巧求值

求满足aZ 5b2 se，<4ab 4b。 Zc的整数a、b、。的值.本期智慧窗《巧求值》参考答案题设条件可等价变为“整数a、b、〔·满足:aZ 5l)宜 5厂 1一(l:之b 4b。 2‘、)镇O”，即(a一Zb):斗一(b一2〔·)2 (〔、一1)2毛。，从而得a一4，b一2，。、一1.巧求值@李晓渊$湖南常德英语实验     

浅谈方程[f(x)]=g(x)的解法

1987年全国初中联赛第一试填空题第三小硕是: 〔aJ表示不大于数。的最大整数.例如[了百〕=l,〔一丫百」=一2,那么方程2解方程了一〔了可x]+l二0. 〔了了刁=护十l多l,例熟〔3x+l]一ZX一告的所有,的和是_·此题可用下法求解:令:x一粤二,(,为整数),贝IJ有二二吝,十今 ‘任喇又由〔3x+;]二Zx共知o‘(3x+,卜(Zx号)<1即。‘(普,+子)一,相似文献   

用参数法证条件不等式

已知条件为。 b一,(川为常数),可我(l’J的方法证明:设。=要十‘,b二 ‘答一‘(‘乙为参数). 例l已知。,b任衬且“ b~2,求证。‘十b4)2. 证明令a=一 t,b=一t,(t任I亡) 则a‘ b‘=(l t)‘ (I一t)‘ =2十1 2t2十2t4)2. 用与上面同样的设法我们还可证明:当“ b=2时,有。· 乙.)2二 例2已知。>0,b>0,且。 b一l;令一告十‘,“一合一‘,·:。>。,。>。,.…‘.<音压十沁一俪 俪 一了(了不石十勺不巧)2 一丫2 :丫、二了(召万干酉一:例3已知a)0,b)0且。 b一l,求证:抓厕 压、2.冬毛“2 。2毛,‘ 本题可用三角代换法证明,但较繁,仍用·20·证明令。一…     

自我检测题(一套)

一、选择题 I、由。个元素构成的集合A={al,。:,…,a.}的一切子集的总数是(). (A)2一压;(B)2“;(C)2一l:(D)2”+一 2、对于夕=a劣,+bx+c(a、b、e〔R),b笋。,a、c至少有一个不是O时,函数l(x)是(). (A)又奇又偶函数:(B)非奇非偶函数、 (C)奇函数:(刀)偶函数。 3、在(了丁十岁亨)皿。“的展开式中,有理数的项数是(). LA)2,(B)4:(C)一6;气D、26. 4、函数夕二sin.x+eos.二的周期是()- (月)2二;(B)二;(e)令,(D)于. 、‘·产·’·,、一z~’、一产2’‘一‘4’ 6、设夕二a二+Za+x,当一l《x簇l时,夕的值有正有负,则实数a的范围是(). (A)一1<…     

一个与一元二次方程有关的递推式及其应用

因为。、b是一元二次方程护一(。十b):十动~0的两个根,设S。一a0十b0,S,一。 b,则 吕2二。2 乙2,月2一(a b)51 ab月。~0 名。=a3十乙3,53一(a 乙)82 汕S,~0 5.~a’十b’,S。一(a b)S.一‘十动价一:二0即有当、)2时,有递推式S一(a b)S一, ab^9一2一0(,) 因为递推式由一元二次方程推出,结果又与一元二次方程极其类似,所以它与一元二次方程同样有较大用途,下举数例说明. 例l若,,‘,=,,‘ l,。’一。 l、且,,‘共、,则1,l” 沪一(江苏省第四届初中数学竞赛试题). 解由,,‘,~,,‘ l,、,=n l,且,,‘护n知:1。,、是一元二次方程二,一二一1一0的…     

利用函数的单调性证不等式

250一+b城特‘)证明按已知东件,原不等式等价于 a’+石.①a,+‘.② 一、、.J了 ︸.台,.巴十2 二口丫 了户,龟、、 目 的 了,J 数 函. 透 构 .易知式l)禅1二③故不等式0决走牙函数⑧为(非严榕)增函数.f(,+,)一少(,)二a’+气+6.十1 2。’+‘’ 2︵+2︸a一一‘︸一一)一”(扎狱黔少一全畏概护少一乳心托羚‘一“‘’一久一兰业二哪扛扩+ai-‘石土:?..+,6 》O 即l(。+1)>l(。)‘二争函数②为增函数、又由③知,不等式中真,从而原不等式真. 椒上方法可归纳为. 欲证不等式刀(,)》B(。)(>o),(,〔N)可构造函数f(。)‘A(。)一B(。)‘或“(·,一粼).…     

简单三角形不等式及推论的应用

在直角坐标平面中,设O(O,0)、Al(a:,司、儿(。,国,则有三角形不等式. 了(。一。:),+(‘一‘)“‘儿石落斗儿两飞:(即IA:儿l‘}〔M,.+IQ今召l)(l)当且仅当告一会-一(,>0)(即点浓线段几、上)时取等号; l,了奋干云一存拜云阵砍。一。:)2+(八一八)2 设O石}al(阮<肠,则了一矿十b子一了一矿十b少)吞一阮当且仅当a二0时取等号. 证明由题设,有}了二奋不否一了二奋不玉:}二二矿+b了一(一矿+b力不二不不】十了二奋了蕊6+肠(卿。二一I当且仅当丢二冬、巾二}八一压.O月2或共延长线上)几(几)0) 时取等号. (2)(即点A,在线段石}八一肠}(’.‘厂二万矛…     

对一道赛题解法的探究

1986年全国数学竞赛第设实数u、b、。满足 l丫一bc一sa+7=()·试第1题第咬3川、题为:那么“的取值范It1是①② !扩+扩+b‘、一6a+6=‘j(A)(一co,+co);(I弓)(一oo,1 JU〔9,+co);(C)(0,7);(I))r 1.9〕.标准解答是,山题给条件得lbc三丫一sa+7l夕十已+bc=6“一6②一①x3得(l,一‘〕’=一3(‘,一)(u一冬,)③ .’一3(a一l)(u一9))(),故l石a石9 答案为(u). 我们认为此种解法不妥。因为.若口)十(劲,得 (b+‘.)二丫一2“十l=(‘:一I)④ bc〔R.而(“一l)J要0二‘一co<‘,<十oo,答案应为(A). 又若将①代人②得 粉+‘“=一丫+14‘,一13二一(‘,一1)…     

巧用sinx

黄言勤 《中学数学》1988,(1)

一个乘法公式的应用

初中代数第二册第116页介绍r可化为巧十农叶b)二+。b型的二次三项式的因式分解,给出r如下公式 了+(a+b),+ab=(J一+u)(:,十方) 此公式的实质在于找出两个数,使它们的和为a+b,积为ab即可. 公式中的,可肴着是个特殊宇f:f,’‘1然也可以是·个解析式(包括数字),‘节握r这·点有时会给解题带来很多方便.例1化简l一‘z(l.十‘“·厂一(“十‘功解:原式二 1一丫〔l+aJ十(a+z今〕(l+‘一、,一(‘,+、,)〕 (l+‘:)(1一‘幻(l+a)(l击二了)(l一a)(l一J) l一(l+沈,)(l一‘,)· .例2解方程5.’“+J一‘r板不巧一2二(). 解:原方程可化为 (屹于丁面)”一…     

不等关系帮助解题(续完)

例8设·次多项式p(幻=已一才一,+勺犷一,+一十c.一衬一矿坛+b有.个正根,求这些根· 解设P(幻的:个根为幻,勺,”‘·, 则::,::,…,‘>0, 由韦达定理知:工:十介+…+‘=l :一忿,…劣一:十::公:…劣。+…十劣,::一二. 二(一l)一:二二兰全 a b 艺盆.公.‘一劣。=L一l)’— a 从而会+女+一+会一 (::十孔+.二+动(上十上十…+与一。: 了l考忿子. 但(一+一+…+二)(告+会+一+士,》一且等号成立当且仅当‘:=‘,=”‘~:’.少故:,二::二·一:.= 注人为地构造出符合某个已知不等式形式的等式,再利用已知不等式中等号成立的条件导出相等.这种手法技巧性强,…     

两个条件不等式及其应用

命题一不相等的正数a、b、c、‘,。为最大数,若。各式相乘可得+‘一b+一则‘,,“‘,‘2,告+令>士十于 证明(1)由题设可得a一。二b一d>O二b>d. 设a一b二c一建=‘,则‘>0,且a二‘+吞,e=汉+‘ .’.耐=(‘+b)注=从+记,倪=b(d十心)=沉+倪 比较两式,,.’b>‘,‘>O,:.“>血,:.加>毗 (2),.’a、b、c汉均为正数,a+滚=石+e,酥>吐刊二令>宁,:告+专>朴告推论不相等的正数。、b、。,若2b二。十。,则(l)‘子应用举例:例l,日N,证明:!(证明略) (·l)2<(粤户,.…!<(岑,·,综上所述…,匀竺宁)’, 例:已知·。N一列,求证士+南十:+六+汾’· 证…     

二次函数图象性质的应用点滴

一、利用“性胶”求扭值. 例1求x〔〔0.,l〕s月,/(二),x“+(2一6a)x+sa,的最小位,刀将得到的最小值看作是。的函数g(。).洲出它的图象. 解厂整理:/(二)盖〔,一(3a一1)〕’一6a“+6a一1. 设j(x)在x〔〔。,幻内鼓小值为夕.”势“3一<。,“·:·泣{J·<{.在。(二、1讨、,f(二)是增区数(图l)…g二f(0)=3。“2’)当:、,a一<,,尽},;‘·<:竹寸.口J、二工一3。一1时j(x)最刁、(图2),所以夕=f(3。一l)二一6。“+〔a气l3‘)当s。一J):。JJ。);时,在。《二<,;”:j、,) O是减函数(图3).所以g=l(l)=3。“一助+3二:(。一l)“ l龙{此得 3(。一)2g(a)=一…     

机会约束规划中若干凸性命题

在随机规划中,机会约束规划的一般形式是: m;n华(二). 5 .t .P(。!A(。)、》b(。)))a,o镇a成l,二〔X.或者m in5 .t.甲(二),P(。{月‘(。)x)b‘(。)))a‘,o戒a‘(I,二任X.其中甲(劝是凸函数,X是户‘上的凸集,月(。)是。xn维矩阵,月‘(。)是A(。)的第‘个行向量,6(。)是。维r句量,b‘(。)是b(。)的第i个分量,且(。),A‘(。),b(。),b‘(。)的元素是定义在概率空间(口,J,尸)上服从已知(联合)分布的随机变量或常量.机会约束规划时主要问题之一是可行集 X(a)二{x IP(。}A(。)x》b(。))》a,x〔X}或 X‘(a‘)={二}P(。}月‘(。)x>b‘(。))>a,…     

不等式选择题四道

2___‘一一一~,,‘。tog仃夭l成止俐尤安余什足, ).a的取值范围是( ,2吸A)U女a又,犷布 0,_、2气匕)一万一久“咬1: 0(e)。>号且a,l;(D)o<。<号或a>l2.若x〔R,一下列不等式正确的解是((A)了>2则x>士了牙;‘B)(x一1)2<2则1一了牙l一Zx则x〔价.3.以g=士Zx为渐近线的双曲线方程必是(*,一子一l:l(灸毕0);(c)子一,一‘,(B)一爷十希-(D)一子十翁-1(k争0). 4.已知a、月都是锐角,下列不等式中一定成立的是(). 囚sina+eosa>1;(B)sina一eosa(伪 (C)eos(a+月)>eos(a一夕); (D):in(a+月)〕sin(a一夕).36…     

一类不等式的证明、推广及应用

考察下面一组不等式:若u、b〔R,且“+b“L_.11、l_!、_25则(“+言)(b+言))分二(2+告)’=l,《l)、..r夕才苦万,、‘若a、权“〔R+,且a+则(a+告)(。+寺)(‘+b+f“生))‘Il《只其)I‘.1、,_、一六下布一二1.币十二犷l,气乙) ‘口、。》I(告一:)+2)(卜,)(斗一:)+:一,+干·不应用这·结论.(2)式是很难i正币冬手的, (_几) 沿川(2)的证法或用数学归纳法去证明推万”了的《3)式,都将会遇到十分未杂的运竹.难以奏效,必须另辟新径.分析:(.r,+止如若上不等式皆正确,有理由猜侧:若￡〔R舟(;二l,艺,…,,)It、.+:,+…+x.二l件乙,11调协这,,个因式,能否…     

1993年高考试题解法集锦 理科第(28)题别解

全国理科试题及六省市理科试题第(28)题均是: 设复数:=eoso+‘ino(0相似文献   

又一个对数换底公式

设N,>0,a‘>o,a‘笋l(i二1,2,…刀),b、,bZ,…,b。是a,,a:,…,a。的任一排列,则: 1 09。、N 1 1 09。2 NZ’“’1 09。.N。一10“。、N,10“,2N2.‘’10“,.N,(浓) 证明:因b,,bZ,…,b。是a,,“2,一,“,的任一排列,故:l:a,loaZ…loa.一lgb,lgbZ…仅b,这样(浓)式左边 lgN]19无方lgN。一lga x lgaZ“’lga。二右边. 公式(浓)表明:几个对数相乘,任意交换它们的底数,其积不变.计算‘·g:矗‘·93音‘口、,;原式=10只,,·92告lo;3杳例解一10955一210922一310933一2‘二(一2)(一3)(一2)二一12gfJZ计算10、。910:2,4910:,25109。2·解:原式一…     

利用函数的奇偶性证反三角不等式

肠目设}x}<1,求证 eos(aresinx)(aresin(eosx). 分析易知不等式两边的函数都是偶函数,原命题的条件等价于x(〔O,1].设(a证一: COS=COSare、inx=a,则、ina二x,于是aresinx)一aresin(eosa口一arCSin 了汀、〕s,n、一了一x产“当x〔[0上式二eosa,13时, ,汀、一人不犷,一x’=eosa十sina兀_护育几厂‘一V乙sln(平十。)一冬‘万一斗0=了l一厂,故有…     

无意义的等式成立

(a b)2)0.’.必)0(3) 由(l)、(3)知砧=0即。一0或b=0 而。一。或。一。时咨或牛无意义,故所要 一~-一J匕~b/.‘~~’~’/,~证的等式无意义. 证法二‘:。2 护 面曰O 二(a 6)2=南(3) 由题意。并。,。护b,‘ 。弃b,抱(3)两边同除以ub(。 b)得 。十b、1。。1‘1_1_ :共二二一今二即=