对《判别式法求值域要注意的问题》一文的订正

《中学生数学》2003年5月上发表的《判别式法求值域要注意的问题》一文中给出如下结论: 把y=a1x2 b1x c1/a2x2 b2x c2(a1a2≠0)看作关于x的方程,记为③, 把y(a2x2 b2x c2)=a1x2 b1x c1看     

用判别式法求一类分式函数的值域应该注意的问题

对形如,一少了牛黔绍(。。,。)的分式函数 “义.月卜口X卞‘般用判别式法求其值域.具体作法是,由~少, 。 .l a义1 b劣 e(1) 去分母得 夕(a、: b二 c)=d、2 e二 f(2)再整理为关于,的方程: (ay一d)二, (by一e)二 气ey一f)=o(3) ,.’x〔R, :.刁=(b夕一。),一4(。y一d)(。少一f)>。(4)又整理为关于夕的不等式: (乙,一4ae)少: 2(Zaf Zed一6e)少 eZ一4df 》〕·(5) 最后解此关于夕的不等式就得到y的取值范围. 然而,不等式(5)的解集是否恰为函数式(l)的值域还需考虑. 若记(z)、(2)、(s)、(4)、(5)这五个式子中的y的取值范围分别是集Yl、Y:、犷:…     

用判别式法求值域的注意事项

在求函数y=(x~2 3x 2)/(-2x~2 x 3)的值域时,同学们大都将函数转化为关于x的二次方程,用判别式法求函数的值域．解答如下:     

用“判别式法”求值域有误区

在学习二次函数的过程中,经常会碰到求函数值域的问题．当给出的函数解析式可化为一个一元二次方程时,我们就可以借助“判别式”来求函数的值域．但在某些特殊情况时,同学们往往由于考虑欠周密而出错．下面简要分析几点．     

一类分式函数避免使用判别式法求值域的技巧

求 ｆ(ｘ) =ａ2 ｘ2 ｂ2 ｘ ｃ2ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1型函数的值域 ,是函数学习中的一个难点 ,解题时一般使用判别式法 ,但是 ,判别式法计算较繁 ,容易出错 ,因此 ,笔者认为 ,在能避免使用判别式法解答时 ,应尽量避免使用 .下面介绍可避免使用判别式法的三种情形 .情形 1　分子分母系数满足 ａ2ａ1=ｂ2ｂ1≠ ｃ2ｃ1.此时 ,所求函数可化为 ｆ(ｘ) =ｆａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1 ｅ的形式 ,只需用配方法求出 ｇ(ｘ) =ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1的值域 ,就可求得原函数的值域 .例 1　求函数 ｆ(ｘ) =2ｘ2 2ｘ 3ｘ2 ｘ 1的值域 .解　∵ ｆ(ｘ) =1ｘ2 ｘ…     

对判别式法求二次分式函数值域的思考

众所周知,判别式方法适用于形如y=a₁x²+b₁x+c₁/a₂x²+b₂x+c₂（a₁²+a₂²≠0）①,定义域为全体实数或者缺失个别点的"几乎全体实数".若定义域为全体实数R,则将分式函数①转化为y（a₂x²+b₂x十c₂）=a₁x²+b₁x+c₁②,这个转化是等价转化,判别式法可以大胆使用,无需顾忌.但是,若定义域为缺失个别点的"几乎全体实数",则①转化为②就不是等价变形,需要考虑y可能的增根,否则易产生错误.1对值域产生增根的探究     

用判别式法求函数值域的几点思考

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃｄｘ2 ｅｘ ｆ(其中ａ2 ｄ2 ≠0 )的有理分式函数一般可转化为关于ｘ的一元二次方程 (ｄｙ -ａ)ｘ2 (ｅｙ -ｂ)ｘ (ｆｙ-ｃ) =0 (以下简称方程※ ,其中将 ｙ看作方程的系数 ) ,由方程有实根的条件Δ≥ 0来求函数值域的方法叫做“判别式法” .在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -ｘｘ2 -ｘ 1 的值域 .解　函数式变形为(ｙ - 1 )ｘ2 (1 - ｙ)ｘ ｙ =0 (1 )当 ｙ =1时 ,方程 (1 )为 1 =0 ,这显然不成立 ,因此 ｙ =1不在函数值域中 :当 ｙ≠ 1时 ,∵ｘ∈Ｒ …     

判别式法求最值辨析

判别式法是中学数学求函数最值的常用方法之一。本文对这一方法的有关理论,应用范围及注意事项作一探讨。例1 求二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)的最值。解原函数式变形为ax~2 bx c-y=0∵ x∈R,∴Δ=b~2=4a(c-y)≥0,即 4ay≥4ac-b~2。当a>0时,有y≥(4ac-b~2)/(4a),此时函数有最小值(4ac-b~2)/(4a)。当a<0时,有y≤(4ac-b~2)/(4a)。此时函数有最大值(4ac-b~2)/(4a)。由本例可以看出,欲用判别式法求函数最值,应首先将原函数式变形为一个一元二次方程。这个方程中系数或常数项含有因变     

利用判别式求函数值域的探讨

利用一元二次方程的判别式求某些函数值域和极值的方法,由于求解过程中采用了某些变形等缘故,往往使函数值的范围发生变化,这就导致此法的不可靠性。本文想就这个问题作一些讨论。 (一) 若函数y=f(x)由下面隐函数形式给出: a(y)·x~2+b(y)·x+c(y)=0 (1)此时可把方程(1)看作x的二次方程。因为x应取实数值,也即方程(1)应有实数根,所以其判别式△=[b(y)]~2-4·a(y)·C(y)≥0 (2)解不等式(2)所得到的y值范围(我们用集合M来表示)有可能是函数y=f(x)的值域。但M是否为函数y=f(x)的值域还应分别不同情况加以讨论: 1.若对于任意的y∈M,有a(y)(?)0,由一元二次方程根的判别式可知,方程(1)有实根与(2)是互为充要的条件,所以y=f(x)的值域为M。     

求二次函数值域应注意自变量的变化范围

有很多函数的值域问题或最大最小值问题可转为二次函数来讨论,而二次函数的值域问题一般有两类:一类是在全体实数范围内的值域,一类是在某一闭区间上的值域.对于后者,有的题目中闭区间没有明确告之,而是隐含在题目的条件内.如果不能充分挖掘题目的隐含条件,往往会影响结果的正确性.     

求无理函数值域的通法——导数法

<正>无理函数值域问题是高中数学的重点、难点,同时也是各种考试的宠儿.纷繁复杂的试题让许多学生感到非常头疼,也让老师在教学中不知所措.查阅文献,大多作者对于该类问题多是采用换元、构造等一些技巧性非常强的方法.乍看这些解法甚是精美,细想一下,作为具有较高的知识水平和多年的教学经验的老     

求无理函数值域的通法--导数法

无理函数值域问题是高中数学的重点、难点,同时也是各种考试的宠儿．纷繁复杂的试题让许多学生感到非常头疼,也让老师在教学中不知所措．查阅文献,大多作者对于该类问题多是采用换元、构造等一些技巧性非常强的方法．乍看这些解法甚是精美,细想一下,作为具有较高的知识水平和多年的教学经验的老师,用这样的方法是家常便饭．可是,     

利用图象法求一类函数的值域

设m、n都是不等于零的常数,函数 y=m·u(x) n·v(x) (Ⅰ)的定义域是A,并且对于任何x∈A,恒有〔u(x)〕~2 〔v(x)〕~2=1 (Ⅱ) 这是一类常见的一元函数,只是在具体问题中,我们接触到形如(Ⅰ)的函数时,它所满足的约束条件(Ⅱ)往往是隐含条件,需要细心去发掘罢了。本文通过若干例题,谈谈如何利用图象法探求这类函数的值域。由解析几何易知,下列引理成立: 引理1 在直角生标系中,斜率为k的直线若经过点(a,b),则这直线在纵轴上的截距等于b-ka。引理2 在直角坐标系中,斜率为k的直     

关于用“判别式法”求二次曲线切线的可靠性问题

(一) 众所周知,中学数学里,在没有介绍极限方法之前,对于“求经过T(x_0,y_0)点的二次曲线F(x,y)=0的切线”一类问题,一般采用下面的步骤: 1.设所求切线的斜率为K,则切线方程为 y-y_0=K(x-x_0) 2.将上述直线方程代入已知二次曲线方程F(x,y)=0中,可得含参数K(待定)的关于x的二次方程     

用“判别式法”求极值辨析

求二次函数型的极值常可运用“判别式法”(以下简称“△法”)。但运用“△法”求极值可能产生增解或失解,学生在解题时常常忽略这个问题而出现一些错误,下面略举几例说明: 例1 求函数y=2-(4/x)-3x的极值(x>0) 错解函数可变形为3x~2+(y-2)x+4=0 (1) ∵x∈R ∴△=(y-2)~2-4·3·4≥0 解之得 y≤2-(4(3)~(1/2))或y≥2+4(4)3~(1/2)。简析:y极小=2+4(3)~(1/2)了就是用“△法”产生不符合题意的答案,事实上,当y=2+4(3)~(1/2)时,方程(1)化为3x~2+4(3)~(1/2)x+4=0(3~(1/2)x+2)~2x=-(2(3)~(1/2))/3<0。     

应用判别式解题应注意的问题

判别式在解题中有广泛应用。许多问题都能用它获得简捷、巧妙的解答。但是,在应用时必须谨慎。否则常常产生各种各样的错误。例1 (90年上海高三竞赛题)36sin(3πx)=36x~2-12x+37,则x=——。误解原方程变为36x~2-12x十[37-36sin(3πx)]=0 ①∵ x∈R, ∴方程①的判别式△=(-12)~2-4·36·[37-36sin(3πx)]≥0,即sin(3πx)≥1,又∵ sin(3πx)≤1。∴ sin(3πx)=1,3πx=2kπ+π/2故 x=2k/3十1/6(k∈Z)分析:方程①不是关于x的二次方程,而     

由值域求定义域的问题值得商榷

不少的参考书及杂志上出现了如下的题目 :已知函数 ｙ =4 ｘ- 3·2 ｘ 3的值域为 [1,7],则它的定义域是 (　　 )(Ａ) [- 1,1]∪ [2 ,4 ].　　 (Ｂ) [2 ,4 ].(Ｃ) (-∞ ,0 )∪ [1,2 ]. (Ｄ) (1,2 ) .其所谓的正确解答过程为 :解　由题设得4 ｘ- 3·2 ｘ 3≤ 7,4 ｘ- 3·2 ｘ 3≥ 1 4 ｘ- 3·2 ｘ- 4≤ 04 ｘ- 3·2 ｘ 2≥ 0 - 1≤ 2 ｘ≤ 42 ｘ≥ 2或 2 ｘ≤ 1 - 1≤ 2 ｘ≤ 1或 2≤ 2 ｘ≤ 4 ｘ≤ 0或 1≤ｘ≤ 2 .故函数定义域为 :(-∞ ,0 ]∪ [1,2 ].但我们很容易验证 ,当该函数的定义域为 [1,2 ]时 ,函数的值域也是 [1,7],可见 ,本题…     

“反函数法求值域定理”的修正

“反函数法求值域定理”的修正沈建根（浙江省嘉兴农业中专学校３ｌａ０００）本刊１９９５年第５期上发表的《关于反函数的一个问题》一文，针对相当一个时期来中学数学教学中普遍采用的“由反函数求值域法”存在的问题进行了分析，并给出文中的定理２，对“反函数求值域...     

"几何法"求分式型函数的值域

有些分式型函数的值域,利用单纯的代数或三角方法不易求出,我们可考虑用几何法,把函数的值域问题转化为直线斜率(或截距)的范围问题,结合图形解答,简单直观.下面举例说明.