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《阿凡提的故事》里有一则极为有趣的数学传说。其大意是:有人对一条由七个环连成的金链,在限定只许断开其中一环的情况下,要阿凡提每天必须且仅许取走一个金环,七天取完。聪明的阿凡提,设计了如下的巧取方案。 相似文献
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郭育红 《纯粹数学与应用数学》2016,32(5):441-447
考虑了正整数n的有序分拆中,分部量1有两种形式的情形,发现正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数等于第2n+1个Fiboacci数F2n+1.进一步得到了一个涉及正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数与正整数的n-color有序分拆数之间的一个恒等式.并且给出了正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数的一个显式计数公式. 相似文献
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将一个正整数n分成若干个正整数之和的一种分法,在数论中称为n的一种分拆。例如,4的分拆有以下五种: 4=4 4=3+1 4=2+2 4=2+1+1 4=1+1+1+1。分拆是数论、组合论等数学分支中颇具兴味和发人深思的重要内容之一。它在图论、概率论中也都有广泛的应用。1984年上海市中学生数学竞赛时,第一试的一个题目(填充题)是: “将19分成若干个正整数之和,其积最大为 相似文献
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利用正整数n的一类特殊的3分拆n=n1+n2+n3,n1>n2>n3≥1,且n2+n3>n1的Ferrers图将不定方程4x1+3x2+2x3=n(n≥9)的正整数解与这种分拆联系起来,从而得到了该不定方程的正整数解数公式;同时也给出了正整数n的一类4分拆的计数公式.此外,还给出了周长为n的整边三角形的计数公式的一个简单证明. 相似文献
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关于正整数奇偶分拆数的计算问题 总被引:1,自引:0,他引:1
正整数n的分拆是指将正整数n表示成一个或多个正整数的无序和,设O(n,m)表示将正整数n分拆成m个奇数之和的分拆数;e(n,m)表示将正整数n分拆成m个偶数之和的分拆数.本文用初等方法给出了将O(n,m),e(n,m)分别化为有限个O(n,2),e(n,2)的和的计算公式,进而达到计算O(n,m),e(n,m)的值.同时,还讨论了将正整数n分拆成互不相同的奇数或偶数的分拆数的相应的递推计算方法. 相似文献
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首先,给出了偶数2v的自反的n-color有序分拆与v+1,v-1的n-color有序分拆之间的一个组合双射,并利用相应的计数公式得到了一个组合恒等式.其次,给出了正整数自反的n-color有序分拆数与Fibonacci数、Lucas数之间的一个关系式,并利用此关系式给出了偶数与奇数的自反的n-color有序分拆之间的一个组合双射.最后,给出了一些涉及正整数v的自反的n-color有序分拆数与其它有约束条件的有序分拆数之间的分拆恒等式. 相似文献
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有关本栏目的稿件 ,请直接寄给熊斌 (2 0 0 0 6 2 ,华东师范大学数学系 E -mail:xiongbin @sh16 3.con) ,或冯志刚 (2 0 0 2 31,上海市上海中学 E -mail:zhgfeng @online .sh .cn) .提供试题及解答请尽量注明出处 .本期给出由上海中学冯志刚提供的 2 0 0 3第 6 4届普特兰大学数学竞赛部分初等数学问题选解 . 第 6 4届普特兰数学竞赛 (初等部分 )2 0 0 3年 1 2月 6日A1 设n是给定的正整数 .有多少种方式将n表示为下述形式的正整数之和 ?n =a1+a2 +… +ak.其中k为任意正整数 ,且a1≤a2 ≤…≤ak≤a1+1.例如 :当n =4时 ,有 4种表示方式… 相似文献
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我叫智慧数 ,是正整数王国的一个组成部分 .我的特征是能表示为两个不同正整数的平方差 ,比如 2 4=72 -5 2 ,2 4就是一个智慧数 .细心、好奇的同学通过观察运算会发现 ,我在正整数王国里出现是很有规律的 .1是最小的正整数 ,它不能表示为两个不同正整数的平方差 ,所以 1不是智慧数 .对于大于 1的奇正整数 2k + 1 ,有 2k+ 1 =(k+ 1 ) 2 -k2 (k =1 ,2 ,… ) ,所以大于 1的奇正整数都是我的家庭成员 .被 4整除的偶数 4k,总有 4k =(k+ 1 ) 2 -(k-1 ) 2 (k=2 ,3,4,… ) ,即大于4且是 4的整数倍的数都是智慧数 ,而 4不能表示为两个不同… 相似文献
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题目 :(第四届美国数学邀请赛试题 )递增数列 1 ,3,4 ,9,1 0 ,1 2 ,1 3,…由一些正整数组成 ,它们或者是 3的幂 ,或者是若干个不同的 3的幂之和 ,此数列的第 1 0 0项为( ) .( A) 72 9 ( B) 972 ( C) 2 4 3 ( D) 981解 可把问题看作从 1 ,3,32 ,… ,3n中任取一个或几个的和组成 (不可重复 ) ,即对于任一个 3的幂 ,只存在取与不取两种情况 .∴ 可把这种情况看成 1个 2进制数 ,其中 1表示取其对应的 3的幂 ,0表示不取 .∵ 这样可把二进制数的大小与这一递增数列一一对应起来 .二进制 110 1110 0 10 1110数 列 134910 12二进制… 相似文献
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白益雪 《数学的实践与认识》2012,42(20)
对任意正整数n,我们定义数列主要目的是利用初等及组合方法研究N~2的数字和的计算问题,并给出一个有趣的计算公式.即就是证明了当n=9k+i时,N~2的数字和为M(N~2)=81k+i~2,其中k为非负整数,1≤i≤9.作为应用,容易回答2012年匈牙利数学竞赛中提出的这样一个问题:问自然数、的表示式中第73项的数字是多少?不难推出的第73项的数字是0,第74项是2,第75项是3等等. 相似文献
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单位分数的一个猜想的简证 总被引:1,自引:1,他引:0
分子为 1的分数称为单位分数 .文 [1 ]用初等方法证明了一个猜想 :猜想 1 设 0 <m <n ,(m ,n) =1 ,n为奇数 ,则存在k个不同奇数x1,x2 ,… ,xk,满足mn =1x1+1x2 +… +1xk文 [1 ]的证明用到如下结果 :定理 1 945以内的正整数 (2除外 )均可表示为 945的不同约数之和 ,且表示法中最小约数能为 1 ,3 ,5 ,7四者之一 .定理 2 设正整数a≥ 3 ,则任何小于 3 a·5 ·7的正整数 (2除外 )均可表示为 3 a·5 · 7的不同约数之和 ,且表示法中最小约数能为 1 ,3 ,5 ,7四者之一 .文[1 ]中两个定理的证明非常复杂 ,特别是定理 1对 945… 相似文献
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有一个关于高利贷的故事 :商人向财主借钱 ,条件是每借 1元到一年时归还 2元 ,即年利率为10 0 % .财主想如果每半年结一次账 ,利息岂不更多 ?因为半年的利率是 5 0 % ,即借一元到半年时还 1.5元 ,又把 1.5元作为本金借给商人 ,再过半年 ,即到了年底 ,又收利益 1.5× 5 0 % =0 .75 (元 ) .这样 ,一年利息是 1.2 5元 ,比原来的 1元利息多了 0 .2 5元 .半年结算一次 ,即一年结算两次 ,用算式表示 ,1元钱到一年时归还 1+ 122 =2 .2 5 (元 ) .财主马上又想 ,如果一年结算 3次 ,4次 ,… ,36 5次 ,甚至随时结算 ,它不发了大财 ,他便让账房先生算一… 相似文献
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题目一试确定,对于怎样的正整数a,方程5x2-4(a+3)x+a2-29=0有正整数解?并求出方程的所有正整数解.解把原方程化为关于a的一元二次方程,得a2-4ax+(5x2-12x-29)=0.由于a是正整数,故Δ=-4x2+48x+116≥0,且是一个完全平方数,解得:6-65<1≤x≤14< 相似文献
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皮亚诺公理的第 5条性质 :任意一个正整数集合 ,如果包含 1 ,并且假设包含x ,也一定包含它的后继x + 1 ,那么这个集合包含所有的正整数 .这条性质就是数学归纳法的依据 ,通常称为数学归纳法原理 .这一原理可以用数学符号来表示 :数学归纳法原理 :如果S是正整数集合N+的一个子集 ,且满足 :① 1∈S ; ②若k∈S ,则k + 1∈S ,那么S =N+.根据数学归纳法原理 ,可以得到数学归纳法 :设 p(n)是一列与正整数有关的数学命题 ,如果满足 :①p(n)当n =n0 (n0 是使 p(n)正确的最小正整数 )时正确 ,即 p(n0 )正确 ;②在假设 p(k) (k≥n0 ,k∈N+)正… 相似文献
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高中《代数》下册 195页有这样一道证明题 :设ω =- 12 + 32 i,求证 :1) 1+ω +ω2 =0 ;2 )ω3 =1.其实虚数ω还可以取 - 12 - 32 i,并且 ,对于ω的两个不同取值 ,都满足下列结论① 1+ω +ω2 =0 .②ω3 =1.③ω2 =ω .④ω3 =1.⑤ω2 =ω .⑥ 1ω=ω(ω表示ω的共轭复数 ) .利用这些结论解与ω相关的问题 ,可以简化运算 ,收到意想不到的效果 .例 1 如果虚数z满足z3 =8,那么z3 +z2 + 2z+ 2的值是多少 ?解 ∵z为虚数且z3 =8,根据结论②可设z =2ω ,从而z3 +z2 + 2z+ 2 =8+ 4ω2 + 4ω + 2=8+ 4(ω2 +ω + 1) - 2=8+ 4× 0 - 2… 相似文献
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在教学过程中,我遇到了这样一个问题:
问题0 已知以a为首项的数列{an}满足:an+1={an-3,an>3 2an,an≤2,其中n∈N*.求正整数a,k的值,使得等式an+k=an对任意正整数n都成立.
本问题的实质是探求该数列的周期性,其中的条件"a∈N*"深深吸引了我,如果a可以取其他的实数值,该数列周期性的结论是怎样的呢? 相似文献