对方程x~2/a~2+y~2/b~2=1中“x,y互换”的误解

先看一个例题 :两轴和坐标轴重合 ,一个顶点和一个焦点分别是直线ｘ + 3ｙ - 6 =0与坐标轴的交点 ,求此椭圆的方程 .错解 :直线ｘ + 3ｙ - 6 =0与两坐标轴的交点分别为Ａ(6 ,0 ) ,Ｂ(0 ,2 ) .若焦点在ｘ轴上 ,则椭圆半焦距ｃ =6 ,短半轴长ｂ =2 ,于是ａ2 =ｂ2 +ｃ2 =4 0 .故其方程为ｘ24 0 + ｙ24 =1. (1)若焦点在 ｙ轴上 ,则将 (1)中ｘ ,ｙ互换 ,得椭圆方程ｙ24 0 + ｘ24 =1(2 )错解分析　当焦点在ｘ轴上时 ,推出的方程(1)是正确的 .但焦点在 ｙ轴上时 ,得出的方程 (2 )就非所求了 .为什么呢 ?在方程 (2 )中 ,ａ =2 10 ,ｂ =2 ,则ｃ =6 .这…     

利用平行、垂直关系求直线方程

在直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式中都至少含两个待定常数 .但是 ,与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0平行的直线可表示为Ａｘ Ｂｙ ｍ =0 (ｍ≠Ｃ) ;与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0垂直的直线可表示为Ｂｘ -Ａｙ ｍ =0 ,其中只含一个待定系数ｍ .因此 ,利用直线与直线的平行或垂直关系 ,求直线方程比较便当 .例　正方形的中心在Ｃ( - 1,0 ) ,一条边所在的直线方程是ｘ 3ｙ - 5=0 ,求其它三边所在的直线方程 .解　如图所示 ,正方形ＥＦＧＨ的ＥＦ边所在的直线方程为ｘ 3ｙ - 5=0 ,则ＥＦ的对边所在的直线方程可表示为ｘ 3ｙ ｍ =0…     

浅谈用曲线系方程解题

在解平面解析几何题时,常常会遇到过两曲线交点求一新曲线方程的问题,使用曲线系方程解这类问题是一种比较好的方法,此方法具有思路清晰、运算简捷等优点。下面用几个例子说明以上观点。例1.求过两直线x-2y+3=0和x+2y-9=0的交点和原点的直线方程。解:过交点的直线系为 x-2y+3+λ(x+2y-9)=0。∴ (1+λ)x+(2λ-2)y+3-9λ=0。∵直线过原点(0,0),故得3-9λ=0,∴λ=1/3。∴直线方程为(1+1/3)x+(2·1/3-2)y+3-9·1/3=0, ∴ x-y=0为所求。     

平面解析几何中常见错误例谈

一、忽视截距为0的情况 例1 求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 错解1:设直线方程x/a+y/a=1将χ=2、y=3代人,得2/a+3/a=1,解得a=5故所求的直线方程为χ+y-5=0. 错解2:因为截距相等,所以直线的斜率k=±1所以直线的方程为χ+y-5=0或χ-y+1=0.     

巧用共焦点的有心圆锥曲线系方程解题

与椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1共焦点的圆锥曲线系方程为　　　　　　　　 ｘ2ａ2 -λ+ ｙ2ｂ2 -λ=1( )其中ａ >ｂ >0 ,λ <ａ2 ,且λ≠ｂ2 .当λ <ｂ2 时 ,方程 ( )表示椭圆 ;当ｂ2 <λ <ａ2时 ,方程 ( )表示双曲线 .对于焦点在 ｙ轴上的椭圆 ,亦有相应的方程与结论 .巧用上述方程解题 ,可减少不必要的许多中间环节 ,下面举一例说明 .例　给定椭圆 ｘ2ｂ2 + ｙ2ａ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,求与这个椭圆共焦点的双曲线 ,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大 ,并求出这个最大值 .解　设所求双曲线方程为ｘ2ｂ2 -λ+ ｙ2ａ2 -λ=1(ｂ2 <λ <ａ2 ) …     

圆锥曲线的定点弦性质

文 [1 ]给出下面三道命题 :命题 1　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,则直线ＰＱ必过定点Ｍ′(ｘ0 +2ｐ ,-ｙ0 ) ;命题 2　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ ,ＭＱ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｙ0 ;命题 3　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,若ａ≠ｂ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｙ0 ;若ａ =ｂ ,…     

两相交直线所成角的平分线方程

首先 ,我们看例 1.例 1　现有两直线 :ｘ + 2ｙ + 2 =0 ,2ｘ +ｙ + 2 =0 ,求这两直线交角的平分线的方程 .通过一般解法得出角平分线方程为 3ｘ + 3ｙ + 4=0或ｘ -ｙ =0 .但如果将这两方程相加或相减 :ｘ+ 2ｙ + 2 + 2ｘ +ｙ + 2 =0 3ｘ + 3ｙ + 4 =0 ;ｘ + 2ｙ +2 - 2ｘ -ｙ - 2 =0 ｘ -ｙ =0 ,也和上解相同 .那么是不是存在这么一个规律 :相交两直线的角平分线方程即为两直线方程和或差 ?对例 1加以研究分析发现ｋ1·ｋ2 =1,那么是不是所有两直线方程斜率之积为 1时都成立呢 ?答案是肯定的 ,下面是简要论证过程 :若两直线斜率的乘积为 1…     

关于根的判别式应用的课堂讨论

研究曲线的交点问题 ,就是探求由它们的方程所组成的方程组的实数解的问题 ,若该方程组消元后能转化为一元二次方程 ,常考虑运用根的判别式来解决 .运用这种方法 ,同学们产生过困惑吗 ?请参加我们的课堂讨论 .问题　(1)求直线 2ｘ -5ｙ + 5 =0与双曲线 ｙ =-10ｘ的交点 ;(2 )若圆ｘ2 + ｙ2 =1与双曲线 ｘ29ｋ2 -ｙ24ｋ2=1没有公共点 ,求实数ｋ的取值范围 .问题 (1)是新教材第二册 (上 )第 72页练习题 4,联立直线与双曲线的方程组成的方程组 ,无论消ｘ或 ｙ均有Δ <0 ,故交点不存在 .问题 (2 )解答时则出现了分歧 .方案一联立圆与双曲线的方…     

一道习题的变式教学

在数学教学中 ,若注重对课本习题进行变式训练 ,不但可以抓好双基 ,而且还可以提高学生的数学能力 .下面是一道课本总复习参考题的变式教学的一点探讨 .题　 (人教版《解析几何》总复习题第 13题 )求曲线ｙ2 =4 - 2ｘ上与原点距离最近的点Ｐ的坐标 .变题 1　在曲线 ｙ2 =4 - 2ｘ上求一点Ｍ ,使此点到Ａ(ａ ,0 )的距离最短 ,并求最短距离 .解　设点Ｍ的坐标为 (ｘ ,ｙ) ,则|ＯＰ | =(ｘ -ａ) 2 + ｙ2=(ｘ -ａ) 2 - 2ｘ + 4=(ｘ -ａ - 1) 2 + 3- 2ａ(ｘ≤ 2 ) .若ａ≥ 1,则当ｘ =2时 ,|ＭＡ| ｍｉｎ=|ａ - 2 | ,这时点Ｍ的坐标为 (2 ,0 ) ;若…     

直线方程x0x/a2-y0y/b2=1的几何意义

文 [1 ]探讨了直线方程ｘ0 ｘａ2 +ｙ0 ｙｂ2 =1的三种几何意义 ,读后深受启发 ,作为文 [1 ]的继续本文探讨直线方程ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1的几何意义 .定理 1　若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 ,则直线ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1是经过点Ｐ的双曲线的切线 .这只要在已知条件下证明联立方程 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2= 1与ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1消去ｙ或ｘ后的一元二次方程的判别式等于零即可 .定理 2　若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ >0 )的外部 (不含焦点的部分 ) ,且点Ｐ不在双曲线的渐近线上 ,过点Ｐ引双…     

对"椭圆和双曲线第二定义"教材处理的几点建议

人民教育出版社出版的高中数学高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 ) (以下简称课本 )第 78页 ,是这样引入椭圆第二定义的 :图 2 -18“例 3　点Ｍ(ｘ ,ｙ)与定点Ｆ(ｃ,ｏ)的距离和它到定直线Ｌ:ｘ =ａ2ｃ 的距离的比是常数ｃａ(ａ >ｃ>0 ) .求点Ｍ的轨迹 (图 2 -1 8) .解　设ｄ是点Ｍ到直线Ｌ的距离 .根据题意 ,所求轨迹就是集合Ｐ =Ｍ ＭＦｄ =ｃａ ,由此得 (ｘ-ｃ) 2 +ｙ2ａ2ｃ -ｘ=ｃａ 将上式化简 ,得 :(ａ2 -ｃ2 )ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 (ａ2 -ｃ2 ) ,设ａ2 -ｃ2 =ｂ2 (ｂ>0 ) ,就可化成ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 .这是椭圆的标准方程 ,所…     

例谈复数在解析几何中的应用

1　圆锥曲线的旋转例 1　将椭圆 ｘ22 5 + ｙ29=1绕其左焦点按逆时针方向旋转 90°后得曲线Ｃ ,求曲线Ｃ的方程 .解　设Ｐ(ｘ1,ｙ1)为椭圆 ｘ22 5 + ｙ29=1上任意一点 ,旋转后所对应的点为Ｑ(ｘ ,ｙ) ,因椭圆左焦点为(- 4,0 ) ,则 (ｘ + ｙｉ) + 4=[(ｘ1+ ｙ1ｉ) + 4]ｉ,∴ ｘ1=ｙ - 4,ｙ1=ｘ + 4.∴ (ｙ - 4) 22 5 + (ｘ + 4) 29=1即为曲线Ｃ的方程 .图 1　例 2图例 2　正方形ＡＢＣＤ的一条边ＡＢ在直线 ｙ =ｘ+ 4上 ,Ｃ ,Ｄ在抛物线ｙ2 =ｘ上 ,求正方形的边长 .解　将抛物线及直线绕原点逆时针旋转 4 5° ,得抛物线方程 (ｙ -ｘ) 2 =2 (…     

一类解析几何问题的简洁求法

《圆锥曲线方程》一章是解析几何的重点和难点 ,圆锥曲线与直线的位置关系更是高考中永恒的热点 ,这类问题有一种常见模式 :一条直线与圆锥曲线交于Ａ ,Ｂ点 ,且ＯＡ⊥ＯＢ .对于这类问题 ,下面介绍一种简洁解法 .例 1　设双曲线的顶点是椭圆 ｘ23+ ｙ24 =1的焦点 ,该双曲线又与直线 15ｘ - 3ｙ + 6 =0交于Ａ ,Ｂ两点 ,且ＯＡ⊥ＯＢ(Ｏ为原点 ) ,求此双曲线的方程 .解法 1　已知椭圆的焦点 (0 ,± 1) ,即是双曲线的顶点 ,因此设双曲线方程为 ｙ2 -ｍｘ2 =1(ｍ >0 ) ,联立直线方程 15ｘ - 3ｙ + 6 =0与双曲线方程 ｙ2-ｍｘ2 =1消去 ｙ ,得53-…     

等腰梯形的一个优美特性

如果称椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1与双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理　等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明　如图 ,设梯形ＡＢＣＤ的两腰与两条对角线分别相交于点Ｅ、Ｆ ,以ＥＦ中点为原点 ,ＥＦ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ与Ｂ、Ｃ与Ｄ均关于ｘ轴对称设经过点Ａ ,Ｅ ,Ｂ ,Ｆ的椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,Ａ (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ1 ,-ｙ1 ) ,由Ｆ(ａ ,0 ) ,Ｅ(-ａ ,0 )得直线ＢＤ、…     

判别式法求值域要注意的问题

对于形如 ｙ =ａ1 ｘ2 +ｂ1 ｘ +ｃ1 ａ2 ｘ2 +ｂ2 ｘ +ｃ2(ａ1 ａ2 ≠ 0 )的函数的值域 ,我们一般采用判别式法求解 ,但在用这种方法求解的时候 ,有一个问题需要加以注意 ,否则 ,将会得到错误的结论 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1的值域 .错解　将原函数变形ｙ(ｘ2 -1) =ｘ2 -3ｘ + 2 ,整理成关于ｘ的方程(ｙ -1)ｘ2 + 3ｘ -(ｙ + 2 ) =0 ,1.ｙ -1=0 ,即ｙ =1,也即　ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1=1,该方程无解 ,故ｙ≠ 1.2 .ｙ -1≠ 0 ,即 ｙ≠ 1,得到关于ｘ的一元二次方程 .要使方程有解 ,则Δ =32 + 4 (ｙ -1) (ｙ + 2 )≥ 0 ,即 (2ｙ + 1…     

构造线段,虚拟交点,探求问题

众所周知 ,二元一次方程是一次函数 ｙ=ｋｘ ｂ(或ｘ =ｘ0 )定义域ｘ∈Ｒ ,如限制ａ≤ｘ≤ｂ ,则图象为线段 .线段与直线 ,这对定义域限制与放开的矛盾 ,在高中数学解题中能达到和协的统一 .1　与定比分点联系 ,虚拟交点 ,求变量图 1　例 1图的范围例 1　直线ｌ过点Ｐ(-1,2 ) ,且与以Ａ(-2 ,-3) ,Ｂ(3 ,0 )为端点的线段ＡＢ相交 ,求直线ｌ的斜率范围 .解　设直线方程为 ｙ -2 =ｋ(ｘ 1) .虚拟与线段ＡＢ的交点Ｍ ,且Ｍ分ＡＢ比为λ ,λ≥ 0 ,则Ｍ (-2 3λ1 λ ,-31 λ) .代入直线方程化简有ｋ =2λ 5-4λ 1,∴ｋ≥ 5或ｋ <-12 .注…     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

从两圆的交点弦到等幂线

这是教材上的一道习题: 求经过两条曲线x~2 y~2 3x-y=0①和3x~2 3y~2 2x y=0②交点的直线方程。启蒙阶段,可先解交点,后求直线方程: 由①×3-②,可得7x-4y=0③又由①、②联立解之得:x_1=0,y_1=0;x_2=-4/13,y=-7/13。由此得所求的直线方程:7x-4y=0 ④比较③、④,发现由③到④是条回路,于是回头研究式③为所求的道理;若(x_1、y_1)、(x_2、y_2)是两曲线的交点,则应同时满足①、②两式,从而满足③式。即方程③表示的直线过两曲线的交点,又因这样的直线只有一条,故直线③为所求。     

课外练习

高一年级1.已知关于ｘ的不等式 (ｘ -1)ｌｏｇ3ａ2 -6ｘｌｏｇ3ａ +ｘ + 1>0在 [0 ,1]上恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .(浙江绍兴市第一中学 (3 12 0 0 0 )　虞金龙 )2 .某人从 1月起 ,每月第 1天存入 10 0元 ,到12月最后一天取出全部本金及其利息 :已知月利率是 0 .165 % ,税率 2 0 % ,那么实际取出多少钱 ?(江苏苏州市苏苑中学 (2 15 12 8)　周　松 )3.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 -1(ｘ≥ 1)的图像是ｃ1 ,曲线ｃ2 与ｃ1 关于直线ｙ =ｘ对称 .(1)求曲线ｃ2 的方程ｙ =ｆ(ｘ) ,(2 )设函数ｙ =ｇ(ｘ)的定义域为Ｍ ,ｘ1 ,ｘ2∈Ｍ且ｘ1 ≠ｘ2 .求证 :|…     

圆锥曲线间的有趣变换

文 [1 ]中给出了双曲线的一个有趣的性质 ,受此启发 ,进一步研究 ,得到圆锥曲线间的一个有趣的变换 .定理 1　设椭圆Ｃ :ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,ＰＰ′是Ｃ上的垂直于ｘ轴的一条弦 ,Ａ(-ａ,0 ) ,Ａ′(ａ,0 )是Ｃ的两个顶点 ,则直线ＰＡ与Ｐ′Ａ′的交点在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 .证明　设Ｐ(ａｃｏｓｔ,ｂｓｉｎｔ) ,则Ｐ′(ａｃｏｓｔ,-ｂｓｉｎｔ) ,直线ＰＡ :ｙｂｓｉｎｔ=ｘ+ａａｃｏｓｔ+ａ (1 )直线Ｐ′Ａ′:ｙ-ｂｓｉｎｔ=ｘ-ａａｃｏｓｔ-ａ (2 )由 (1 ) ,(2 )解得 ｘ=ａｓｅｃｔ,ｙ=ｂｔａｎｔ.所以ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1…