不等式x~3 y~3 z~3≥3xyz的几何证法

我们先证ｘ２＋ｙ２≥２ｘｙ（ｘ、ｙ∈Ｒ＋,当ｘ＝ｙ时,等号成立）证明　如图１,设正方形ＡＢＣＤ的边长为ｘ,正方形ＢＥＦＪ的边长为ｙ,在ＡＢ上取ＡＨ＝ｙ,则ＨＢ＝ｘ－ｙ,故ＨＥ＝ＨＢ＋ＢＥ＝ｘ－ｙ＋ｙ＝ｘ,∴　Ｓ矩ＡＨＰＤ＝Ｓ矩ＨＥＦＫ＝ｘｙ．由图１显然有　Ｓ正ＡＢＣＤ＋Ｓ正ＢＥＦＪ≥Ｓ矩ＡＨＰＤ＋Ｓ矩ＨＥＦＫ,即　　　ｘ２＋ｙ２≥２ｘｙ（当且仅当ｘ＝ｙ时,等号成立）再证　ｘ３＋ｙ３＋ｚ３≥３ｘｙｚ（ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ＋,当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ时,等号成立）证明　如图２,设三个正方体ＶＡＢ、ＶＣＤ、ＶＥＦ…     

A NEW REGULARITY CLASS FOR THE NAVIER-STOKES EQUATIONS IN IR~n

ＡＮＥＷＲＥＧＵＬＡＲＩＴＹＣＬＡＳＳＦＯＲＴＨＥＮＡＶＩＥＲ－ＳＴＯＫＥＳＥＱＵＡＴＩＯＮＳＩＮＩＲ~ｎ￥Ｈ．ＢＥＩＲａＯＤＡＶＥＩＧＡ（ＤｅｐｏｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＰｉｓａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｐｉｓａ，Ｉｔａｌｙ）Ａｂｓｔｒａ?..     

学习“旋转体”单元六注意

学习“旋转体”这一单元除掌握好旋转体的概念、性质和求面积、体积公式外 ,还必须处理好下面的问题 .1　注意联系直线和平面的知识例 1　圆锥的高为 2 0ｄｍ ,底面半径是 2 5ｄｍ ,过它的顶点作一个截面 ,如果底面圆心到截面的距离图 1　例 1图是 12ｄｍ ,求这个截面面积 .解　如图 1,过圆锥的顶点Ｖ的截面是等腰三角形ＶＡＢ ,与底面圆交于弦ＡＢ .过Ｖ作ＶＯ⊥底面于Ｏ ,过Ｏ作ＯＤ⊥截面ＶＡＢ于Ｄ ,连ＶＤ且延长交ＡＢ于Ｅ .∵ＯＤ⊥平面ＶＡＢ ,ＶＯ是平面ＶＡＢ的斜线 ,ＶＤ是ＯＶ在截面ＶＡＢ上的射影 ,又ＶＯ⊥ＡＢ ,即ＡＢ⊥ＶＯ …     

NOTE ON A BOUNDARY VALUE PSOBLEM OF POISSON''''S EQUATION

ＮＯＴＥＯＮＡＢＯＵＮＤＡＲＹＶＡＬＵＥＰＳＯＢＬＥＭＯＦＰＯＩＳＳＯＮ＇ＳＥＱＵＡＴＩＯＮ￥ＦＥＮＧＣＨＡＯＫＥＮＧ；ＨＳＵＬＩＺＨＩ；ＡＮＤＹＵＨＯＮＧＱＵＡＮＡｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｎｏｔｅｓｈｏｗｓｔｈａｔｆｏｒａＢＶＰｏｆＰｏｉｓｓｏｎ＇...     

HOMOMORPHISMS BETWEEN CHEVALLEY GROUPS OF TYPES C_nAND G_2 OVER FINITE FIELDS

ＨＯＭＯＭＯＲＰＨＩＳＭＳＢＥＴＷＥＥＮＣＨＥＶＡＬＬＥＹＧＲＯＵＰＳＯＦＴＹＰＥＳＣｎＡＮＤＧ２ＯＶＥＲＦＩＮＩＴＥＦＩＥＬＤＳＺＨＡＪＩＡＮＧＵＯＭａｎｕｓｃｒｉｐｔｒｅｃｅｉｖｅｄＮｏｖｅｍｂｅｒ２，１９９４．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＡｐｐ...     

RECOGNIZING ESSENTIALLY DISCONNECTED BENZENOIDS WITH FIXED DOUBLE BONDS

ＲＥＣＯＧＮＩＺＩＮＧＥＳＳＥＮＴＩＡＬＬＹＤＩＳＣＯＮＮＥＣＴＥＤＢＥＮＺＥＮＯＩＤＳＷＩＴＨＦＩＸＥＤＤＯＵＢＬＥＢＯＮＤＳ￥ＬＩＮＫＥＲＯＮＧ；Ｓ．Ｊ．ＣＹＶＩＮ；Ｂ．Ｎ．ＣＹＶＩＮ；ＣＨＥＮＲＯＮＧＳＩ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａ...     

Reliability bounds in DFRA class with known mean and variance

ＲＥＬＩＡＢＩＬＩＴＹＢＯＵＮＤＳＩＮＤＦＲＡＣＬＡＳＳＷＩＴＨＫＮＯＷＮＭＥＡＮ　ＡＮＤ　ＶＡＲＩＡＮＣＥＣＨＥＮＧＫＡＮ（程侃）（ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ,ｔｈｅＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ,Ｂ...     

ADIABATIC INVARIANTS OF SLOWLY VARYING THREE－DIMENSIONAL SYSTEMS AND EXISTENCE OF INVARIANT TORI OF LOTKA－VOLTERRA EQUATION

ＡＤＩＡＢＡＴＩＣＩＮＶＡＲＩＡＮＴＳＯＦＳＬＯＷＬＹＶＡＲＹＩＮＧＴＨＲＥＥ－ＤＩＭＥＮＳＩＯＮＡＬＳＹＳＴＥＭＳＡＮＤＥＸＩＳＴＥＮＣＥＯＦＩＮＶＡＲＩＡＮＴＴＯＲＩＯＦＬＯＴＫＡ－ＶＯＬＴＥＲＲＡＥＱＵＡＴＩＯＮＬＩＪＩＢＩＮＺＨＡＯＸＩＡＯＨ...     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

NEWTON－KANTOROVICH ITERATION METHOD FOR SOLVING INVERSE PROBLEMS OF NONLINEAR PARABOLIC SYSTEMS

ＮＥＷＴＯＮ－ＫＡＮＴＯＲＯＶＩＣＨＩＴＥＲＡＴＩＯＮＭＥＴＨＯＤＦＯＲＳＯＬＶＩＮＧＩＮＶＥＲＳＥＰＲＯＢＬＥＭＳＯＦＮＯＮＬＩＮＥＡＲＰＡＲＡＢＯＬＩＣＳＹＳＴＥＭＳＹｕＷｅｎｈｕａｎ（喻文焕）（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｔ...     

等腰梯形的一个优美特性

如果称椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1与双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理　等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明　如图 ,设梯形ＡＢＣＤ的两腰与两条对角线分别相交于点Ｅ、Ｆ ,以ＥＦ中点为原点 ,ＥＦ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ与Ｂ、Ｃ与Ｄ均关于ｘ轴对称设经过点Ａ ,Ｅ ,Ｂ ,Ｆ的椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,Ａ (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ1 ,-ｙ1 ) ,由Ｆ(ａ ,0 ) ,Ｅ(-ａ ,0 )得直线ＢＤ、…     

Some results on domination number of products of graphs

ＳＯＭＥＲＥＳＵＬＴＳＯＮＤＯＭＩＮＡＴＩＯＮＮＵＭＢＥＲＯＦＰＲＯＤＵＣＴＳＯＦＧＲＡＰＨＳＳＨＡＮＥＲＦＡＮＧＳＵＮＬＩＡＮＧＡＮＤＫＡＮＧＬＩＹＩＮＧＡｂｓｔｒａｃｔ．ＬｅｔＧ＝（Ｖ,Ｅ）ｂｅａｓｉｍｐｌｅｇｒａｐｈ．ＡｓｕｂｓｅｔＤｏｆＶｉｓ...     

AN IMPROVEMENT OF A RESULT OF IVOCHKINA AND LADYZHENSKAYA ON A TYPE OF PARABOLIC MONGE-AMPèRE EQUATION

ＡＮＩＭＰＲＯＶＥＭＥＮＴＯＦＡＲＥＳＵＬＴＯＦＩＶＯＣＨＫＩＮＡＡＮＤＬＡＤＹＺＨＥＮＳＫＡＹＡＯＮＡＴＹＰＥＯＦＰＡＲＡＢＯＬＩＣＭＯＮＧＥ┐ＡＭＰＥＲＥＥＱＵＡＴＩＯＮＷＡＮＧＲＯＵＨＵＡＩ＊ＷＡＮＧＧＵＡＮＧＬＩ＊ＡｂｓｔｒａｃｔＭａｎｕｓｃ...     

圆锥曲线的一个性质

定理　设Ｐ为圆锥曲线Ｅ上的任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,ＰＡ ,ＰＢ为倾斜角互补的动弦 ,则(Ⅰ )直线ＡＢ与ｌ的倾斜角也互补 ;(Ⅱ )线段ＡＢ中点的轨迹是与原曲线具有相同离心率的圆锥曲线 (当原曲线为圆时 ,ＡＢ中点的轨迹亦是圆 ) .证明　①当圆锥曲线为椭圆、圆或双曲线时 ,不妨设其方程为ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 (其中ｍ >0 ,ｎ >0或ｍｍ <0 ) .又设Ｐ ,Ａ ,Ｂ的坐标分别为(ｘ0 ,ｙ0 ) ,(ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ＰＡ的斜率为ｋ.(Ⅰ )由 ｙ-ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 )ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 ,得(ｍ +ｎｋ2 )ｘ2 + 2ｎｋ(ｙ0 -ｋｘ0 )ｘ +ｎ(ｙ0 -ｋｘ0 …     

DYNAMICAL BEHAVIORS FOR A THREE－DIMENSIONAL DIFFERENTIAL EQUATION IN CHEMICAL SYSTEM

ＤＹＮＡＭＩＣＡＬＢＥＨＡＶＩＯＲＳＦＯＲＡＴＨＲＥＥ－ＤＩＭＥＮＳＩＯＮＡＬＤＩＦＦＥＲＥＮＴＩＡＬＥＱＵＡＴＩＯＮＩＮＣＨＥＭＩＣＡＬＳＹＳＴＥＭＬＩＮＹＩＰＩＮＧ（ＳｅｃｔｉｏｎｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＫｕｎｍｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴ...     

一个旋转体体积计算公式

定理 1　凸ｎ边形面积为ｓｎ,直线ｌ不与其相交 ,ｎ边形重心Ｇｎ,到ｌ的距离记为ｄｎ,那么该凸ｎ边形绕直线ｌ旋转一周 ,所得几何体的体积为 :Ｖｎ=2πｄｎｓｎ.图 1　定理 1图证　ｎ =3时 ,如图过△Ａ1Ａ2 Ａ3 的顶点Ａ1作直线ｌ的垂线为ｘ轴 ,直线ｌ为ｙ轴 ,建立直角坐标系 .并设Ａ1(ｘ1,0 ) ,Ａ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ａ3 (ｘ3 ,ｙ3 ) .又过Ａ2 ,Ａ3 分别作ｙ轴的垂线 ,这样△Ａ1Ａ2 Ａ3绕ｌ旋转 ,所成的几何体的体积是两个圆台体之和 ,再减去一个圆台的体积 .根据圆台体积计算公式 :Ｖ3 =π3·(ｙ3 -ｙ2 ) (ｘ23 ｘ22 ｘ3 ｘ2 ) π3·ｙ2 (…     

GLOBAL BEHAVIOUR OF THE SOLUTIONS OF A CLASS OF THREE－DIMENSIONSAL COMPETITIVE SYSTEM

ＧＬＯＢＡＬＢＥＨＡＶＩＯＵＲＯＦＴＨＥＳＯＬＵＴＩＯＮＳＯＦＡＣＬＡＳＳＯＦＴＨＲＥＥ－ＤＩＭＥＮＳＩＯＮＳＡＬＣＯＭＰＥＴＩＴＩＶＥＳＹＳＴＥＭＣｈｅｎｇＣｈｕｎＣｈｏｒＬｉｔｗｉｎ（ＨｏｎｇＫｏｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅＯｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ）Ａｂ...     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…     

二次曲线定比分点弦的存在定理

文 [1 ][2 ]分别给出了求二次曲线定比分点弦所在直线方程的消去法和较为简洁的解方程方法 ,本文就二次曲线定比分点弦存在区域作一探讨 ,以使这类问题进一步完善 .设定 :Ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 +2Ｄｘ+2Ｅｙ+Ｆ ,　φ(ｘ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 ,ｆ1 (ｘ,ｙ)=Ａｘ+Ｂｙ +Ｄ ,　ｆ2 (ｘ ,ｙ) =Ｂｘ+Ｃｙ +Ｅ ,Ｉ2 =Ａ　ＢＢ　Ｃ ,Ｉ3=Ａ　Ｂ　ＤＢ　Ｃ　ＥＤ　Ｅ　Ｆ.定理　过Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线交二次曲线Ｆ(ｘ ,ｙ) =0于Ｐ1 、Ｐ2 两点 ,点Ｐ分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ ,则Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )满足　Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) Ｉ2 Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) -…     

STABILITY OF A PARABOLIC FIXED POINT OF REVERSIBLE MAPPINGS

ＳＴＡＢＩＬＩＴＹＯＦＡＰＡＲＡＢＯＬＩＣＦＩＸＥＤＰＯＩＮＴＯＦＲＥＶＥＲＳＩＢＬＥＭＡＰＰＩＮＧＳ￥ＬＩＵＢＩＮ；ＹＯＵＪＩＡＮＧＯＮＧＡｂｓｔｒａｃｔ：ＫＡＭｔｈｅｏｒｅｍｏｆｒｅｖｅｒｓｉｂｌｅｓｙｓｔｅｍｉｓｕｓｅｄｔｏｐｒｏｖｉｄｅａｓｕ...