无穷递降法及其应用

1何谓无穷递降法1659年,法国数学家费马写信给他的一位朋友卡尔卡维,称自己创造了一种新的数学方法.由于费马的信并没有发表,人们一直无从了解他的这一方法.直到1879年,人们在荷兰莱顿大学图书馆惠更斯的手稿中发现了一篇论文,才知道这种方法就是无穷递降法.无穷递降法是证明某些不定方程无解时常用的一种方法.其证明模式大致是:先假设方程     

无穷递降法及其应用

无穷递降法是解数论题的一种十分重要的方法,也是一些大型数学竞赛命题(特别是lMO竞赛命题)采撷的对象,因此,应是每一个竞赛参加者必须掌握的方法之一。本文对此作一些介绍,供大家参考。     

“无限递降法”介绍

无限递降法是一种证明方法，即假如已知问题有一个整数解，并且可以作出一个更小的正整数解，而且新问题的形式，“酷似”原来的，宛如原来问题的一个“翻版”，再用同样的论证方法，以这个更小的解出发，又可以推到再小一些的解，这个过程可以无限重复下去，但因为问题的解全都是正整数．于是不可能无限地下推来求越来越小的解，因此，此问题无解．     

活用刘徽原理解决“阳马问题”

<正>刘徽在《九章算术》"阳马术"注中明确提出了关于多面体体积的"出入相补"原理:"邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑(nào),阳马居二,鳖臑居一,不易之率也."即把一个长方体分割成三个基本图形:堑堵、阳马、鳖臑,如下     

刘徽与《九章算术》

刘徽,是我国公元三世纪一位杰出的数学家,可以说是我国古代数学理论的建树者和奠基人。他在学习前人科研成果的基础上,对于如割圆术,齐同术、阳马术、方程术、正负术、勾股术、重差术等等,都有突出的成就,大数学家祖冲之(公元429-500年)和我国后世的许多著名数学家的研究成果,许多都是在他的基础上完成的。他还用逻辑推理的方法,对许多重要的数学理论问题进行了科学的论证,这在中国数学发展史上是空前的。他的数学研究工作,为我国数学理论的形成和发展,打下了坚实的理论基础,以致逐步形成了具有我国古代传统特色的完整的数学体系。这些对我国后世数学的发展,也有很大影响,在世界数学发展史上,也占有重要的地位。刘徽的生平事迹和籍贯,史书上记载得很少。只知道他在魏陈留王景元四年(公元263年)为我国古代     

无穷级数与无穷乘积

通过构造新的级数以研究原来级数通项的极限性质,从而得到其敛散性.该方法在精细判别和无穷乘积研究有重要有用.     

浅谈无穷级数求和法

<正> 关于无穷级数的初等理论,在通常的分析教程里都有不同程度的论述。但是,限于级数理论的系统性,对求和法一般都讲得很少,而且分散介绍。本文将通过大量的例题,较系统地介绍一些无穷级数的求和方法。 1.定义法     

刘徽不等式与祖冲之不等式的注记

利用微分学方法给出刘徽不等式与祖冲之不等式的证明;得到两个关于双曲函数的不等式;还得到两个关于单位圆内接正n边形周长与π之间关系的不等式.     

刘徽弧田术及其进展

我国古代求弧田(弓形田)面积S的方法(旧术)是: “以弦(b)乘矢(h),矢又自乘,并之,二而一”,即 S=1/2(bh+h~2),載在《九章算术》方田章。刘徽指出:(a)弓形作半圓时,依上式計算面积,“失之于少”;(b)若不滿半圓者,益复疏闊。批評正确,无待辞費。刘徽批判了旧术:提出了新术——刘徽弧田术。如图:于所給弓形內以弦为底作等腰三角形,于所得的各較小弓形內又作等腰三角形,这样继续續作下去;再由一系列的弦b,b_1,b_2,…和相当的矢h,h_1,h_2,…分别求各等腰三角形的面积,并依次把它們加起来,所得的結果就逐漸逼近于所求的弓形面积。这就是刘徽所示:“割之又割,使至极細,但举弦矢相乘之数,则必近密率矣”。用算式表之:     

刘徽数学讨论班在京举办

以中国数学会理事长吴文俊教授为主任的刘徽数学研究中心,是为促进国内外数学家之间的学术交流、推动我国数学事业的发展而创立的民间学术机构。直至宋元时期我国数学一直在世界上居于领先地位,产生过大批优秀的数学家。除得到国际公认的祖冲之、秦九韶外,刘徽实是其中之佼佼者。为发扬中华民族的优秀传统,振兴中华数学事业,中心决定举办以刘徽命名的数学讨论班。     

《<九章算术>与刘徽》简介

由中国科学院系统科学研究所副所长吴文俊教授主编的《<九章算术>与刘徽》论文集即将出版了。《九章算术》,这部流传至今的我国最古的数学杰作,其内容之丰富;某些课题居于世界领先的地位等等,均早已为国内外所称道。尤其是刘徽的《九章算术注》,更已成为数学史上的重要文献了。长期以来,对于《九章算术》及刘徽的《九章算术注》的研究。也早已在国内外引起了重视。如几十年前,日本的数学史家三上义夫、小仓金之助等对这部书就进行过很好的研究。目前,《九章算术》已被译为英、日、俄、德几国的文字;刘徽已被列入美国出版的《科学家传记辞典》中。其它如丹麦的华道安(这是Wagner自己起的中文名字)、澳大利亚的何丙郁(Ho Pen-York)以及苏联的别辽兹金娜等,也都研究过刘     

无穷维自回归过程的中偏差原理

本文考虑无穷维自回归过程经验协方差函数的中偏差原理,仅对自回归过程的随机扰动项做了高斯可积性的假设,这个条件比[4]中的对数Sobolev不等式要弱很多.主要利用了m-相依随机变量的中偏差结果和Ellis-Grtner定理,推广了[6]的结果.     

刘徽数学讨论班在京举办

<正> 以中国数学会理事长吴文俊教授为主任的刘徽数学研究中心,是为促进国内外数学家之间的学术交流、推动我国数学事业发展而创立的民间学术机构. 我国数学直至宋元时期在世界上一直居领先地位,产生过大批优秀数学家.除得到国际公认的祖冲之、秦九韶外,刘徽实是其中之佼佼者.为发扬中华民族的优秀传统,振兴我国数学事业,中心决定举办以刘徽命名的数学讨论班.     

关于刘徽的割圆术

割圆术是刘徽圆田术注的核心内容,其主旨在于证明《九章算术》中的圆面积公式.刘徽所采用的极限过程是为进行无穷小分割并最后证明圆面积公式做准备的,并不是为了求圆周率.求圆周率是用不到极限过程的,它只是极限思想在近似计算中的应用.对刘徽求圆周率程序的错误理解,会将刘徽置于他从未犯过的循环推理的错误之中.     

冲量法与齐次化原理

<正> §1 引言本文运用冲量法把强迫振动的问题化为自由振动的问题并进行了详细的推导和论证,这有益于理解这些内容、搞好教学工作。     

从刘徽割圓談起

一、刘徽割圆术在华罗庚教授所写的“从祖冲之的圓周率談起”一书中指出:在一千多年以前祖冲之就已經知道: (ⅰ) 圆周率π,在3.1415926与3.1415927之間; (ⅱ) 以22/7作为π的約率,以355/113作为密率。他还提到:“这些結果是刘徽割圓术之后的重要发展。刘徽从圓内接正六边形起算,令边数一倍一倍地增加,即12,24,48,96,……,1536,……,因而逐个算出六边形,十二边形,二十四边形,……的面积,这些数值逐步逼近圓周率。刘徽方法的特点,是得出一批一个大于一个的数值,这样来一步一步地逼近圓周率。这方法是可以无限精密地逼近圓周率的。但每一次都比圆     

刘徽数学思想的新认识——纪念刘徽“割圆术”1753周年

刘徽《割圆术》(公元263年)千古之谜被破解,发现使用了外推法,由此引发新的认识.将综述刘徽的极限和外推思想,并比较了国外的工作.最后指出如何用外推预报提出求解偏微分方程的高效算法.     

无穷级数的和数比较判敛法

无穷级数的判敛问题是一个古典分析的课题。现代文献中仍有涉及,但是不太多。形形色色的判敛法大体可分为两类:一类是比较专用的,适用于某一类的级数,如d'Alembert判别法。Gauss判别法;另一类有比较广泛或很广泛的适用范围,如Kummer判别法,Cauchy收敛准则等。前一类判敛法应用起来比较方便,适用范围却较狭窄;而后一类虽然原则上有宽广的适用范围,但往往不便具体应用。本文提出的“和数比较判敛法“适用于较广的范围,在具体应用时也比较灵活、方便;从它可以导出若干别的判敛法和有趣的推论。以下用小写字母a_n,b_n,c_n,d_n记无穷级数的通项,对应的大写字母记其前n项之和,例如: A_n=α_1+α_2+…+α_n,D_n=d_1+d_2+…+d_n等等。记号B_n(?)A_n读作“B_n优于A_n”,且与记法A_n(?)B_n等价,它的含意是     

刘徽在数学上的伟大贡献——纪念刘徽注《九章算术》1720周年

<正> 刘徽是我国古代伟大的数学家.他于公元263年注《九章算术》,在现存文献中,第一次对我国古代这部最著名的数学著作中正确的解法进行了全面论述和创造性证明,并对其中某些错误给予驳正,取得了很大的成就,奠定了我国古代数学的理论基础.刘徽创立计算圆周率的科学方法,指出解决球体积的正确途径,从而为祖冲之父子在数学上的贡献提供了方法,指出了方向;刘徽论述了分数四则运算、比例和比例分配问题;他论述了开方问题,提出开方不尽求“微数”,促进了十进小数的诞生;又全面论证了勾股问题,发展了重差术.他在这些方面的重大贡献,许多学者都作过详尽的论述,本文限于篇幅,不再赘述.     

古代算学家刘徽的极限观念

割圆术如所周知,是关于圆周率计算问题的讨论.该术载于“九章算术”第1章方田第32问之后.在我国古代,有一个较长的时期,认为圆周长和直径长之比是“周3径1”.即认为π=3,圆面积等于圆径平方的3/4,这当然是不正确的.我们知道:合于“周3径1”的不是圆周长,而是圆的内接正6边形的周长.刘徽指出了这个错误,并提出了他自己的计算方法--割圆术.他的方法就是:从已知的圆内接正多边形每边的长,用勾股弦定理求出内接边数加一倍的正多边形的边长.他从内接正6边形做起,依法求得正