偶函数的一个性质

1性质的引入我们知道奇函数f(x)如果在x=0处有定义,那么就有f(0)=0.其实偶函数也有一个对偶形式的性质:若偶函数f(x)在x=0处有定义且可导,则f′(0)=0.2性质的证明因为偶函数f(x)在x=0处可导,所以limx→0 f(x)-f(0)x=limx→0-f(x)-f(0)x.又∵f(x)=f(-x),x→0-即-x→0 ,∴lim-x→     

偶函数的一个性质

我们知道奇函数f（x）如果在x=0处有定义，那么就有f（0）=0．其实偶函数也有一个对偶形式的性质：     

偶函数的一个性质及其应用

在学习函数的奇偶性时,我们经常会遇到已知函数为偶函数,求参数取值范围等问题,这时若能灵活利用偶函数的特性,巧添绝对值,则能简化解题过程。     

巧用偶函数的一个性质解题

性质若f(x)是偶函数,则f(-X)=f(x)=f(|x|)=f(-|x|)。巧用这一性质可避免讨论、优化解题。例1 已知偶函数f(z)在[0, ∞)上是增函数,且满足厂f(2m 5)相似文献   

奇偶函数一个性质的妙用

学了奇函数与偶函数后 ,我发现它们的定义中x和 -x均同时出现 ,联想公式|x|=x ,x≥ 0 ,-x ,x <0 ,我发现奇函数与偶函数具有以下两个新的性质 :性质 1　若 f(x)是定义在M上的奇函数 ,则当x <0时 ,有f(x) =- f(|x|) .性质 2　若 f(x)是定义在M上的偶函数 ,则对任意的x∈M ,都有f(x) =f(|x|) =f(-x) =f(- |x|) .这两个性质的证明一目了然 ,这里略去 .这两个性质虽简 ,但在解某些数学题时 ,却起着重要的桥梁作用 .例 1　已知 f(x)是奇函数 ,且当x >0时 ,f(x) =x(1+x) ,求当x <0时 ,f(x)的表达式 .解　当x <0时 ,知 |x|>0 .又 f(x)是奇函数 ,…     

偶函数的一个简单性质及其应用

偶函数的一个简单性质及其应用４１７６００湖南新化三中曾思江众所周知，如果对于函数ｆ（ｘ）定义域内的任何一个ｘ，都有ｆ（—ｘ）＝ｆ（ｘ）成立，则称ｆ（ｘ）为偶函数．根据偶函数的这一定义，不难得出下面的性质：若函数ｆ（ｘ）是偶函数，则都有ｆ（ｘ）＝ｆ（｜...     

巧用偶函数的一个重要性质解题

性质妙用 偶函数有一个重要性质：若ｆ（ｘ）是偶函数,则下面巧用这一重要性质,简化一类求参数问题的讨论． 例１ 设偶函数ｆ（ｘ）在区间上单调递增,且满足试求实数ａ的取值范围． 解 由ｆ（ｘ）为偶函数知上单调递增, 例２ 已知偶函数ｆ（ｘ）在是增函数,且满足ｆ（２ｍ＋５）＜ｆ（ｍ２＋２）,试求实数ｍ的范围． 解偶函数上是增函数, 例３ 已知定义在上偶函数在区间［０,２］ 上单调递减,且求实数ｍ的范围． 解 由ｆ（ｘ）是偶函数知 例４ 若偶函数ｆ（ｘ）在上单调递增且,试求不等式的解集．０,又由ｆ（ｘ）为偶函数知上单…     

奇偶函数性质的延拓

我们知道一个奇函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有f(x) + f( -x) =0 .其实质是奇函数f(x) 的图象关于原点对称 .将其图象适当平移 ,可得如下命题 :命题 1　函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c成立的充要条件是函数f(x) 的图象关于点( a +b2 ,c2 )对称 .证　必要性 .若函数 f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c.设P(x ,y)是函数f(x) 的图象上任一点 ,则P(x ,y)关于点 ( a +b2 ,c2 )的对称点为Q(a +b -x ,c- y) ,从而 f(a + b -x) =c - f[b - (b -x) ]=c- f(x) =c- y .所以Q(a +b -x ,c …     

奇偶函数的分析性质

<正> 函数的奇偶性是函数的重要性质之一,具有奇偶性质的函数的许多特性在理论上和应用上都具有重要的意义。为了下面叙述上的方便,不妨给出定义如下: 一、函数奇偶性的定义对于给定的函数f(x),若f(-x)=-f(x),则f(x)称为奇函数;若f(-x)=f(x),     

一个包含伪Smarandache函数及其对偶函数的方程

研究一个包含伪Smarandache函数及其对偶函数方程的可解性,利用初等及组合方法给出了该方程的一系列正整数解,并证明了该方程的所有奇数解必为奇素数p（≥5）的方幂.     

一类多目标非线性规划广义Lagrange对偶函数的几个性质

本文对多目标非线性规划问题（VP）：minf(x)s.t. β（x)∈-P,x∈C引起了一种广义的Lagrange对偶函数Q（ω）=inf{f(x)+&;lt;ω，β（x)&;gt;|x∈C}，并讨论它的性质，得到了类似文献[1]中的结果。     

一类多目标非线性规划广义Lagrange对偶函数的几个性质

本文对多目标非线性规划问题（ＶＰ）：ｍｉｎｆ（ｘ）ｓ．ｔ．β（ｘ）∈－Ｐ，ｘ∈Ｃ引进了一种广义的Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶函数Ｑ（ｗ）＝ｉｎｆ｛ｆ（ｘ）＋〈ｗ，β（ｘ）〉｜ｘ∈Ｃ｝，并讨论它的性质，得到了类似文献［１］中的结果．     

怎样编制奇偶函数

怎样编制奇偶函数曾令伶（湖南新宁第一中学４２２７００）１由任意函数编制奇偶函数命题１设ｆ（Ｘ）是一个函数，若ｊ（Ｘ）士ｊ（一Ｘ）有意义（即ｆ（ｘ）的定义域非空，且定义域在数轴上关于原点对称），则Ｆ（一一ｊ（Ｘ）个ｊ（一。）是偶函数，以。）一人。）一ｆ...     

关于Smarandache对偶函数

定义Smarandache对偶函数S*(n)为最大的正整数m使得m!|n.定义另一种双阶乘函数S**(n)为最大的正整数2m-1使得(2m-1)!!|n,其中2 n;且当2|n时,为最大的正整数2m使得(2m)!!|n.本文的主要目的是利用初等方法研究一个包含S**(n)的无穷级数的收敛性,并给出一个有趣的恒等式.     

深入理解偶函数概念

本文帮助同学们深入理解偶函数概念 .1　形象化感受作出函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象如图 1,你觉得这个图 1　ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象图象与 ｙ轴之间有什么关系吗 ?若把 ｙ轴形象地看成“平面镜” ,把图象右支看成一个物体 (比如弯曲的铁丝 ) ,那么左支就可以看成什么 ?图象左右两支关于ｙ轴对称 .当把 ｙ轴看成平面镜时 ,那么图象左支可看成右支的像 ,左右两部分成双成对 ,我们不妨把它比喻作一对“配偶” .请同学们自己作出函数 ｆ(ｘ) =- |ｘ|的图象 ,再作类似如上的思考 .数学家就把图象关于 ｙ轴对称的一类函数通称为偶函数 ,“偶”就是“配偶…     

构造奇偶函数解题

函数的奇偶性是函数的重要性质之一 .在平时的教学中 ,我们对于判断函数的奇偶性 ,或直接由函数的奇偶性解题 ,都比较熟悉 .但对于构造函数 ,再利用函数的奇偶性解题 ,却没有引起人们的注意 .1　求值例 1　设ｘ ,ｙ为实数 ,且满足关系式 ;(ｘ- 1 ) 3 1 997(ｘ - 1 ) =- 1(ｙ- 1 ) 3 1 997(ｙ- 1 ) =1 .,则ｘ ｙ=( 1 997年全国高中数学联赛试题 ) .解 :令ｆ(ｔ) =ｔ3 1 997ｔ,易知ｆ(ｔ) =ｔ3 1 997ｔ是奇函数 ,且在 ( -∞ , ∞ )上是增函数 .又由已知条件有 :ｆ(ｘ- 1 ) =ｆ( 1 -ｙ) ,所以ｘ - 1 =1 -ｙ ,由此得ｘ ｙ =2 .故ｘ ｙ=2 .例 …     

平行四边形的一个性质

<正>一、性质如图1, P为■ABCE所在平面上任一点,记PA=a,PB=b,PC=c,PD=d,AB=s,BC=t,BD=m,则m²-(s2-(s²+t2+t²)=(b2)=(b²+d2+d²)-(a2)-(a²+c2+c²).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m2).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m²+n2+n²=a2=a²+c2+c²+2bd.证明如图3,以BD为半径作⊙B,以CD为半径作⊙C,⊙B与⊙C的另一交点为D′,直线AD与⊙B、⊙C的另一交点分别为E、F.连结DD′、ED′、FD′,易知BC⊥DD′(连     

圆锥曲线的一个性质

由文 [1]可得圆锥曲线的一个性质 .定理　过圆锥曲线的焦点F的一条直线与这曲线相交于A ,B两点 ,M为F相应准线上一点 .则直线AM ,FM ,BM的斜率成等差数列 .证　对双曲线 x2a2 - y2b2 =1(a >0 ,b >0 ) ,记点A ,F ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(c ,0 ) ,(a2c ,m ) .设双曲线的极坐标方程为 ρ =ep1-ecosθ,点A的极坐标为 (ρ1,θ1) ,则无论点A在双曲线的左支还是在右支 ,都有 ρ1=ex1-a .于是AM的斜率为kAM =y1-mx1- a2c=e(y1-m)ex1-a =e(ρ1sinθ1-m )ρ1=e(epsinθ11-ecosθ1-m)ep1-ecosθ1=еpsinθ1+emcosθ1-mp .　　设点B的极角为…     

圆锥曲线的一个性质

笔者在进行圆锥曲线章节内容的教学时,发现圆锥曲线的一个性质:图1定理过圆锥曲线焦点弦的一个端点向相应的准线作垂线,垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应准线的垂线段的中点.如图1:AB为经过焦点F的焦点弦,l为相应的准线,过B作l的垂线,垂足为C,连AC,证明:AC经过FK的中点N.这个命题的证明可以用解析几何的方法证明,但为了体现圆锥曲线的统一性,给出如下的证明:证过A作l的垂线交l于D点.设圆锥曲线的离心率为e,则:BF=e·BC,AF=e·AD∵NFBC=AFAB,∴NF=AF·BCAB=e·AD·BCAB=AD·BFAB∵KNAD=CNCA=BFAB,∴KN=AD…     

等比数列的一个性质

文 [1 ]给出了等差数列的一个性质 :设 {an}是以 d为公差的等差数列 ,则有a1+ a2 +… + ann =am+ 1+ am+ 2 +… + an-mn - 2 m .本文运用类比的方法 ,得到等比数列的一个类似的性质 .性质　设 {an}是公比为 q( q>0 )的等比数列 ,则有( a1a2 … an) 1n =( am+ 1am+ 2 … an-m) 1n-2 m,其中 n >2 m.证明　当 n为奇数时 ,n- 2 m也为奇数 .( a1. a2 .… . an) 1n　 =( a1. a1q . a1q2 .… . a1qn-1) 1n　 =( an1. q1+ 2 + 3 +… + n-1) 1n,　 =( an1. qn( n-1)2 ) 1n =a1. qn-12 .( am+ 1. am+ 2 .… . an-m) 1n-2 m　 =( a1qm . a1qm+ 1.… . a…