双向不等式的一种解法

双向不等式ａ <ｆ(ｘ) <ｂ的求解是解不等式中的常见类型 ,一般解法是转化为不等式组 ｆ(ｘ) >ａｆ(ｘ) <ｂ来解 ,这种解法思路清晰 ,但有时并不简便 ,下面我们介绍一种更为简捷的方法 .解法的理论根据是 :若ａ <ｂ ,则ａ<ｆ(ｘ) <ｂ [ｆ(ｘ) -ａ] [ｆ(ｘ) -ｂ] <0 .例 1　解不等式 -3 <2ｘ -1ｘ + 2 <-2 .析解　原不等式等价于2ｘ -1ｘ + 2 + 3 2ｘ -1ｘ + 2 + 2 <0 ,即　(5ｘ + 5 ) (4ｘ + 3 )(ｘ + 2 ) 2 <0 ,即　 (5ｘ + 5 ) (4ｘ + 3 ) <0 .解之得原不等式的解集为 (-1,-34) .例 2　解不等式ｌｏｇ25ｘ + 2ｘ2 -5 <1.析解　原不等式…     

巧用函数性质简化不等式

解不等式就是依据不等式的基本性质 ,对其进行同解变形 .如解不等式 :ｘ 1 >ｘ- 1可化为与之同解的ｘ 1≥ 0 ,ｘ - 1 <0 ,或ｘ 1 >0 ,ｘ - 1≥ 0 ,ｘ 1 >(ｘ - 1 ) 2 .再解之 .图　 1ｘ 1>ｘ - 1的图解如果再加分析 ,令ｙ1=ｘ 1是幂函数 ｙ=ｘ12 的图象向左平移一个单位所得 ,令 ｙ2 =ｘ- 1是一次函数 ,利用它们的图象及性质 (如图1 ) ,容易得知ｘ∈[- 1 ,3) ,其中交点 (3,2 )的横坐标可由解方程ｘ 1 =ｘ - 1解出 .这一解法将解不等式转化为对函数图象的研究讨论 ,直观明了 .　　由此得到启发 ,在解某些不等式时 ,可恰当转化…     

一道无理不等式题的解法探究

无理不等式的解法一直是高考考查的热点内容 ,也是同学们难以掌握的内容 .本文选出一道典型例题 ,从多方面入手 ,深入剖析 ,以期帮助同学们提高分析和解题能力 .题目　解不等式ｘｘ2 + 1>ｘ2 -1.解法 1　 (利用分类讨论求解 )原不等式等价于下面不等式组(Ⅰ )ｘ≥ 0 ,ｘ2 -1≥ 0 ,(ｘｘ2 + 1) 2 >(ｘ2 -1) 2 ,或 (Ⅱ ) ｘ≥ 0 ,ｘ2 -1<0 ,或 (Ⅲ )ｘ <0 ,ｘ2 -1<0 ,(ｘｘ2 + 1) 2 <(ｘ2 -1) 2 .①由不等式组 (Ⅰ )得ｘ≥ 1;②由不等式组 (Ⅱ )得 0≤ｘ <1;③由不等式组 (Ⅲ )得 -33 <ｘ <0 .综合①②③得原不等式的解集为 (-33 ,0 )∪ [0 ,1…     

不等式F(x)·(Φ(x))~(1/2)≥0的解法探讨

例　解不等式(ｘ - 4)ｘ2 - 3ｘ - 4≥ 0 .错解 :原不等式等价于不等式组 :ｘ - 4≥ 0 ,ｘ2 - 3ｘ - 4≥ 0 ,即 ｘ≥ 4,ｘ≥ 4或ｘ≤ - 1,解得ｘ≥ 4,∴原不等式的解集为 {ｘ|ｘ≥ 4} .剖析　显然当ｘ =- 1时 ,原不等式也成立 .为什么漏掉ｘ =- 1这个解呢 ?究其原因是忽略了原不等式中的“≥”号具有不等和相等的双重性 .要注意 :同解定理“不等式Ｆ(ｘ)·Φ(ｘ) >0与不等式组Ｆ(ｘ) >0Φ(ｘ) >0 同解”中的不等号是“ >” ,而不是“≥” .下面介绍三种可以防止错解的简便方法 ,供读者参考 .1　符号分解　符号“≥”是由“ >”与“ =”复合…     

不等式的解法、含有绝对值的不等式

本单元知识点及重要方法本单元必须掌握有理不等式 ,无理不等式 .指数与对数不等式 .含有绝对值的不等式的基本解法 .解不等式过程中用到的重要思想或方法有 :转化法 (主要指同解变形 ) ,换元法 ,分类讨论 ,数形结合 .练　习选择题1　不等式 2 -ｘ >ｘ的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ|ｘ <1}.(Ｂ) {ｘ|- 2 <ｘ <1}.(Ｃ) {ｘ|0≤ｘ <1}.(Ｄ) {ｘ|ｘ <0 }.2　不等式组ｘ >03 -ｘ3 ｘ>|2 -ｘ2 ｘ|的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ|0 <ｘ <2 }.(Ｂ) {ｘ|0 <ｘ <2 .5}.(Ｃ) {ｘ|0 <ｘ <6}(Ｄ) {ｘ|0 <ｘ <3 }.3　不等式 |ｘ2 - 2ｘ 3|<|3ｘ - 1|的解集是 (…     

不等式的解法、含有绝对值的不等式

选择题1　与不等式2ｘ - 3ｘ - 2 ≥ 1同解的不等式是 (　　 )(Ａ) (2ｘ - 3) (ｘ - 2 )≥ 1.(Ｂ) (ｘ - 1) (ｘ - 2 )≥ 0 .(Ｃ)ｌｇ(ｘ2 - 3ｘ 2 ) >0 .(Ｄ) ｘ3 -ｘ2 ｘ - 1ｘ - 2 ≥ 0 .2　若ａ≠ｂ ,关于ｘ的不等式ａ2 ｘ ｂ2 (1-ｘ)≥[ａｘ ｂ(1-ｘ) ]2 的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ| 0≤ｘ≤ 1} .　　　 (Ｂ) {ｘ| 0 <ｘ <1} .(Ｃ) {ｘ| 0≤ｘ <2 } . (Ｄ) {ｘ| 0≤ｘ≤ 2 } .3　若不等式ｌｏｇ81ｘ ｌｏｇ9ｘ ｌｏｇ3 ｘ <74 的解集为Ｍ ,不等式 8ｘ- 4 ｘ 2 ｘ<1的解集为Ｎ ,则Ｍ∩Ｎ为 (　　 )(Ａ) . (Ｂ) {ｘ| 0 <ｘ <3} .…     

不等式f(x)(g(x))～(1/2)≥0的错解与正解

对于形如 ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) ≥ 0的不等式 ,同学们常转化为不等式组 ｆ(ｘ)≥ 0 ,ｇ(ｘ)≥ 0 ,由于与原不等式不同解而产生漏解 .究其原因是忽视了这类不等式的特殊性 ,原不等式中的“≥”具有相等与不等的两重性 .下面举一例加以剖析 .例题　解不等式 (ｘ - 1) ｘ2 -ｘ - 2 ≥ 0 .错解　错解 1:原不等式可化为ｘ - 1≥ 0 ,ｘ2 -ｘ - 2≥ 0 ,解得ｘ≥ 2 .故原不等式的解集是 {ｘ|ｘ≥ 2 } .剖析　显然当ｘ =- 1时 ,原不等式也成立 ,漏掉ｘ =- 1这个解 .究其原因忽略了不等式“≥”具有相等与不等的两重性 .事实上 ,不等式 ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)≥ 0与 ｆ…     

不等式性质的灵活应用

<正>不等式性质常见的有如下三个1.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.这三个基本性质是对不等式进行变形的重要依据,灵活应用它们,能帮我们顺利地解     

函数单调性在解不等式与方程中的应用

1　在解不等式中的应用例 1　解不等式(1 .2 5) 1-(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <(0 .64 ) 2 ｌｏｇ ｘｘ.解　∵ (1 .2 5) 1-(ｌｏｇ2 ｘ) 2 =541-(ｌｏｇ2 ｘ) 2=54 · 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 ,又∵ (0 .64 ) 2 ｌｏｇ ｘｘ=(45) 8,∴原不等式可变形为5445(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <458,即 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <459.∵ 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 为单调减函数 ,∴ (ｌｏｇ2 ｘ) 2 >9.即ｌｏｇ2 ｘ >3或ｌｏｇ2 ｘ <- 3 .故此不等式的解是 :0 <ｘ <18或ｘ >8.例 2　已知 ｙ1=ａｘ2 -3ｘ 1与 ｙ2 =ａｘ2 2ｘ -5 ,其中ａ >0且ａ≠ 1 ,若 ｙ1<ｙ2 ,求ｘ的值 .解　若ａ >1 ,则 ｙ…     

解一元一次不等式的常见错误分析

初一同学初学解一元一次不等式时 ,由于基础不扎实、粗心大意 ,常常会出现这样或那样的错误 .现就一些常见的错误归类分析 .一、移项不变号解不等式　 2ｘ +3 >ｘ -1 .错解　移项 ,得　 2ｘ +ｘ >-1 +3 .即　 3ｘ >2 ,　∴　ｘ >23 .分析　这里犯了移项不变号的错误 .出现这一错误 ,或因粗心大意、或因“移项要变号”这一知识点不能及时回应所致 .因而求解时应在掌握知识点的基础上再加细心 .正解　移项 ,得　 2ｘ -ｘ >-1 -3 ,∴　ｘ >-4 .二、系数化为 1时 ,将分子、分母位置颠倒解不等式　 1 1ｘ >7.错解　系数化为 1 ,得　ｘ >1 17.分析…     

对一个方程根的分布问题的修正

已知含参数的方程的解在某个区间内或在某个区间内有解 ,求方程中参数的取值范围是一类常见问题 ,文 [1 ]中就有一个关于这类问题的例子 ,现将该例及其解答摘录如下 :关于ｘ的方程 :ｌｏｇ4ｘ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 4 ) -ｔ的根在 ( - 2 ,- 1 )内 ,则实数ｔ∈　　　　　　 .解　因为 - 2 <ｘ<- 1所以ｔ =ｌｏｇ2ｘ+ 4-ｘ=ｌｏｇ2 ( - 1 - 4ｘ) ∈ ( 0 ,ｌｏｇ2 3)或求出ｘ =- 42 ｔ+ 1 ,解不等式 - 2 <- 42 ｔ+ 1 <- 1得 :ｔ∈ ( 0 ,ｌｏｇ2 3)笔者以为 :上面的解法是错误的 .这是因为 ,方程ｌｏｇ4ｘ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 4 ) -ｔ与方程ｔ=ｌｏｇ2ｘ…     

一个不等式的推广

文 [1]提出了一个对称不等式 :已知ｘ ,ｙ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ =1,则　　　 2 <(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ)≤ 94 (1)这个不等式自然使人想到三个变量的情形 .本文用微分法证明 (1)的一个推广 :已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ +ｚ =1,则(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ) (1ｚ-ｚ)≥ (83) 3(2 )证　由对称性 ,不妨设ｘ≤ｙ≤ｚ ,则 0 <ｘ + ｙ≤23,13≤ｚ <1,0 <ｘｙ≤ 19.由ｘ + ｙ +ｚ =1得ｚ =1-ｘ - ｙ ,代入 (2 ) ,整理得2 7(1-ｘ2 ) (1- ｙ2 ) (2 -ｘ - ｙ) (ｘ + ｙ)≥ 5 12ｘｙ·(1-ｘ - ｙ) ,两边取对数 ,欲证之式等价于ｆ(ｘ ,ｙ) =ｌｎ2 7-ｌｎ5 12 +ｌ…     

不等式求解中常见错误浅析

不等式的求解是中学数学中的重点内容 ,也是历年高考中的热点内容 ,然而由于忽视隐含条件致使求解出错的现象时有发生 .本文拟通过实例分类剖析不等式求解中的常见错误 ,供同学们借鉴与参考 .1　忽视使不等式中解析式有意义的变量的取值范围致误例 1　解不等式 5ｘ - 3 ｘ - 8>3ｘ 1 ｘ - 8.错解 :原不等式可化为 5ｘ - 3>3ｘ 1,解得ｘ>2 .剖析　错解忽视了不等式中解析式 ｘ - 8有意义的ｘ的取值范围而出现失误 .应先由ｘ - 8≥ 0求出集合 {ｘ|ｘ≥ 8}并与集合 {ｘ|ｘ >2 }取交集 ,便能得正确结果 {ｘ|ｘ≥ 8} .例 2　解不等式ｌｏｇｘ2 …     

再解“恒成立”问题

本刊 2 0 0 1年 18期《解一类“恒成立”问题的五种方法》、2 0 0 2年 12期《一类“恒成立”问题的又一解法》等文 ,先后介绍了求解“恒成立”问题的诸多方法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再介绍一种简捷新颖的方法供同学们借鉴、参考 .题目　已知当ｘ∈ [0 ,1]时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ + 3-ａ >0恒成立 ,求ａ的取值范围 .解　原不等式变形为ａｘ + 3-ａ >-ｘ2 .设 ｇ(ｘ) =ａｘ + 3-ａ ,ｈ(ｘ) =-ｘ2 .由于ｘ∈[0 ,1]时 ,[ｈ(ｘ) ]ｍａｘ=0 ,所以欲使 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ+ 3-ａ >0在ｘ∈ [0 ,1]上恒成立 ,只要 ｇ(ｘ) =ａｘ+ 3-ａ在ｘ∈ [0 ,1]上…     

初三代数第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题(每小题2分,共20分)1.方程ｘ2-5ｘ=0的根是.2.已知方程2ｘ2+ｋｘ-6=0的一个根为-3,则另一个根为;ｋ=.3.已知ｘ满足ｘ2-3ｘ+1=0,则ｘ+1ｘ的值为.4.已知三角形的两边长是4和7,第三边长是方程ｘ2-16ｘ+55=0的根,则第三边的长是.5.如果(3ｋ+1)ｘ2+2ｋｘ=-3是关于ｘ的一元二次方程,那么不等式ｋ-12≥4ｋ+13-1的解集为.6.把方程ｘ2-4ｘ-7=0的左边配成一个完全平方式时,得.7.已知ａ,ｂ,ｃ是△ＡＢＣ三条边的长,那么,方程ｃｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ｃ4=0的根的情况为.8.如果方程13ｘ2-2ｘ+ａ=0有实数根,那么ａ的取值范围是.9.若对任何实数ｘ,分…     

待定系数法在基本不等式中的应用

请先看一个例子 :例 1　有一块长为 2米宽为 1米的矩形铁皮 ,现要在四角各截去一个同样大小的正方形 ,然后做成无盖盒子 ,问该如何截方能使其容积最大 ?解　设截去的正方形边长为ｘ米 ,则所做的盒子的容积为Ｖ =ｘ(2 - 2ｘ) (1- 2ｘ) .此时 4Ｖ =4ｘ(2 - 2ｘ) (1- 2ｘ)可以看成三个因式的乘积 ,而这三个因式的和为定值 .然而由于方程4ｘ =2 - 2ｘ =1- 2ｘ无解 ,因此这时我们不能直接应用基本不等式3 ｘ1ｘ2 ｘ3≤ ｘ1+ｘ2 +ｘ33,ｘ1,ｘ2 ,ｘ3∈Ｒ+来求解 .为了能用基本不等式求解 ,我们引入参数ａ ,ｂ(0 <ａ <12 ,0 <ｂ <12 ) ,此时ｘ ,2ａ …     

定比分点公式在不等式中的巧妙应用

定比分点公式是解几中非常重要的公式 ,利用它解 (证 )不等式将非常巧妙而有效 ,特介绍如下 :1　解不等式　对于解形如ｘ1 <ｘ <ｘ2 (或 |ｘ| <ａ)的不等式 ,我们是把ｘ1 ,ｘ ,ｘ2 分别对应数轴上三点 :Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的内分点 ,由定比分点公式λ=Ｐ1 ＰＰＰ2 =ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ,因为λ >0 ,所以 ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ>0 ,通过解此不等式可得原不等式的解 ;而对于形如 |ｘ| >ａ的不等式 ,我们同样把-ａ,ｘ ,ａ分别对应数轴上三点 :Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,而此时Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的外分点 ,λ <0即 ｘ ａａ -ｘ<0 ,解此不等式即可…     

用均值不等式求“最值”须注意的几点

利用均值不等式求最值要注意使用的条件 .下面试通过几例进行剖析 .一、正数是前提例 1已知ｘ∈Ｒ ,求函数ｙ=ｘ+1ｘ的最值 .错解　由ｘ +1ｘ≥ 2 ,得函数ｙ的最小值为 2 .(ｘ =1时取到等号 )评析　错误的原因是误把ｘ当成了正数 .在利用均值不等式求最值时 ,必须首先搞清给定的数或式是否是正的 ,如果是负的 ,必须先变成正的 .二、定值是关键例 2　已知 0 <ｘ <1 ,求函数ｙ =ｘ( 1 -ｘ) 2 的最大值 .错解　∵　ｘ( 1 -ｘ) 2 ≤ [ｘ +( 1 -ｘ) 22 ]2 ,∴　当ｘ =( 1 -ｘ) 2 ,即ｘ =3 -52 时 ,ｘ+( 1 -ｘ) 22 =3 -52 为定值 .∴　函数ｙ=ｘ( …     

利用函数单调性解竞赛题

本文谈谈利用函数单调性解竞赛题 .一、直接利用单调函数的概念、性质及定理解题纵观近年的各种高中数学竞赛题 ,发现许多问题可由函数的单调性定义和有关单调性的一些常见的定理直接解 .如函数单调性的一个性质 :函数 ｆ(ｘ) =ｘ + ｍｘ(ｍ >0 )在区间( 0 ,ｍ ]内单调递减 ;在区间 [ｍ ,+∞ )上单调递增 (考虑到该函数是奇函数 ,可得其对称区间上的单调性 )就是很有用的结论 .例 1　已知 0 <ａ <1 ,函数ｆ (ｘ) =-ｘ + 1ｘ + 1 ( 0 <ｘ≤ａ)的最大值是.( 2 0 0 2年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛题第 7题 )解　由于函数ｘ + 1ｘ在区间…     

关于不用计算导数的大范围收敛迭代法的注记

1　引　　言在文 [1 ]中我们借助于动力系统方法导出了求连续函数 ｆ(ｘ)在区间 [ａ ,ｂ]上单零点ｘ 的一个大范围收敛的连续性方法 .此处 ｆ(ｘ)满足李氏条件 ,且 ｆ(ａ) <0 ,ｆ(ｂ) >0 .这个连续性方法由动力系统ｄｘｄｔ =- ｆ(ｘ)ｘ( 0 ) =ｘ0 ∈ [ａ ,ｂ]( 1 )确定 ,其解析解ｘ(ｔ ,ｘ0 )具有性质ｌｉｍｔ→ +∞ｘ(ｔ,ｘ0 ) =ｘ ,　　ｘ0 ∈ [ａ ,ｂ].　　为了数值地求出ｘ ,我们利用显式欧拉法ｘｎ+ 1=ｘｎ -ｈｎｆ(ｘｎ)ｘ0 =ｂ　ｏｒａ ( 2 )来求 ( 1 )式的解 .其中ｈｎ>0 ,为步长 .它的选择满足文 [1 ]中的不等式ａ<ｘｎ+ 1<ｘｎ,…