的习题,或者对课本中的习题提出质疑。人们还记得,一九八○年全国高等学校招生理科数学第九题,由于措词不清,曾在全国范围内引起相当广泛的不同解释,该题为“抛物线的方程是y~2=2x,有一个半径为1的圆:圆心在x轴运动,问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直。”对上面加着重号的句子,按命题人的原意是“圆与抛物线在同一交点处的切线互相垂直,”由于缺少“同一”两字,以黑龙江省为例,大约有15％的考生无可责怪地理解为“在一个交点处圆(或抛物线)的切线与另一个交点处的抛物线(或圆)的切线互相垂直。”对这个试题的详评可在文[1]、[2]中读到,恕不在此赘述。     

圆的基本问题(上)

<正>圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.这个定点是该圆的圆心,定长是该圆的半径.只要圆心与半径确定了,该圆也就确定了.因此,找圆心和确定半径是圆的基本问题.不共线的三点可以确定一个圆.圆是轴对称图形,也是中心对称图形.1.圆的基本问题例1在平面上设法找出2017个点,使这些点中的任何三点都不共线.分析由圆的定义及不在一直线上的三点决定一个圆的结论可知,一个圆上任何三点都不共线.因此,我们可得如下解法:     

以滚动为载体的有趣问题

数学来源于生活.在千姿百态的滚动中, 如果我们稍微留神,将会发现很多有趣的数学 问题就在我们身边,让人耳目一新,拍手称快. 一、沿直线滚动,趣味盎然 1.圆沿直线滚动 问题1 如图1,一枚直径为dmm的硬 币沿着一条直线l滚动一圈,圆心经过的距离 是多少?(答案是πdmm)     

关于三角形中阿氏圆的有趣结论

我们知道 ,平面上到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是个圆 ,叫做阿波罗尼斯圆 ,简称为阿氏圆 ,这两个定点叫做该阿氏圆的基点 .在不等腰△ ABC中 ,以 B,C为基点 ,比值为 AB∶ AC的阿氏圆叫做边 BC上的阿氏圆 ,记其圆心为 Oa,半径为 Ra,并给边 CA,AB上的阿氏圆以类似的记号 .若∠ A的内角与外角平分线分别交边BC(或延长线 )于 Ta 和 Ta′,则由角平分线的性质知 Ta和 Ta′均在⊙ Oa上 ,且 A也在⊙ Oa上 ,故⊙ Oa 是以 Ta Ta′为直径 ,同时经过 A点的圆 .类似的结论也适用于⊙ Ob 和⊙ Oc.定理 1　任意不等腰△ ABC三边上…     

球面摆线

摆线即旋轮线,是人们所熟知的一种重要的平面曲线.当动圆沿直线或定圆滚动而无滑动吋,动圆圆周上一点的轨迹即为摆线、外摆线和内摆线.在实践中,当我们仔细观察时就会发现较上述平面运动为复杂的情况.例如:当自行车在曲率很大的路面上快速     

最美的图形——圆

圆是最美的图形,它展现了对称美,象征完美、和谐,它规整、平稳,又富有韵律感。生活中的圆在我们的生活中,圆形的物体随处可见,车轮、锅盖、圆形钟面、奥运五环、易拉罐的底面、井盖等都是圆的。为什么要把车轮做成圆形?如果把车轮做成三角形、四边形或其他的形状,人们坐在车上就会一会儿高、一会儿低,你不头晕才怪。而把车轮做成圆形,因为在同一个圆中所有的半径相等,也就是车轮轴心到地面的距离始终保持不变,这样车子在路面上行驶就比较平稳,并且圆形的车轮容易滚动。     

慧眼识“圆”,拓宽解题路径

<正>《墨子·经上》记载:“圜,一中同长也”,其大意为圆这种图形有一个中心,从这个中心到圆上各点长度相等.这是中国古人对于圆这一几何概念的定义,用现代数学语言描述即为“圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点的轨迹”.圆作为初中平面几何的重要内容,在历年中考数学试卷中均占有一席之地.从各地命题的方式来看,除了直接考察圆的基础知识以外,一类隐圆问题也备受命题者的青睐,     

直线与圆相切的判定

在直线与圆的位置关系中 ,相切关系很重要 .要掌握“切线证明”的思路和方法 ,首先要搞清切线的判定方法有哪些 ?切线的判定方法有 :①直线l与⊙O有且只有一个交点时 ,直线l与⊙O相切 .②圆心O到l的距离d =r ,则直线l与⊙O相切 .③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线 .综合起来有两类 :(1)已知垂直 ,证半径或作垂线证半径 .(2 )已知半径 ,证垂直或连半径证垂直 .现分别举例说明 :第一类 :已知垂直 ,只需证半径 .如果所给直线不知过不过圆上某点 ,其证明方法是“作垂直 ,证半径” .例 1如图 ,在Rt△ABC中 ,∠B =90° ,∠A的平分…     

自行车的奇想和探究(上)

<正>最近,我新买了一辆自行车,意外地发现车轮上有一处红色的油漆印记.在一个阳光明媚的日子里,我骑上这辆自行车,开始放飞一段奇异的梦想:一、试想第一个问题一辆自行车的轮子上有一处红色印记,如果骑车沿笔直的道路行驶,那么从侧面看,这个印记会划出怎样的曲线呢?问题分析首先简化问题:假设这辆自行车的轮子是圆形的,这处红色印记看成一个     

婆氏定理与四边形的九点圆

印度数学家婆罗摩及多(Brahmegpta,598 年～660年)发现了下面的著名定理[1]: 婆氏定理　设圆内接四边形ABCD的对角 线互相垂直相交于E,则过点E平分一边BC的 直线必垂直于对边AD.反之,过点E垂直于一 边AD的直线必平分对边BC. 本文将对角线互相垂直的圆内接四边形简 称为“婆氏四边形”. 下面的著名定理提出了四边形的九点圆概 念[2]: 库得奇———大上定理　以圆内接四边形任 意三个顶点作三角形,则这四个三角形的九点 圆心共圆. 上述定理中的四个圆心所在的圆被称为四 边形的九点圆.它的半径等于四边形外接圆半 径的一…     

神奇的旋轮线

<正>旋轮线作为数学和物理中的一类重要曲线,有着许多神奇的性质和广泛的应用.基于此,旋轮线在几百年前就引起了许多大数学家的关注,并在数学史上留下了一段传奇.1圆的滚动形成旋轮线当动圆沿着定直线滚动时,动圆上一定点所画出的曲线就是旋轮线.旋轮线的这一形成过程,可以用几何画板、GeoGebra等数学软件制作动图演示.     

自行车的奇想和探究（上）

最近,我新买了一辆自行车,意外地发现车轮上有一处红色的油漆印记.在一个阳光明媚的日子里,我骑上这辆自行车,开始放飞一段奇异的梦想：一、试想第一个问题一辆自行车的轮子上有一处红色印记,如果骑车沿笔直的道路行驶,那么从侧面看,这个印记会划出怎样的曲线呢？问题分析首先简化问题：假设这辆自行车的轮子是圆形的,这处红色印记看成一个点，笔直的道路是平坦的．