线性规划中求整数最优解的五种方法

“线性规划”是新教材的新增内容 .在求最优解时 ,通过平移直线的方法得出理论最优解 ,学生能理解和掌握 ;但是 ,如果要求出整数最优解 ,多数学生往往无法下手 ,屡屡出错 .针对这种情况 ,本文将就一个引例 ,介绍五种求整数最优解的方法 ,供大家参考 .为叙述方便 ,记理论最优解时目标函数对应的直线Ax +By +C =0为l0 .图 1　引例用图引例　已知x ,y满足4x +3y - 2 0≤ 0 ,x - 3y - 2≤ 0 ,x ,y∈N+ ,求s =7x +5 y的最大值 .分析 :首先我们将x ,y∈N+ 改成x ,y >0 ,画出可行域 (如图 1) ,通过画图发现直线 4x +3y - 2 0=0 ,x - 3y - 2 =0的…     

一个不等式的推广

文 [1]提出了一个对称不等式 :已知ｘ ,ｙ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ =1,则　　　 2 <(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ)≤ 94 (1)这个不等式自然使人想到三个变量的情形 .本文用微分法证明 (1)的一个推广 :已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ +ｚ =1,则(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ) (1ｚ-ｚ)≥ (83) 3(2 )证　由对称性 ,不妨设ｘ≤ｙ≤ｚ ,则 0 <ｘ + ｙ≤23,13≤ｚ <1,0 <ｘｙ≤ 19.由ｘ + ｙ +ｚ =1得ｚ =1-ｘ - ｙ ,代入 (2 ) ,整理得2 7(1-ｘ2 ) (1- ｙ2 ) (2 -ｘ - ｙ) (ｘ + ｙ)≥ 5 12ｘｙ·(1-ｘ - ｙ) ,两边取对数 ,欲证之式等价于ｆ(ｘ ,ｙ) =ｌｎ2 7-ｌｎ5 12 +ｌ…     

综合题新编选登

题 5 6　已知 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ｘ ,当点Ｍ (ｘ ,ｙ)在ｙ =ｆ(ｘ)的图象上运动时 ,点Ｎ(ｘ - 2 ,ｎｙ)在函数 ｙ=ｇｎ(ｘ)的图象上运动 (ｎ∈Ｎ) .1)求 ｙ =ｇｎ(ｘ)的表达式 ;2 )求集合Ａ ={ａ|关于ｘ的方程 ｇ1(ｘ) =ｇ2 (ｘ - 2 +ａ)有实根 ,ａ∈Ｒ} ;3)设Ｈｎ(ｘ) =(12 ) ｇｎ(ｘ) ,函数Ｆ (ｘ) =Ｈ1(ｘ) - ｇ1(ｘ) (0 <ａ≤ｘ≤ｂ)的值域为 [ｌｏｇ252ｂ +2 ,ｌｏｇ24 2ａ +2 ],求实数ａ ,ｂ的值 .解　 1)由 ｙ =ｆ(ｘ) ,ｎｙ =ｇｎ(ｘ - 2 ) 得 ,ｇｎ(ｘ - 2 ) =ｎｆ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 ｘ ,∴ ｇｎ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 (ｘ +2 )　 (ｘ >- 2 …     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…     

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题 2 6　已知 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 3ｃｏｓ2 ｘ + 32 ,ｘ∈ [0 ,π],当方程 ｆ(ｘ) =ｍ有两个不相等的实根时 ,1)求ｍ的取值范围 ;2 )求方程的两实根之和 .解　 1) ｆ(ｘ) =12 ｓｉｎ2ｘ - 3·1+ｃｏｓ2ｘ2 + 32=ｓｉｎ(2ｘ - π3) .又∵ｘ∈ [0 ,π],　∴ - π3≤ 2ｘ - π3≤5π3.图 1　题 2 6图在同一坐标系中 ,作出函数 ｙ =ｓｉｎｕ(- π3≤ｕ≤5π3)的图象和直线 ｙ =ｍ的图象 .易见 ,两图象有两个公共点时 ,ｍ的取值范围为(- 32 ,1)∪ (- 1,- 32 ) ,又由于ｕ =2ｘ - π3是ｘ与ｕ的一一对应 ,故上述范围即为所求 .2 ) [方法 1…     

二元不等式（组）解集的图示及应用

对于不等式 ｇ(ｘ ,ｙ)≤ 0 ,或 ｇ(ｘ ,ｙ)≥0 ,若曲线 ｇ(ｘ ,ｙ) =0将平面分成两部分 ,则不等式的解集通常是其中的一部分 ,利用平面上的点集表示二元不等式 (组 )的解集 ,可为求以二元不等式 (组 )为约束条件的某些二元函数的最值提供方便 ,新教材中关于线性规划问题的求解正是这一思想的体现 .例 1　已知ｘ + ｙ≤ 4ｘ - 2 ｙ≤ 03ｘ - ｙ≥ 0( 1 )( 2 )( 3)求ｘ2 + ｙ2 的最大值 .图 1　例 1图解　如图 1 ,不等式 ( 1 )的解集是直线ｘ+ ｙ =4下方的半平面 .不等式 ( 2 )的解集是直线ｘ - 2 ｙ =0上方的半平面 .不等式 ( 3)的解集是直…     

2002年第二期初中数学问题解答

一.当ｘ2=3ｘ-9时,试求ｘ3的值.解:∵ｘ2=3ｘ-9,∴ｘ3=ｘ2·ｘ=(3ｘ-9)ｘ=3ｘ2-9ｘ=3(3ｘ-9)-9ｘ=9ｘ-27-9ｘ=-27.因此,当ｘ2=3ｘ-9时,ｘ3=-27.二.设ｘ+ｙ+ｚ=ａ,则ｘ2+ｙ2+ｚ2≥ａ23.证明:∵ｘ+ｙ+ｚ=ａ,∵(ｘ+ｙ+ｚ)2=ａ2.也即ｘ2+ｙ2+ｚ2+2(ｘｙ+ｙｚ+ｘｚ)=ａ2.∴ｘ2+ｙ2+ｚ2=ａ2-2(ｘｙ+ｙｚ+ｘｚ).　①又∵(ｘ-ｙ)2≥0,　(ｙ-ｚ)2≥0,　(ｚ-ｘ)2≥0,∴(ｘ-ｙ)2+(ｙ-ｚ)2+(ｚ-ｘ)2≥0.同理得2(ｘ2+ｙ2+ｚ2)≥2ｘｙ+2ｙｚ+2ｘｚ.　②①+②得3(ｘ2+ｙ2+ｚ2)≥ａ2.因此ｘ2+ｙ2+ｚ2≥ａ23.三.若ａ,ｂ为整数,|ａ|≠|ｂ|,则ａｂ+ｂａ不可能是…     

2003年第一期初中数学问题解答

一、求方程ｘ2 - 3ｘ + ｐ =0的整数根 ,其中ｐ为质数 .解 :令△ =( - 3) 2 - 4ｐ≥ 0 ,则 4ｐ≤ 9.∴ ｐ≤ 2 14 .∵ ｐ为质数 ,∴ｐ =2 .∴ｘ2 - 3ｘ + 2 =0 .解得ｘ1 =1,ｘ2 =2 .二、实数ｘ与ｙ,使得ｘ + ｙ,ｘ -ｙ ,ｘｙ ,ｘｙ 四个数中的三个有相同的数值 .求出所有具有这样性质的数对(ｘ ,ｙ) .解 :由于 ｘｙ 有意义 ,所以ｙ≠ 0 ,从而ｘ + ｙ≠ｘ -ｙ .因此 ,ｘｙ =ｘｙ ,即ｘｙ2 -ｘ =0 .所以ｘ =0或ｙ =± 1.( 1)若ｘ =0 ,则由ｘｙ =ｘ +ｙ或ｘｙ =ｘ -ｙ得 ｙ =0 ,这样与 ｙ≠ 0矛盾 .( 2 )若 ｙ =1,则由ｘｙ =ｘ + ｙ得ｘ =ｘ + …     

破常规巧解三元一次方程组

解三元一次方程组 ,最基本最常用的方法是 :代入法和加减法 .我在学习这部分内容时 ,发现课本上有两道题 ,可破常规巧解 .解方程组ｘ∶ｙ=3∶2 ,ｙ∶ｚ =5∶4,ｘ +ｙ +ｚ=6 6 .(义教《代数》第一册 (下 )Ｐ3 1Ｂ组 1 ( 1 ) )解析　原方程组中前两个方程只含两个未知数 ,可用“双代入法” ,即把这两方程中的两个未知数都用第三个未知数表示 ,然后代入到第三个方程中去求解 .解　原方程组可化为2ｘ -3 ｙ=04ｙ -5ｚ =0ｘ +ｙ +ｚ=6 6①②③由①得　ｘ =32 ｙ ④由②得　ｚ=45ｙ ⑤把④、⑤分别代入③得32 ｙ +45ｙ +ｙ=6 6 ,解得　ｙ =2 0 .把…     

课外练习

高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京　含　笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的…     

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题 1 1　已知复数 -4 ,4,ｚ0 分别对应复平面内的点Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,ｚ0 不在实轴上 ,|ｚ0 |=8.1 )求△ＡＢＣ的外接圆圆心Ｍ的轨迹Ｃ ;2 )若Ｎ是圆 (ｘ -4 ) 2 ( ｙ -ｂ) 2 =4上的动点 ,求 |ＭＮ|ｍｉｎ=ｆ(ｂ)的最大值 ;3 )若二次方程 2ｘ2 ( 2ｍ 4 )ｘ ｍ2 4=0有实根 ,且抛物线 ( ｙ-ｎ) 2 =92 (ｘ ｍ)与轨迹Ｃ有两个不同的交点 ,求实数ｎ的取值范围 .解　 1 )设ｚ0 =ｘ0 ｙ0 ｉ (ｘ0 ,ｙ0 ∈Ｒ) ,则ＡＣ的中点坐标为 ( ｘ0 -42 ,ｙ02 ) ,∴ＡＣ边的中垂线方程为ｙ-ｙ02 =-ｘ0 4ｙ0(ｘ -ｘ0 -42 ) ( 1 )又ＡＢ边的中垂线方程为ｘ =0 …     

例谈培养学生思维的深刻性

思维的深刻性在思维品质中的地位尤为重要 ,许多文章已有专门讨论 .这里笔者想从自己的教学实际出发 ,通过几个具体的例子 ,来体现一下学生思维深刻性的培养 .1　从学生的巧解到柯西不等式的均值不等式证明　　在一次测试中 ,我们出了这样一道题 :已知 :ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ+且ｘ +ｙ+ｚ =1求证 :1ｘ +4ｙ +9ｚ ≥ 3 6有个学生给出了如下的证明 :∵ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ+　∴由均值不等式可有 :1ｘ +3 6ｘ≥ 1 2 ;4ｙ+3 6ｙ≥ 2 4;9ｚ+3 6ｚ≥ 3 6.三式相加整理即得　 1ｘ+4ｙ +9ｚ ≥ 3 6此法不同于其它证法 ,相当巧妙 !是否具有一般性 ?讲评时 ,笔者…     

课外练习

初一年级1.若 |ｘ +ｙ -9|与 (2ｘ -ｙ + 3 ) 2 的值互为相反数 ,试确定 |ｘ -ｙ| 2 0 0 3的个位数 .(江苏如东县掘港钲北街 2 74号 (2 2 64 0 0 )　章　枚 )2 .解方程 :ｘ1× 2 + ｘ2× 3 +… + ｘ2 0 0 1× 2 0 0 2 =2 0 0 1.(安徽岳西县城关中学 ( 2 4 6 6 0 0 )　李庆社 )3 .已知ｘｙｚ≠ 0 ,ｘ + ｙ +ｚ =0 .求ｘ(1ｙ+ 1ｚ) + ｙ(1ｚ+ 1ｘ) +ｚ(1ｙ+ 1ｘ)的值 .(陕西千阳县崔家头中学 (72 110 4)常宝兴 )初二年级1.计算 2 -12 + 3 -26+ 4-312 +… +10 0 -99990 0 .(山东肥城市仪阳中学 (2 7160 2 )　宿传安 )2 .解方程组　4ｘ21+ 4ｘ2 …     

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题 1　已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解　∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ…     

借“1”巧证不等式

“1”是最小的自然数 ,也是最简单的一个数 .它在三角函数中非常活跃 ,它在不等式的证明中也功不可没 .在不等式的证明中 ,如果能够充分发挥“1”的桥梁作用 ,有时有出奇制胜之效 .现举例说明如下 .1　借系数中的“1” .例 1　已知ｘ ,ｙ∈Ｒ 且ｘ3 ｙ3=2 ,求证 :ｘ ｙ≤ 2 .证　∵ｘ ,ｙ∈Ｒ 且ｘ3 ｙ3=2 ,∴ｘ ｙ =ｘ· 1· 1 ｙ· 1· 1≤ ｘ3 13 133 ｙ3 13 133 =ｘ3 ｙ3 43 =2 .当ｘ =ｙ =1时等号成立 .例 2　设ｘ ｙ ｚ =ａ (ａ >0 ) ,求证 :ｘ2 ｙ2 ｚ2 ≥ａ23 .证　由柯西不等式得 (ｘ·1 ｙ·1 ｚ·1) 2 ≤ (ｘ2 ｙ2 ｚ…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (意大利 1995年数学奥林匹克 )求出所有正整数ｘ ,ｙ ,使得ｘ2 615=2 ｙ ( 1)解　对于非负整数ｋ ,2 2ｋ 1=4 ｋ·2≡ ( - 1) ｋ·2≡ 2或 3(ｍｏｄ 5) ,又∵ｘ2 ≡ 0或 1或 4 (ｍｏｄ 5) ,∴ ｙ必须是偶数 .令 ｙ =2ｚ ,代入 ( 1)得( 2 ｚ-ｘ) ( 2 ｚ ｘ) =615=3× 5× 4 1∴　　　 2 ｚ ｘ =6152 ｚ-ｘ =1( 2 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =2 0 52 ｚ-ｘ =3 ( 3)　　或　　　 2 ｚ ｘ =12 32 ｚ-ｘ =5( 4 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =4 12 ｚ-ｘ =15( 5)显然 ,方程组 ( 2 ) ,( 3) ,( 5)无正整数解 .由方程组 ( 4 )得 :2 ｚ=64,∴ｚ =6,ｘ =59,…     

2003年第二期初中数学问题解答

一、分解因式 :ｘ3+ｘ2 ｙ -ｘｙ2 -ｘｚ2 +ｙｚ2 -ｙ3.解 :原式 =(ｘ3+ｘ2 ｙ) -(ｘｙ2 +ｙ3) +(ｚ2 ｙ-ｘｚ2 )=(ｘ +ｙ)ｘ2 -ｙ2 (ｘ +ｙ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ +ｙ) (ｘ2 -ｙ2 ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ +ｙ) 2 (ｘ -ｙ) -ｚ2 (ｘ -ｙ)=(ｘ -ｙ) (ｘ +ｙ +ｚ) (ｘ +ｙ -ｚ) .二、方程 2ｘ -1 +ｘ -2 =ｘ +1的实数解的个数是多少 ?解 :令 2ｘ -1 =0 ,ｘ -2 =0 ,ｘ +1 =0 ,解得ｘ1=12 ,ｘ2 =2 ,ｘ3=-1 .则上述三点把实数集合分为 4个区间 :( -∞ ,-1 ) ,〔 -1 ,12 ) ,〔12 ,2〕 ,( 2 ,+∞ ) .经考查 ,在〔12 ,2〕上 ,方程恒成立 ,因此原方程的实…     

不定方程x^2＋y^2＋z^2＋w^2正整数解的结构与表示

对于四元不定方程ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =ｗ2 ,显然 ,若 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =(ｋｘ0 ,ｋｙ0 ,ｋｚ0 ,ｋｗ0 )(ｋ≠ 0 )是它的一个解 ,则 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ ) =(ｘ0 ,ｙ0 ,ｚ0 ,ｗ0 )也必是它的一个解 .故只须考虑 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =1 ,即ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ四数互质的情况 .定理 1　 (解的结构 )若正整数ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =ｗ2 ,且 (ｘ ,ｙ ,ｚ ,ｗ) =1 ,则ｘ ,ｙ ,ｚ三个数中 ,必定是一个奇数、二个偶数 .证　ｘ ,ｙ ,ｚ三个数的奇偶性 ,共有四种情况 :①全为偶数 ;②全为奇数 ;③二奇一偶 ;④一奇二偶 .①若ｘ ,ｙ ,ｚ全是偶数 ,则ｗ也…     

上期课外练习参考答案

初一年级1.2 0 0 2 <2 0 2 0 <2 2 0 0 .2 .∵ 74ｎ(ｎ为自然数时 )的末两位数字是 0 1,74ｎ + 1 末两位数字是 0 7,74ｎ + 2 末两位数字是 49,74ｎ + 3末两位数字是 43 ,而 72 0 0 3=73× 72 0 0 0 =73× 74× 50 0 的末两位数字应是 43 ,40 0 (1+ 74 + 78+… + 72 0 0 0 ) -72 0 0 3的末两位数字是 5 7,故 70 + 7+ 72 +… + 72 0 0 2 的末两位数字ａｂ =5 7.3 .当ｘ >0时 ,解得 ｘ =1,ｙ=3 .当ｘ≤ 0时 ,无解 .初二年级1.ｘ =2ｚ21+ｚ2 ,ｙ =2ｘ21+ｘ2 ,ｚ =2 ｙ21+ ｙ2 .分别取倒数得2ｘ=1+ 1ｚ2 ,2ｙ=1+ 1ｘ2 ,2ｚ=1+ 1ｙ2 .(1)(2 )(3 )…     

用均值不等式求“最值”须注意的几点

利用均值不等式求最值要注意使用的条件 .下面试通过几例进行剖析 .一、正数是前提例 1已知ｘ∈Ｒ ,求函数ｙ=ｘ+1ｘ的最值 .错解　由ｘ +1ｘ≥ 2 ,得函数ｙ的最小值为 2 .(ｘ =1时取到等号 )评析　错误的原因是误把ｘ当成了正数 .在利用均值不等式求最值时 ,必须首先搞清给定的数或式是否是正的 ,如果是负的 ,必须先变成正的 .二、定值是关键例 2　已知 0 <ｘ <1 ,求函数ｙ =ｘ( 1 -ｘ) 2 的最大值 .错解　∵　ｘ( 1 -ｘ) 2 ≤ [ｘ +( 1 -ｘ) 22 ]2 ,∴　当ｘ =( 1 -ｘ) 2 ,即ｘ =3 -52 时 ,ｘ+( 1 -ｘ) 22 =3 -52 为定值 .∴　函数ｙ=ｘ( …