不等式证明中的换元法

不等式的证明因其方法灵活多变、综合性强而成为高中数学的一个难点 ,在各类数学竞赛中 ,不等式的证明问题是一个热点 .本文介绍用几种换元法来证明一些较难的不等式 .所谓换元法 ,就是将所要证明的不等式中的字母作适当的代换 ,变换数学式的形式 ,以显化其内在结构的本质 ,从而达到简化证题的过程 .一、均值换元法若题目中有ａ1+ａ2 +… +ａｎ=Ｘ的条件时 ,常可考虑作如下换元 ,设ａｉ=Ｘｎ +ｔｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,此时ｔ1+ｔ2 +… +ｔｎ=0 ,由于 Ｘｎ 是ａ1、ａ2 、…、ａｎ 的平均值 ,故称之为均值换元法 .例 1　已知ａ,ｂ ,ｃ,ｄ ,ｅ…     

双换元法解题

换元法是借助辅助元素,将问题进行转化的一种解题方法.解题中若能灵活、巧妙有意识地运用,则能化隐为显、化繁为简,从而化难为易使问题迎刃而解.数学“思想”能够指导“思维”活动,寻得解题“方法”.本文例谈在数学思想指引下进行双换元法解题,供同学们参考.     

整体运用 化繁为简

整体思想方法是一种常用的数学方法 .它把研究对象的某一部分 (或全部 )看成一个整体 ,通过细心的观察和深入的分析 ,去找出整体与局部的有机联系 ,从而在客观上寻求解决问题的途径 .这样做往往能化繁为简 ,减少解题步骤 ,优化解题过程 .下面以近几年来的中考题为例 ,介绍整体思想的运用 ,供大家参考 .一整体转化根据问题的特点 ,把研究的对象作为一个整体去进行适当的转化 ,以求成功解决问题 .例 1　已知ａ + 1ａ=3 ,则ａ2 + 1ａ2 =. (2 0 0 2年哈尔滨市 )简析　若先解方程求出ａ的值不失为一种方法 ,但把ａ + 1ａ 看作整体更为简练 .把已…     

巧化齐次式妙证不等式

若不等式两边各项的次数相等 ,不妨称之为齐次不等式 .如均值不等式中 ,ａ2 +ｂ2 ≥2ａｂ ,是齐二次不等式 ,ａ +ｂ+ｃ3 ≥ 3 ａｂｃ是齐一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 ,从而将原不等式转化为齐次不等式来处理 ,往往会产生出奇制胜的解题效果 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ+ｂ +ｃ=1.求证 :ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 .分析　所证不等式左边是二次式 ,右边是一个常数 ,即零次式 .由已知　ａ +ｂ+ｃ =1,∴　　　 (ａ+ｂ+ｃ) 2 =1,从而所证不等式可化为齐二次不等式ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 (ａ +ｂ+ｃ) 2 ,即　ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ａｂ +ｂｃ+ｃａ .而　左边 -右边= 12 [(ａ-ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 ] ≥ 0 ,∴　原不等式成立 .例 2　已知 ｐ3 +ｑ3 =2 .求证 :ｐ+ｑ≤ 2 .分析　所证不等式左边为一次式 ,右边为零次式 ,考虑到已知等式是一个三次式 ,从而将所证不等式两边立方 ,得 (ｐ+ｑ) 3 ≤ 8,∵　ｐ3 +ｑ3 =2 ,　∴　 8=4( ｐ3 +ｑ...     

求解一类最值问题的好方法

<正>1问题的提出及解答(1)问题的提出及思考例1设x,y,z均为正数,■,求xy+2xz的最大值.文[1]应用三角换元给出此题一个解,文[2]则从配方、构造二次方程、三角换元、线性规划四个角度进行求解,文[3]认为此题难度很大,很难找到解题入口,用主元法给出此题的一个解.     

初三代数第一学期期末自测题

Ａ组一 .选择题 (每小题 2分 ,共 2 4分 )1 .若关于ｘ的方程 (ｍ -2 ) 2 ｘ2 +(2ｍ +1 )ｘ +1 =0有两个不相等的实数根 ,则ｍ的取值范围是 (　 ) .Ａ .ｍ≤ 34　　　　　　Ｂ .ｍ <34Ｃ .ｍ≥ 34且ｍ≠ 2　Ｄ .ｍ >34且ｍ≠ 22 .在一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )中 ,若ａ与ｃ异号 ,则方程 (　 ) .Ａ .有两个相等的实数根Ｂ .有两个不相等的实数根Ｃ .没有实数根Ｄ .根的情况无法确定3 .若解分式方程 2ｘｘ +1 -ｍ +1ｘ2 +ｘ=ｘ +1ｘ 产生增根 ,则ｍ的值是 (　 ) .Ａ . -1或 -2　Ｂ . -1或 2Ｃ . 1或 2　Ｄ .1或 -24.用换元法解方…     

巧用一元二次方程的根与系数的关系解题

在初中代数里 ,一元二次方程的根与系数的关系 ,是一个很重要的知识 ,要求学生切实掌握 ,并能灵活应用 .下面三个例子 ,属于巧用类型 ,简化了计算 ,可能有助于开拓学生解题思路 .例 1　如果ａ、ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )ｘ+ 2 =0的两个实数根 ,那么 (ａ2 +ｍａ+ 2 ) (ｂ2 +ｍｂ+ 2 )的值为 (　　 )(Ａ)　 6　　 (Ｂ)　 2　　 (Ｃ)　 4　　 (Ｄ)　 0解　由于ａ ,ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )ｘ+ 2 =0的两个实数根所以ａ2 + (ｍ- 1 )ａ + 2 =0 ,　　ｂ2 + (ｍ - 1 )ｂ+ 2 =0所以ａ2 +ｍａ+ 2 =ａ ,ｂ2 +ｍｂ+ 2 =ｂ又因为ａ ,ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )…     

负侧相加正侧减 异侧取正同侧负

应用焦半径解题 ,在高考中屡见不鲜 ,怎样又快又准地写出焦半径公式呢 ?笔者在教学中总结其方法如下 :设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )上的任意一点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是焦点 ,易知椭圆的焦半径公式是 |ＰＦ1| =ａ +ｅｘ0 ,|ＰＦ2 | =ａ -ｅｘ0 .设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上的任意一点 ,Ｆ1(-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 )是焦点 ,易知双曲线的焦半径公式是 |ＰＦ1| =|ａ +ｅｘ0 | ,|ＰＦ2 | =|ａ -ｅｘ0 | .椭圆和双曲线的焦半径公式均是 :当焦点Ｆ1在负半轴上时 ,公式为“ａ +ｅ…     

浅论矩阵初等变换法在数论中的应用

矩阵论是一个应用十分广泛的数学学科 .本文将以矩陈的初等变换法为理论工具 ,谈谈它在数论中的两个应用 .本文约定 :小写拉丁字母表示整数 ,大写拉丁字母表示整数矩阵 ,对矩阵实施初等变换的过程中所用到 (得到 )的数均为整数 .1　一个命题命题 1　设 (ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ) =ｄ ,则存在可逆方阵Ａ =[ａｉｊ]ｎ×ｎ,使得ａ1 ａ2 …ａｎ Ａ =[ｄ 0… 0 ](ｎ≥ 2 ) .证明 (数学归纳法 )(1 )当ｎ =2时 ,不妨设ａ1 >ａ2 >0 (否则可以施以倍法变换或换位变换 ,使得ａ1 >ａ2 >0 ) ,由辗转相除法知 :ａ1 =ｑ1 ａ2 +ｒ1 ,0 <ｒ1 <ａ2ａ2 =ｑ2 ｒ1 +…     

函数思想在数学解题中的应用

所谓函数思想的运用 ,就是对于一个实际问题或数学问题 ,构建一个相应的函数 ,用函数的有关知识去分析问题 ,最终达到目的———解决问题 .运用函数思想解题是中学数学中的一种重要方法 .下面举例说明函数思想在数学解题中的应用 .1　求值例 1　设x ,y∈R ,且 (x - 1 ) 3 +2 0 0 3(x- 1 ) =- 1 ,(y - 1 ) 3 +2 0 0 3(y - 1 ) =1 ,求x+y的值 .解　设 f(t) =t3 +2 0 0 3t,易知 f(t)是奇函数 ,且在R上是增函数 ,故由已知条件得f(x - 1 ) =- f(y - 1 ) =f(1 - y) ,∴x - 1 =1 - y ,∴x +y =2 .例 2　已知x ,y∈ - π4 ,π4 ,a∈R且x3 +sinx - …     

“0”“1”的变形与运用

解题时 ,常需将“0”“1”变形 ,使问题得以简化 .一 .“0”的变形与运用关于“0”的变形公式常有 1 ) 0·ａ =0 ;2 )ａ -ａ =0 ;3 )若ａ·ｂ=0 ,则ａ =0或ｂ =0 ;4)若ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =0 ,则ａ=ｂ =ｃ =0 ;5 )若ａ2 +ｂ +|ｃ|=0 ,则ａ=ｂ =ｃ =0 .1 .添“0”变形例 1　化简 ｂ -ｃ(ａ -ｂ) (ａ -ｃ) +ｃ -ａ(ｂ -ｃ) (ｂ -ａ) +ａ -ｂ(ｃ-ａ) (ｃ -ｂ) .分析 :在分子中 ,增添“0”并变形为 -ａ +ａ ,-ｂ +ｂ ,-ｃ +ｃ.解 :原式 =-ａ +ｂ+ａ-ｃ(ａ-ｂ) (ａ-ｃ) +-ｂ +ｃ+ｂ -ａ(ｂ -ｃ) (ｂ -ａ) +-ｃ+ａ +ｃ -ｂ(ｃ-ａ) (ｃ -ｂ)=-1ａ-ｃ+1ａ…     

活用点到直线距离公式解题举例

文 [1 ]、[2 ]以实例说明了两点间距离公式解题中的应用 ,本文介绍解析几何中另一个距离公式———点到直线距离公式在解题中的应用 ,供参考 .1　证明等式例 1　若ａ ,ｂ∈Ｒ ,且ａ 1 -ｂ2 +ｂ 1 -ａ2 =1 .求证 :ａ2 +ｂ2 =1 .析与证　显然点Ｐ(ａ ,ｂ)是直线Ｌ :1 -ｂ2 ｘ +1 -ａ2 ｙ =1上的点 ,所以原点Ｏ到直线Ｌ的距离不大于｜ＯＰ｜,即 :1(1 -ｂ2 ) +(1 -ａ2 ) ≤ａ2 +ｂ2整理得 :(ａ2 +ｂ2 -1 ) 2 ≤ 0 .故　ａ2 +ｂ2 =1 .这是一道脍炙人口的传统名题 ,文 [3 ]中列举了本题的 1 2种证法 ,上面新颖别致的证明又一次说明了“没有任何一…     

二次齐次式的变形

形如ａｘ~2 +ｂｘｙ +ｃｙ~2 (ａ ,ｂ ,ｃ是常数 )的式子叫做二次齐次式 ,在确定 ｙ≠ 0的情况下 ,可变形为 ｙ2 [ａ( ｘｙ) 2 +ｂ( ｘｙ) +ｃ] .若是二次齐次方程或不等式 ,此变形的结果为关于 ｘｙ的一元二次方程或不等式 ,这种变形往往对问题的解答十分有利 .1 .数列中的二次齐次式例 1　设数列 {ａｎ}是首项为 1的正项数列 ,且 (ｎ + 1 )ａ2 ｎ + 1 -ｎａ2 ｎ+ａｎａｎ + 1 =0 (ｎ =1 ,2 ,3,… ) ,则它的通项公式是ａｎ=.分析　已知等式是关于ａｎ,ａｎ + 1 的二次齐次式 ,因为ａｎ>0 ,两边同除以ａ2 ｎ 得 (ｎ + 1 )·( ａｎ + 1ａｎ) …     

巧“配对” 妙解题

对称不仅给人以美的享受 ,而且运用对称性还可以简捷地解决一些数学问题 .但是 ,很多数学问题并不以对称的形式出现 ,对此 ,我们可采用“配对”策略简便地解题 .一概念配对不少数学概念是成对引入的 ,如ａ和 1ａ(ａ≠ 0 )(互为倒数 ) ,平方与开平方等 .利用数学概念的这种对称性 ,对某些数学问题配对 ,能非常简便地解题 .例 1　化简( 1+3) ( 3+5)1+2 3+5.解　设Ａ =( 1+3) ( 3+5)1+2 3+5,则其配对式1Ａ =1+2 3+5( 1+3) ( 3+5) =( 1+3) +( 3+5)( 1+3) ( 3+5)=11+3+13+5=3- 12 +5- 32 =5- 12 ,∴　Ａ =25- 1=5+12 .二传递配对若干个向量的和有…     

换元法及其应用

所谓换元法,指的是在解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量(价)代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量(辅助元素),可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有…     

巧用均值换元法 妙解因式分解题

本文以部分初中数学竞赛题为例,介绍均值换元法在因式分解中的应用.一.用ｔ=ａ+ｂ2换元例1　分解因式:(ｘｙ-1)2+(ｘ+ｙ-2ｘｙ)·(ｘ+ｙ-2).(1998年长春市初二数学竞赛题)分析:本题通常可以先去括号再化简整理进行分解因式,然而运算繁,不简捷,但巧取后面两多项式的平均项换元,就大不相同了.解:设ｔ=12〔(ｘ+ｙ-2ｘｙ)+(ｘ+ｙ-2)〕=ｘ+ｙ-ｘｙ-1,则ｘ+ｙ=ｔ+ｘｙ+1,所以原式=(ｘｙ-1)2+(ｔ+ｘｙ+1-2ｘｙ)(ｔ+ｘｙ+1-2)=(ｘｙ-1)2+〔ｔ-(ｘｙ-1)〕〔ｔ+(ｘｙ-1)〕=(ｘｙ-1)2+ｔ2-(ｘｙ-1)2=ｔ2=(ｘ+ｙ-ｘｙ-1)2=(ｘ-1)2(ｙ-1)2.二.用ｔ=ａ+ｂ+…     

例谈构造法解竞赛题

“构造法”是最富活力的数学转化方法之一 .恰当地运用这一方法解题 ,能收到以简驭繁、化难为易、事半功倍之效 ,且有助于发展创造性思维品质和探索创新能力 .本文以各类竞赛题为例 ,对常用的构造法予以说明 .一构造方程例 1　若ａｂ≠ 1,且有 5ａ2 + 2 0 0 1ａ + 9=0及 9ｂ2 + 2 0 0 1ｂ + 5 =0 ,则 ａｂ的值是 (　　 ) .　 (Ａ) 95 (Ｂ) 59(Ｃ) -2 0 0 15 (Ｄ) -52 0 0 1(2 0 0 1年全国初中数学联赛题 )分析　抓住题设两等式的结构特征 ,对其中一等式稍加变形 ,即可利用方程根的定义构造一个一元二次方程 ,再由韦达定理迅速获解 .解　∵　…     

发掘隐含条件，巧设辅助元素——初中代数中运用换元法解题的思路与方法探索

换元法是初中数学中一种能够灵活、广泛运用的简洁明快的解题方法,具有“化繁为简、化隐为显、变直接为间接”的优越性.本文中结合典型例题,通过对其解题思路与方法的分析点拨,探讨了如何在各类题型中灵活运用换元法解题的方法与技巧.     

争鸣

问　题问题 2 7　设函数 ｆ(ｘ) =ｌｇ(ｘ2 -ａｘ +1 )的值域为Ｒ ,求实数ａ的取值范围 .观点 1　令ｕ(ｘ) =ｘ2 -ａｘ +1 ,因ｆ(ｘ)的值域为Ｒ ,故只须ｕ(ｘ) >0恒成立 .即　ｘ2 -ａｘ +1 >0恒成立 .∴　Δ =ａ2 - 4 <0 ,∴　 - 2 <ａ <2 .观点 2　令ｕ(ｘ) =ｘ2 -ａｘ +1 ,要使ｆ(ｘ) 的值域为Ｒ ,只需ｕ(ｘ)的值域包含 (0 ,+∞ ) ,∴　Δ =ａ2 - 4≥ 0 ,∴　ａ≤ - 2或ａ≥ 2 .观点 1是否正确 ?有无合理性成份 ,对观点 2同学们的疑问是Δ≥ 0怎能保证ｕ(ｘ)≥ 0 ?这是一道流传十分广泛的题目 ,怎样给学生一个满意的解答 ,敬请大家积极讨…     

关于圆锥曲线弦中点问题的解法再探

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一 .本刊文 [1]、文 [2 ]与文 [3 ] ,探讨了解此类问题的代点相减法、点参数法 ,本文用圆锥曲线弦的中点与斜率的关系给出一类统一解法 ,归结为定理 ,利用本文提供的定理来求解此类问题 ,能化难为易 ,化繁为简 .设圆锥曲线Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,其斜率存在 ,设为ｋ ,且ｋ ≠ 0 .其中Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )、Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则有Ａｘ21 +Ｃｙ21 +Ｄｘ1 +Ｅｙ1 +Ｆ =0 ,Ａｘ22 +Ｃｙ22 +Ｄｘ2 +Ｅｙ2 +Ｆ =0 ,两式相减并同除以 (ｘ1 -ｘ2 ) ,考虑到ｘ1 +ｘ2 =2ｘ0 ,ｙ1 +ｙ2 =2 ｙ0 ,得　　Ａｘ0 +Ｃｋｙ0 +Ｄ2 +Ｅｋ2 =0 .仿此可得 :定理 1　椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ &;gt;0 ,ｂ&;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ ,ｙ) ,其斜率ｋ存在且不为零 ,则　　 ｙｘ &;#183;ｋ =-ｂ2ａ2 .定理 2　双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1(ａ&;gt;0 ,ｂ &;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ...