这样证明对吗？

众多的高三复习资料上都有这样一道例题 :题目　设ａｉ>0 (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,且满足条件ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ=1,用数学归纳法证明ａ21 ａ22 … ａ2 ｎ≥ 1ｎ (ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .不少同学是这样证明的 :证　 1)当ｎ =2时 ,ａ21 ａ22 =ａ21 ａ21 ａ22 ａ222≥ ａ21 ａ22 2ａ1ａ22 =(ａ1 ａ2 ) 22 =12 ,不等式成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ≥ 2 )时不等式成立 ,即当ａ1 ａ2 … ａｋ=1时 ,有ａ21 ａ22 … ａ2 ｋ≥ 1ｋ.当ｎ =ｋ 1时 ,ａ21 ａ22 … ａ2 ｋ ａ2 ｋ 1≥ 1ｋ ａ2 ｋ 1>1ｋ 1.由此可见 ,当ｎ =ｋ 1时不等式也成立 .由…     

等差数列的一个不等式

本文给出最近发现的一个关于正项等差数列的一个不等式 ,并举列说明它在解决一些用数学归纳法证明异常困难的一类问题上的有效性 .定理　设数列 {ａｎ}是等差数列 ,ａｉ>0(ｉ=1 ,2 ,…,ｎ) ,公差为ｄ ,且 0≤ｄ≤ 1 ,则对任意的正整数ｋ ,有 ｎｉ=1ａ1ｋｉ ≥ ｋｋｄ 1 [ａｎａ1ｋｎ -1- (ａ1-ｄ)ａ1ｋ1](1 )成立 ,当且仅当ｋ =ｄ =1时等号成立 .为方便定理证明 ,先证如下两个引理 :引理 1　设 0≤ｄ≤ 1 ,ａ >0 ,则对任意的正整数ｋ ,有(1 1ｋａ) ｋ≥ 1 ｄａ (2 )成立 ,当且仅当ｋ =ｄ =1时等号成立 .证　根据二项式定理 ,有(1 1ｋａ)…     

Whc168解的下界的再加强

Ｗｈｃ1 6 8 :一堆书放入ｎ个抽屉 (允许有空抽屉 ) ,为了使任意两个抽屉里书的数目之差不同 ,问至少要有多少本书 ?文 [1 ]给出ｎ(ｎ≥ 3)个抽屉里书的总数Ｓｎ 的一个下界 :　　Ｓｎ≥ ｎ3 -ｎ6 ( 1 )文 [2 ],[3]对Ｓｎ 的下界做了改进 ,文[4],[5]进一步证明了如下结果 :Ｓｎ ≥ ｋｎ(ｎ + 1 ) ( 2ｎ + 1 )6 (ｋ + 1 ) -(ｋ2 +ｋ - 1 )ｎ(ｎ + 1 )2 (ｋ + 1 ) ( 2 )Ｓｎ≥ｋｎ(ｎ + 1 ) ( 2ｎ + 1 )6 (ｋ + 1 ) - ｋｎ(ｎ + 1 )2 +ｎ +ｋ - 1 - ｋｋ + 1 ( 3)其中ｎ ,ｋ∈Ｎ ,1 <ｋ <ｎ .取ｋ =2 ,( 2 ) ,( 3)式分别化为 :　　Ｓｎ ≥ ｎ(…     

正项等差数列的不等式

由正项等差数列构成的不等式 ,叫做正项等差数列的不等式 .本文研究这样的一类不等式 .为了叙述简便 ,本文规定 {ａｎ}是公差为ｄ(ｄ >0 )的正项等差数列 ,Ｓｎ 是它的前ｎ项和 ,ｍ ,ｎ ,ｋ都是正整数 .定理 1　 1+ ｍｄｋａ11+ ｍｄｋａ2 ·…· 1+ ｍｄｋａｎ ≥ａｍ + 1ａｍ + 2 ·…·ａｍ +ｎａ1ａ2 ·…·ａｎ1ｋ.(当且仅当ｋ =1时等号成立 )证　由二项式定理得1+ ｍｄｋａｉｋ=1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ +Ｃ2 ｋｍｄｋａｉ2 +… +Ｃｋｋｍｄｋａｉｋ ≥ 1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ =1+ ｍｄａｉ=ａｉ+ｍｄａｉ=ａｍ +ｉａｉ,(当且仅当ｋ =1时取等号 …     

数学日记三则——递推数列通项的求解

3月 1 9日　星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题　已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1　由已知可得　ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 .　②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2　由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ…     

一个猜想的推广

文 [1 ]提出并证明了下述的猜想 :设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+,ｉ =1 ,2 ,…ｎ ,α>0 ,则有 :∑ ｂα+1ｉａαｉ≥ (∑ｂｉ) α+1(∑ａｉ) α ,当且仅当 ａｉｂｉ =∑ａｉ∑ｂｉ时等号成立 .本文给出上述猜想的推广并证明 :定理　设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+,ｉ =1 ,2 ,…ｎ .1 )当α >0 ,β >0 ,α+β<1时∑ａαｉｂβｉ ≤ｎ1-α- β(∑ａｉ) α(∑ｂｉ) β;2 )当 β <0 ,α<0或α≥ 1 -β时∑ａαｉｂβｉ ≥ｎ1-α- β(∑ａｉ) α(∑ｂｉ) β.证明　首先有Ｊｅｎｓｅｎ不等式 (见文 [2 ])设ａｉ ∈Ｒ+,ｉ=1 ,2 ,…ｎ.则1ｎ∑ａαｉ ≥ (1ｎ∑ ａｉ)α　 (α …     

加强不等式中g(n)应满足的条件

一般地 ,一个与自然数有关的不等式总可以通过数学归纳法解决 .但其中有一些不等式却不能直接运用数学归纳法证明 .如下例 .例 1　已知数列 {ａｎ}满足ａ1=5,ａｎ=5·2 ｎ - 2 (ｎ≥ 2 ) ,求证1ａ1 1ａ2 1ａ3 … 1ａｎ<35.令ｆ(ｎ) =1ａ1 1ａ2 1ａ3 … 1ａｎ,显然ｆ(ｎ)是单调递增的 ,在用数学归纳法证明时 ,由ｆ(ｋ) <35不可能过渡到ｆ(ｋ 1) <35.对于这样的问题常用的办法是先证一个加强不等式ｆ(ｎ) <35-ｇ(ｎ)(ｇ(ｎ) >0 ) .问题是这个加强不等式中的ｇ(ｎ)应满足什么条件 .我们先看一般的情形 :求证ｆ(ｎ) <Ｍ(ｆ(ｎ)是单调递增的 ,…     

用物理知识解数学问题举例

有些数学问题是由物理问题抽象得到的 ,或蕴含有物理意义 ,我们在解决这些问题时利用一个物理装置把数学问题物理化 ,常会出现一些有趣的巧法 .例 1　设 {ａｎ}为等差数列 ,Ｓｎ 1为其前ｎ 1项的和 ,求证 :ａ1Ｃ0 ｎ ａ2 Ｃ1ｎ ａ3Ｃ2 ｎ … ａｎ 1Ｃｎｎ=Ｓｎ 1ｎ 1·2 ｎ.证　设数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,当ｄ =0时 ,由组合数性质知结论成立 .当ｄ >0时 ,ａ1<ａ2 <… <ａｎ 1,如图 1,考虑数轴上坐标为图 1　数轴ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 1的点 ,在ａｉ 处对应放置质量为Ｃｉ- 1ｎ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ 1)的质点 ,由于ａｉ 1-ａｉ=ｄ ,Ｃ…     

等差数列的又一个有趣性质

在文 [1]中介绍并证明了———等差数列的一个有趣性质 :性质Ａ　若ａ1,ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ,ａｎ 1成等差数列(2≤ｎ∈Ｎ) ,则有恒等式Ｃ0 ｎａ1-Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 -… (- 1) ｋＣｋｎａｋ 1 … (- 1) ｎ - 1Ｃｎ - 1ｎ ａｎ (- 1) ｎＣｎｎａｎ 1=0 .显然 ,性质Ａ对含有 (ｎ 1)项的等差数列都成立 (2≤ｎ∈Ｎ) .此外 ,我们还发现了酷似性质Ａ的———等差数列的又一个有趣性质 :性质Ｂ　若Ｓｎ 是等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,则当 3≤ｎ∈Ｎ时 ,恒有等式Ｃ1ｎＳ1-Ｃ2 ｎＳ2 Ｃ3 ｎＳ3 -… (- 1) ｋ- 1ＣｋｎＳｋ … (- …     

一道竞赛题推广的简证

题　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数ａ >1,ｂ >1,有不等式 ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.文 [1]将其推广为 :设ａｉ>0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 1) 2ａ2 (ａ2 1) 2ａ3 … (ａｎ - 1 1) 2ａｎ (ａｎ 1) 2ａ1≥ 4ｎ (1)文 [2 ]将 (1)式进一步推广为 :设ａｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)∈Ｒ ,ｍ≥ 2 ,ｍ∈Ｎ ,则(ａ1 1) ｍａ2 (ａ2 1) ｍａ3 … (ａｎ - 1 1) ｍａｎ (ａｎ 1) ｍａ1≥ｎ·ｍｍ· 1(ｍ - 1) ｍ - 1(2 )李超同学在文 [2 ]中采用待定系数法证明了 (2 )式 .经探究发现 ,采用拆项法可以简洁地证明 (2 )…     

一个不等式的改进与其"孪生"不等式

文 [1 ]给出了不等式 .已知ａ>13 ,ｂ>13 ,ａｂ=29,求证 :ａ+ｂ <1 (1 )的一个简证 ;文 [2 ]把它推广为 :ａｉ>1ｎ(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ-1 ;ｎ ≥ 3 ) ,∏ｎ - 1ｉ =1ａｉ=2ｎｎ- 1,求证 :∑ｎ - 1ｉ =1ａｉ <1 . (2 )本文首先用文 [2 ]的方法得到了不等式 (2 )的改进 :命题 1　已知ａｉ>ｐ>0 (ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ;ｎ≥2 ) ,∏ｎｉ =1ａｉ≤ｐｎ- 1ｑ,(ｑ >ｐ) ,则∑ｎｉ =1ａｉ<(ｎ-1 )ｐ +ｑ. (3 )(证明从略 )其次 ,从另一角度得到了“改进”的一个“孪生”不等式 :命题 2　已知 0 <ａｉ<ｐ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ;ｎ≥2 ) ,∏ｎｉ=1ａｉ≤ｐｎ- 1…     

一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论

.定理　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列 {ａｎ}满足递推关系ａｎ 1=ｂａｎ ｃａｎ -1,ａ1=0 ,ａ2 =1 ,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .证　 1 )当ｎ =2时 ,由题意知ａ1=0 ,ａ2=1 ,ａ3 =ｂａ2 ｃａ1=ｂ .从而方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ-ａｎｃ =0即为ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0 .显然方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0的根ｘ0 也是ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 .所以 ,当ｎ =2时命题成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ 2 )时命题成立 .即方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的…     

解数列问题的几种模式

读过《优美的级数公式》(《中学生数学》2 0 0 0年 1 2月上 )和《用组合数巧解数列题》(《中学生数学》2 0 0 1年 1 2月上 )等文后很受启发 ,进而归纳出几种讨论数列问题的模式 :模式一　欲证∑ｎｉ=1 ａｉ=Ｂｎ 成立 .若假设其成立的话 ,则Ａｎ =∑ｎｉ=1 ａｉ-Ｂｎ =0 ,对新数列{Ａｎ} ,Ａｎ=∑ｎｉ=1 ａｉ-Ｂｎ.若能证出Ａｎ +1 -Ａｎ=0 ,对一切ｎ成立 ,且Ａ1 =0 ,则Ａｎ =Ａｎ-1 =Ａｎ -2 =… =Ａ1 =0 ,从而∑ｎｉ=1 ａｉ=Ｂｎ 成立 .例 1　求证 :1·2·3…ｋ + 2·3… (ｋ + 1 ) +… +ｎ(ｎ + 1 )… (ｎ +ｋ -1 ) =1ｋ + 1 ｎ(ｎ + 1 )…     

算术─几何平均不等式的简单证明

算术─几何平均不等式的简单证明王申怀（北京师范大学数学系１００８７５）众所周知，给出ｎ个实数ａｉ≥０（ｉ＝１，２；…，ｎ）成立下述算术─几何不等式：等号成立，当且仅当ａ１＝ａ２…＝ａｎ．一般上述不等式均采用数学归纳法来证，但不太容易．下面提供一个较为...     

2002年高考压轴题的启示

近观这几年的高考数学试题 ,均有一定的高等数学背景 .2 0 0 2年高考数学 (理 )压轴题正是如此 .这个题目是 :设数列 {ａｎ}满足ａｎ + 1 =ａ2 ｎ-ｎａｎ+ 1,ｎ =1,2 ,3 ,…(1)当ａ1 =2时 ,求ａ2 ,ａ3,ａ4 ,并由此猜出ａｎ 的一个通项公式 ;(2 )当ａ1 ≥ 3时 ,证明对所有的ｎ≥ 1,有①ａｎ≥ｎ + 2 ;② 11+ａ1 + 11+ａ2 +… + 11+ａｎ≤ 12 .解析　这是以数列和不等式的知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道好题 .这道题的入口较宽 ,问题 (1)及 (2 )中①都不难解决 ,(2 )中②却难倒了不少考…     

2002年高考压轴题探源及解析

20 0 2年高考数学 (理 )的压轴题是 :设数列 {ａｎ}满足ａｎ + 1=ａ2 ｎ-ｎａｎ+ 1 ,ｎ =1 ,2 ,3,… .1 )当ａ1=2时 ,求ａ2 ,ａ3 ,ａ4,并由此猜出ａｎ 的一个通项公式 ;2 )当ａ1≥ 3时 ,证明对所有的ｎ≥ 1 ,有①ａｎ≥ｎ + 2 ;② 11 +ａ1+ 11 +ａ2 +… + 11 +ａｎ≤12 .这是以数列和不等式知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道题 .1 )及 2 )之①不难解决 ,2 )之②难倒了不少考生 ,拉开了档次 .从试题制作的背景看 ,该题出自于高校老师之手 .从级数的观点看 ,2 )之②意指正项级数∑∞ｉ=111…     

Whc168的一个结果的加强

ｈｃ16 8　一堆书放入ｎ个抽屉 (允许有空抽屉 ) ,为了使任意两个抽屉里书的数目之差不同 ,问至少要有多少本书 ?文 [1]给出ｎ个抽屉里书的总数Ｓｎ 的一个下界 :Ｓｎ≥ ｎ3 -ｎ6 (1)文 [2 ]证明了如下结论 :Ｓｎ≥ｋｎ(ｎ 1) (2ｎ 1)6 (ｋ 1) - (ｋ 1)ｎ(ｎ 1)2(2 )(其中ｎ >ｋ >1;ｎ ,ｋ∈Ｎ)并在ｋ =2 ,ｎ≥ 2 3时 ,将 (1)加强为 :Ｓｎ≥ ｎ(ｎ 1) (4ｎ - 2 5 )18(3)文 [3]将 (2 )式改进为 :Ｓｎ≥ ｋｎ(ｎ 1) (2ｎ 1)6 (ｋ 1) - ｋｎ(ｎ 1)2 (4)(其中 1<ｋ <ｎ ;ｋ ,ｎ∈Ｎ)取ｋ =2得出强于 (3)式的结果 :Ｓｎ≥ ｎ…     

等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…     

等比数列前n项和公式推导的常用方法

数列求和的一个基本目标是 :减少项数 ,化成简单形式 ,便于求出结果 .同样等比数列求和也应按上述目标来实现 .怎样才能实现上述目标 ?应紧紧抓住等比数列的本身特点和规律 .方法 1　抓住等比数列的定义 ,联想等比定理 .设等比数列 {ａｎ}的首项为ａ1,公比为 ｑ ,由等比数列定义知 :ａ2ａ1=ａ3ａ2=ａ4 ａ3=… =ａｎａｎ- 1=ｑ(ｎ≥ 2 ) ,当 ｑ≠ - 1时 ,根据比例性质得 :ａ2 +ａ3+ａ4 +… +ａｎａ1+ａ2 +ａ3+… +ａｎ- 1=ｑ ,即　 Ｓｎ-ａ1Ｓｎ-ａｎ=ｑ ,∴ (1- ｑ)Ｓｎ=ａ1-ａｎｑ(ｎ≥ 2 ) ,当 ｑ =- 1时 ,上式也成立 .∴Ｓｎ=ｎａ1　　 (…     

构造数列的和或积证明不等式

一类与自然数有关的不等式证明题是高考的热点问题 ,最常规的证明方法是数学归纳法和放缩法等 .但数学归纳法证明往往过程较繁 ;用放缩法时则盲目性较大 .对于两个数列 {ａｎ}与 {ｂｎ} ,有下面的结论 :1)若ａｎ<ｂｎ,则ａ1+ａ2 +… +ａｎ<ｂ1+ｂ2 +…+ｂｎ;2 )当ａｎ>0 ,ｂｎ>0时 ,若ａｎ<ｂｎ,则ａ1·ａ2 ·…·ａｎ<ｂ1·ｂ2 ·…·ｂｎ.证明某些数列不等式时若能利用此性质 ,则可使证明过程简捷明快 .1　ａ1+ａ2 +… +ａｎ<Ｂｎ 型可以构造数列 {ｂｎ} ,使得ｂ1+ｂ2 +… +ｂｎ=Ｂｎ,只需证明ａｎ<ｂｎ 即可例 1　 (1992年“三南”高考试…