“阿凡提巧取金环”趣探

《阿凡提的故事》里有一则极为有趣的数学传说。其大意是:有人对一条由七个环连成的金链,在限定只许断开其中一环的情况下,要阿凡提每天必须且仅许取走一个金环,七天取完。聪明的阿凡提,设计了如下的巧取方案。     

关于两类color有序分拆的一个恒等式

考虑了正整数n的有序分拆中,分部量1有两种形式的情形,发现正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数等于第2n+1个Fiboacci数F2n+1.进一步得到了一个涉及正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数与正整数的n-color有序分拆数之间的一个恒等式.并且给出了正整数n的分部量1有两种形式的有序分拆数的一个显式计数公式.     

介绍一个最大“分拆积”公式

将一个正整数n分成若干个正整数之和的一种分法,在数论中称为n的一种分拆。例如,4的分拆有以下五种: 4=4 4=3+1 4=2+2 4=2+1+1 4=1+1+1+1。分拆是数论、组合论等数学分支中颇具兴味和发人深思的重要内容之一。它在图论、概率论中也都有广泛的应用。1984年上海市中学生数学竞赛时,第一试的一个题目(填充题)是: “将19分成若干个正整数之和,其积最大为     

正整数的一类三分拆的应用

利用正整数n的一类特殊的3分拆n=n1+n2+n3,n1>n2>n3≥1,且n2+n3>n1的Ferrers图将不定方程4x1+3x2+2x3=n(n≥9)的正整数解与这种分拆联系起来,从而得到了该不定方程的正整数解数公式;同时也给出了正整数n的一类4分拆的计数公式.此外,还给出了周长为n的整边三角形的计数公式的一个简单证明.     

关于正整数奇偶分拆数的计算问题

正整数n的分拆是指将正整数n表示成一个或多个正整数的无序和,设O(n,m)表示将正整数n分拆成m个奇数之和的分拆数;e(n,m)表示将正整数n分拆成m个偶数之和的分拆数.本文用初等方法给出了将O(n,m),e(n,m)分别化为有限个O(n,2),e(n,2)的和的计算公式,进而达到计算O(n,m),e(n,m)的值.同时,还讨论了将正整数n分拆成互不相同的奇数或偶数的分拆数的相应的递推计算方法.     

与自反的n-color有序分拆相关的一些恒等式

首先,给出了偶数2v的自反的n-color有序分拆与v+1,v-1的n-color有序分拆之间的一个组合双射,并利用相应的计数公式得到了一个组合恒等式.其次,给出了正整数自反的n-color有序分拆数与Fibonacci数、Lucas数之间的一个关系式,并利用此关系式给出了偶数与奇数的自反的n-color有序分拆之间的一个组合双射.最后,给出了一些涉及正整数v的自反的n-color有序分拆数与其它有约束条件的有序分拆数之间的分拆恒等式.     

数学竞赛之窗

有关本栏目的稿件 ,请直接寄给熊斌 (2 0 0 0 6 2 ,华东师范大学数学系　E -mail:xiongbin @sh16 3.con) ,或冯志刚 (2 0 0 2 31,上海市上海中学　E -mail:zhgfeng @online .sh .cn) .提供试题及解答请尽量注明出处 .本期给出由上海中学冯志刚提供的 2 0 0 3第 6 4届普特兰大学数学竞赛部分初等数学问题选解 .　　第 6 4届普特兰数学竞赛 (初等部分 )2 0 0 3年 1 2月 6日A1　设n是给定的正整数 .有多少种方式将n表示为下述形式的正整数之和 ?n =a1+a2 +… +ak.其中k为任意正整数 ,且a1≤a2 ≤…≤ak≤a1+1.例如 :当n =4时 ,有 4种表示方式…     

“智慧数”的自白

我叫智慧数 ,是正整数王国的一个组成部分 .我的特征是能表示为两个不同正整数的平方差 ,比如 2 4=72 -5 2 ,2 4就是一个智慧数 .细心、好奇的同学通过观察运算会发现 ,我在正整数王国里出现是很有规律的 .1是最小的正整数 ,它不能表示为两个不同正整数的平方差 ,所以 1不是智慧数 .对于大于 1的奇正整数 2ｋ + 1 ,有 2ｋ+ 1 =(ｋ+ 1 ) 2 -ｋ2 (ｋ =1 ,2 ,… ) ,所以大于 1的奇正整数都是我的家庭成员 .被 4整除的偶数 4ｋ,总有 4ｋ =(ｋ+ 1 ) 2 -(ｋ-1 ) 2 (ｋ=2 ,3,4,… ) ,即大于4且是 4的整数倍的数都是智慧数 ,而 4不能表示为两个不同…     

用二进位制巧解一道竞赛题

题目 :(第四届美国数学邀请赛试题 )递增数列 1 ,3,4 ,9,1 0 ,1 2 ,1 3,…由一些正整数组成 ,它们或者是 3的幂 ,或者是若干个不同的 3的幂之和 ,此数列的第 1 0 0项为(　　 ) .( A) 72 9　 ( B) 972　 ( C) 2 4 3　 ( D) 981解　可把问题看作从 1 ,3,32 ,… ,3n中任取一个或几个的和组成 (不可重复 ) ,即对于任一个 3的幂 ,只存在取与不取两种情况 .∴　可把这种情况看成 1个 2进制数 ,其中 1表示取其对应的 3的幂 ,0表示不取 .∵　这样可把二进制数的大小与这一递增数列一一对应起来 .二进制 110 1110 0 10 1110数　列 134910 12二进制…     

n~3探索

<正>1.观察1=1³①3+5=23①3+5=2³②7+9+11=33②7+9+11=3³③13+15+17+19=43③13+15+17+19=4³④21+23+25+27+29=53④21+23+25+27+29=5³⑤ 2.发现以上各式等号左边均为连续奇数的和,且奇数的个数(项)与右边三次幂的底数相同.3.猜想命题(Ⅰ)任何一个正整数n的立方都可表为n个连续奇数的和.     

漫画趣题

第一题从前有一个财主,他特别贪心.有一次,他拿出一条银链子(注意,不是环形的链子,两头不相接),对雇工说:“我这条银链子共7个环,你给我做一周的工,每天给你一个银环.不过,这里有一个条件,你只能断开其中的一个银环.如果你做不到,我就不付你工钱啦!”雇工做了一周的工,居然把7个银环都拿走了。你知道雇工是怎样取走银环的吗?     

幂次为2,3和4的整变量非线性型的整数部分

假设λ_1,λ_2,λ_2,λ_4是正实数,λ_i/λ_j(1≤ij≤4)至少有一个是无理数.那穇,对于正整数x_1,x_2,x_3,x_4,λ_1x_1~2+λ_2x_2~3+λ_3x_3~4+λ_4x_4~4的整数部分可表示无穷多素数.这个证明极大改进了以前的结果.     

一些特殊数列数字和的计算问题

对任意正整数n,我们定义数列主要目的是利用初等及组合方法研究N~2的数字和的计算问题,并给出一个有趣的计算公式.即就是证明了当n=9k+i时,N~2的数字和为M(N~2)=81k+i~2,其中k为非负整数,1≤i≤9.作为应用,容易回答2012年匈牙利数学竞赛中提出的这样一个问题:问自然数、的表示式中第73项的数字是多少?不难推出的第73项的数字是0,第74项是2,第75项是3等等.     

单位分数的一个猜想的简证

分子为 1的分数称为单位分数 .文 [1 ]用初等方法证明了一个猜想 :猜想 1　设 0 <ｍ <ｎ ,(ｍ ,ｎ) =1 ,ｎ为奇数 ,则存在ｋ个不同奇数ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｋ,满足ｍｎ =1ｘ1+1ｘ2 +… +1ｘｋ文 [1 ]的证明用到如下结果 :定理 1　 945以内的正整数 (2除外 )均可表示为 945的不同约数之和 ,且表示法中最小约数能为 1 ,3 ,5 ,7四者之一 .定理 2　设正整数ａ≥ 3 ,则任何小于 3 ａ·5 ·7的正整数 (2除外 )均可表示为 3 ａ·5 · 7的不同约数之和 ,且表示法中最小约数能为 1 ,3 ,5 ,7四者之一 .文[1 ]中两个定理的证明非常复杂 ,特别是定理 1对 945…     

趣谈无理数e

有一个关于高利贷的故事 :商人向财主借钱 ,条件是每借 1元到一年时归还 2元 ,即年利率为10 0 % .财主想如果每半年结一次账 ,利息岂不更多 ?因为半年的利率是 5 0 % ,即借一元到半年时还 1.5元 ,又把 1.5元作为本金借给商人 ,再过半年 ,即到了年底 ,又收利益 1.5× 5 0 % =0 .75 (元 ) .这样 ,一年利息是 1.2 5元 ,比原来的 1元利息多了 0 .2 5元 .半年结算一次 ,即一年结算两次 ,用算式表示 ,1元钱到一年时归还 1+ 122 =2 .2 5 (元 ) .财主马上又想 ,如果一年结算 3次 ,4次 ,… ,36 5次 ,甚至随时结算 ,它不发了大财 ,他便让账房先生算一…     

用判别式解2011年全国联赛初赛题(江西)

题目一试确定,对于怎样的正整数a,方程5x2-4(a+3)x+a2-29=0有正整数解?并求出方程的所有正整数解.解把原方程化为关于a的一元二次方程,得a2-4ax+(5x2-12x-29)=0.由于a是正整数,故Δ=-4x2+48x+116≥0,且是一个完全平方数,解得:6-65<1≤x≤14<     

浅议数学归纳法及教学中易出现的问题

皮亚诺公理的第 5条性质 :任意一个正整数集合 ,如果包含 1 ,并且假设包含x ,也一定包含它的后继x + 1 ,那么这个集合包含所有的正整数 .这条性质就是数学归纳法的依据 ,通常称为数学归纳法原理 .这一原理可以用数学符号来表示 :数学归纳法原理 :如果S是正整数集合N+的一个子集 ,且满足 :① 1∈S ;　　②若k∈S ,则k + 1∈S ,那么S =N+.根据数学归纳法原理 ,可以得到数学归纳法 :设 p(n)是一列与正整数有关的数学命题 ,如果满足 :①p(n)当n =n0 (n0 是使 p(n)正确的最小正整数 )时正确 ,即 p(n0 )正确 ;②在假设 p(k) (k≥n0 ,k∈N+)正…     

3次单位根的性质及应用

高中《代数》下册 195页有这样一道证明题 :设ω =- 12 + 32 ｉ,求证 :1) 1+ω +ω2 =0 ;2 )ω3 =1.其实虚数ω还可以取 - 12 - 32 ｉ,并且 ,对于ω的两个不同取值 ,都满足下列结论① 1+ω +ω2 =0 .②ω3 =1.③ω2 =ω .④ω3 =1.⑤ω2 =ω .⑥ 1ω=ω(ω表示ω的共轭复数 ) .利用这些结论解与ω相关的问题 ,可以简化运算 ,收到意想不到的效果 .例 1　如果虚数ｚ满足ｚ3 =8,那么ｚ3 +ｚ2 + 2ｚ+ 2的值是多少 ?解　∵ｚ为虚数且ｚ3 =8,根据结论②可设ｚ =2ω ,从而ｚ3 +ｚ2 + 2ｚ+ 2 =8+ 4ω2 + 4ω + 2=8+ 4(ω2 +ω + 1) - 2=8+ 4× 0 - 2…     

对一个分段递推数列周期性的研究

在教学过程中,我遇到了这样一个问题: 问题0 已知以a为首项的数列{an}满足:an+1={an-3,an＞3 2an,an≤2,其中n∈N*.求正整数a,k的值,使得等式an+k=an对任意正整数n都成立. 本问题的实质是探求该数列的周期性,其中的条件"a∈N*"深深吸引了我,如果a可以取其他的实数值,该数列周期性的结论是怎样的呢?     

关于公式1+2+…+n=(n(n+1))/2

<正>九年义务教育三年制初中《代数》第一册(上)第38页,B组第二题为:正整数从1开始,逐个相加,一直加到n,它们的和记作s,即s=1+2+3+…+n(n表示一个正整数),写出计算s的公式.这道题目中含有字母且设问富有思考性,解题方法体现了数学方法,更重要的是结果能作公式用,而且应用分层次用.为帮助同学理解这些特点,现对这道题进行解读,供同学们参考.