破译无理数

一、无理数不无理无理数,并不“无理”,它和有理数一样,都是现实世界的量的反映,“无理数”只是人们习惯采用的名称而已,它丝毫也不表示没有道理的意思．无理数和有理数一样,有无数多个．二、无理数的特征无理数是无限不循环小数．这说明无理     

学习实数要注意些什么?

实数是有理数和无理数的统称 .从有理数到实数实际是数的范围的扩充 ,学习有理数到无理数的过程 ,实质上是学习实数的过程 ,是从有限小数和无限循环小数扩充到无限不循环小数 (即无理数 )的过程 .因此在学习实数时要充分认识实数的真正含义及实数的一些非概念的因素 :1 .实数a的相反数是 -a,符号相反的两数的绝对值相等 ;注意不要忽略 0的相反数也在其中 .0虽然没有正负符号之分 ,但它仍然存在相反数 .因此 ,求实数的倒数时应除 0外 .2 .数轴上每一个点都表示一个实数 ;相反 ,任何一个实数都可以在数轴上找到一个点表示 (可以是有理数或无理…     

“有理数无理数问题”证明方法谈

在数学上,判断和证明一个实数是否为有理数,有时是很重要的。长期来,人们对两个重要无理数“π”和“e”的研究就是突出的例子,正由于此,国内外数學竞赛的命题者不时编拟出此方面的问题。本文,试就一些典型问题谈谈此类赛题的证明方法。一、根据定义判断和证明无限不循环小数叫做无理数:有限小数或无限循环小数是有理数。有理数总可以表示成既约分数P/q的形式,而无理数则不能。这些定义是判断和证明“有理数、无理数”问题的基础。     

为什么根号5是无理数：七年级学生的证明

1 引言 实数的概念是沪教版初中数学七上第12章第1节的内容,在这一节,学生第一次遇到无理数这一全新的概念.以往的教学实践表明,许多学生初学无理数概念之后,对有理数与无理数的本质区别依然不甚了解,甚至有学生将22/7看作无理数,√3/2看作有理数.要让学生真正接受无理数,深刻理解无理数与有理数的区别,就需要让学生看到一个无理数不是有理数的理由,而有关实证研究表明,“无限不循环小数”这一定义无助于学生对无理数的理解.对于“为什么√2不是有理数”,教科书在阅读材料中给出了证明,而教师在课堂上却很少运用这则材料.原因有三:一是因为与考试关系不大,教师和学生并不重视阅读材料;二是很多教师认为课堂上没有足够的时间;三是教师担心学生在证明的理解上存在困难. 上海延安初级中学七年级数学组在实施“培养学生数感”的教学活动中,专门设计了“√2的认识”一节课,教师在引入√2之后,用反证法对√2的无理性给予了证明:假设√2=詈,其中a、b为正整数,a≠0,且a与b互素,则有2=a2/b2,即a2=2b2.故a为2的倍数.设a=2m,且m为正整数,则有(2m)2=2b2,即b2=2m2.故b也是2的倍数.于是,a和b有公因数2,与a、b互素矛盾.因此,√2不能表示成詈的形式,即√2不是有理数.从历史上看,这个证明很可能是无理数的发现者西帕索斯本人给出的,也是数学史上反证法的第一个应用之例.     

利用实数的性质解竞赛题

本刊89年第二期“利用有理数≠无理数解题”,可以看作是“利用奇数≠偶数解题”的拓广.除此而外,还可利用实数的其它性质(比如整数≠既约分数;a~2<0与a相似文献   

对三个问题的思考——试答罗昕同学的问题

<正>贵刊2014年2月下,刊登了罗昕同学的有趣文章:《反证法是证明无理数的通用方法吗?》,值得人们思考.现就他提出的三个问题作些探讨,与朋友们交流,并请指正.大家都知道,在中学的教材中,关于实数集就分成两大类:有理数集与无理数集.人们都将有限小数与无限循环小数看作有理数,而将无限的循环小数看作无理数.这的确是个"好"办法,分类清楚明确,人人都懂.但是仔细想来,这个"好"办法也有许多困难,主要是两个无限小数无法定义加、减、乘、除运算,因为我们中学     

从图形中感受无理数

<正>槡同学们知道2^(1/2)、3(1/2)、3^(1/2)和5(1/2)和5^(1/2)-1/2都是无理数.把它们写成小数形式:2(1/2)-1/2都是无理数.把它们写成小数形式:2^(1/2)=1.41421356237309……,3(1/2)=1.41421356237309……,3^(1/2)=1.73205080756887……,5(1/2)=1.73205080756887……,5^(1/2)/2-1=0.6180339887498…….无理数是无限不循环小数.由于"看不到头",所以同学们在理解无理数时总感觉"雾里看花",下面我们从图形中感受一下这三个无理数的存在.     

关于中学数学教材中“规定”的思考

在中学数学七年级教材中 ,讲到同底数幂除法时 ,通常用 ( 1)am÷am =am -m =a0 (a≠ 0 )规定了a0 =1,把指数n由正整数推广到非负整数 ;(2 )规定a-p =1 ap(a≠ 0 ,p∈Z) ,把指数从非负整数推广到了所有整数 ,得到了整数指数幂的概念 ;在八年级教材实数的运算这一节中 ,又作了如下规定 :(3 )am n =nam(a≥ 0 ,m∈Z ,n∈Z )把指数推广到任意有理数 ;更在高一年级指数函数一节中 ,通过把无理数看成是有理数列的极限 ,把a(a>0 )的无理指数幂看成是以a为底的 ,以这一列有理数为指数而成的新的数列的极限 ,从而得到实数指数幂的概念 .学生在学习…     

怎样教好无理数北大核心

当你问一个初中生什么是无理数时,几乎都会脱口而出：“无理数就是无限不循环小数”,可是当你追问“什么是无限？”,“什么是不循环？”时,便显得一头雾水,同时还表现出对无理数理解的茫然,甚至反问：√2到底等于几？     

从聚点解开难点:极限与连续

<正> 全体实数体现了“有序无漏”。有序指二个实数必有一大一小。无漏指实数之间再无漏缺,不象有理数那样“漏洞百出”。每个实数能由十进位小数表示。有理数中有循环小数,循环部分有长有短,无理数绝非循环。实用计算中当然只能写到有限位。要无穷无尽在这一辈子那是不可能的。只能做到要准到小数点几位就能几位而又无限     

略談产生“忽視特例”的原因及防止的方法

(一) 解方程a~2x=0(a是实数)。解∵任何实数的平方为正数,∴x=0。 (二) 什么有理数与无理数的积是有理数? 答:因为一切有理数与无理数的积都是无理数。沒有一个有理数与无理数的积是有理数。中学生在邏輯思維方面有一个具有一定普遍性的缺陷:在研究多个对象組成的整体的性质时,常常把“很大部分是”和“常见的部分是”錯誤地当成了“都是”;或者把“很小部分是”和“常見部分不是”錯誤的断言为“不是”。上面两題的解答,正是这类錯誤的实例。这类錯誤,可名之曰:“忽視特例”。此处“特例”一詞,有双重意义,就数量言,它指个別对象的性貭;就接触情况言,它指很少接触的对象的性貭。分析一下学生“忽视特例”的原因,研究一下防止学生“忽视特例”的办法,在提高教学貭量,培养学生邏     

数学史上的三次危机

数学常常被人们认为是发展得最完善的一门学科 ,但数学的发展并不是那么一帆风顺 ,历史上曾发生过三次危机 ,危机的发生 ,预示着更新的创造和光明 ,促使了数学本身的发展 ,推进了科学发展的进程 .一、无理数的发现导致第一次危机在公元前 580～ 568年之间的古希腊 ,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派 ,这个学派集宗教、科学和哲学于一体 ,该学派人数固定 ,知识保密 ,所有发明创造都归于学派领袖 .当时人们对有理数的认识还很有限 ,对无理数更是一无所知 ,毕氏学派所说的数是指整数 ,他们不把分数看成一种数 ,而仅看作两个整数之比 ,他们…     

失代与极限

在数学发展史上,√2是一个非常重要的数;它是无理数,不能够精确地写成有限小数或循环小数的形式,即√2不能表示为两个整数的商的形式．在生活实践中,我们不一定需要精确值,在一定的误差范围内找到一个小数来近似代替√2就可以．例如：要安装玻璃、测量身高精确到毫米就可以了．     

代数数与超越数

从古至今,“数”的概念是逐漸扩充,逐漸认識的。例如,最早的人們由于生产力的低下而只有“一”、“二”及“多”三个概念。后来便由生产力进一步发展的需要而产生了“一”、“二”、“三”、“四”、……等正整数概念,并且有了文字符号的表达,其中比較流行的是經欧化了的阿拉伯字母所記載的写法“1”,“2”,“3”,“4”……等等。之后,由于負整数的引进而将0,±1,±2,±3,±4,……等所成的系統称为整数系統,每一个“数”叫‘整数”(負的、正的或零)。再进一步便由除法运算(除数不为零)产生了分数m/n(n(?)0),便有了所謂“有理数”的概念。进一步研究方程的根,例如象x~2-2=0的解,記成x=2~(1/2),便是一个非有理数的“数”,称为“无理数”。人們还从方程x~2+1=0的求解过程中引进了“虛数”i=-1~(1/2)(i~2=-1),并以实数a与b出发所作的一个新数a+bi称为“复数”。复数包括了实数(无理的及有理的),而实数包含了有理数,它又包含了整数(正的、負的及零)。这一个过程便是“数”的概念的扩张过程的具体情形。     

△~(1/2)的无理性的一个证明

现在我们来证明下面的结论 .设Δ是个正整数 ,若Δ不是整数 ,则Δ是个无理数 .证明　设 r<Δ 相似文献   

一个定理及其应用

定理若a,b是有理数,m是无理数,且a+bm=0,则a=b=0. 证明(用反证法) (1)若6≠0,则m=-a/b,这个等式左边是一个无理数,而右边是一个有理数,显然错误,故b=0. (2)若a≠0,而已证b=0,则有a+bm=a=0,这与假设a≠0矛盾,所以a=0. 综合(1)与(2)知道:一定有a=b=0. 推论若a,b,C,d都是有理数,m是无理数,且a     

简易逻辑中的“p或q”

在高一数学新教材中引进了简易逻辑这一节,许多同学对“p或q”这张真值表提出了质疑. 质疑1 p:1是有理数;q;1是无理数.这里p真q假,按照真值表:“p或q”为真,可“p或q;1是有理数或1是无理数”是真命题确实让人费解. 质疑2 p:同一平面内不重合的两直线平行;q:同一平面内不重合的两直线相交.这里p假q假,按照真值表:“p或q”为假,可“p或q:同一平面内不重合的两直线平行或相交”     

漫谈两个著名的超越数

一、什么是超越数1744年,瑞士数学家欧拉首先提出超越数的概念并给出了它的定义;1794年,法国数学家勒让德猜测π可能不是有理数方程的根。这就导致超越数从无理数中分裂出来:凡是能满足某个整数系数代数方程的实数叫代数数,如2~(1/2),-3;不是代数数的实数叫超越数,如π,e。超越数必然是无理数,但无理数不一定是超越数。法国数学家刘维尔1844年在一篇论文中首先证明了超越数的存在。     

“有理数”“无理数”译名小议

“有理数”、“无理数”,这两个数学名词,好像是和我们朝夕相处的老友一样,经常在数学书刊上露面。 可是,老友的名称,却让我们叫歪了。 原来,有理数译自rational number。ratio译成“比”是正确的。rational是ratio的形容词形式。这样,如把rational number译成“比数”,比较妥当。     

2~(1/2)是无理数的另一个简捷证明

<正>有许多方法可以证得2^(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2^(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2^(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2^(1/2)是有理数,那么它必然可以写成两个整数的比的形式,对分子分母约分,一定可