一道2013年联赛题的另解

<正>题目(2013年全国初中数学联赛试题)已知实数a,b,c,d满足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.本刊5月下的参考答案同时采用了换元法和夹逼法,意境高,技巧性强.下面提供另两种常规解答,供学习参考.解法1由条件得(2a2+3c2)(2b2+3d2)=36,即4a2b2+6a2 d2+6b2c2+9c2 d2=36.由条件(ad-bc)2=6得a2 d2+b2c2-2abcd=6,∴6a2 d2+6b2c2=36+12abcd.∴4a2b2+12abcd+9c2 d2=0,∴(2ab+3cd)2=0,∴2ab=-3cd.再由条件得2(a2-b2)=-3(c2-d2),上面两式相乘得cd(a2-b2)=ab(c2-d2),     

2004年全国高中数学联赛试题及参考答案

由中国数学会主办,海南省数学会承办的2004年全国高中数学联赛及其加试于2004年10月17日(星期日)上午举行.为了使大家在第一时间了解有关信息,我们计划在《中学生数学》(高中版)2004年11期和12期分别刊登联赛试题及参考答案.加试试题及参考答案.     

2002年全国高中数学联赛试题及参考答案

由中国数学会主办,吉林省数学会承办的2002年全国高中数学联赛及其加试于2002年10月13日(星期日)上午举行.为了使大家在第一时间了解有关信息,我们计划在今年11期和12期《中学生数学》上分别刊登联赛试题及参考答案、加试试题及参考答案,而在明年上半年分期刊登“2002年全国高中数学联赛光荣榜”,公布2002年全国高中数学联赛赛区一等奖获奖名单. (中国数学会普及工作委员会)     

一道联赛题的另解

<正>题目(2015年全国初中数学联赛第二试(B)试题)若正数a,b满足ab=1,求M=1/(1+a)+1/(1+2b)的最小值.解因为a,b是正数,所以M=1/(1+a)+1/(1+2b)>0.由已知条件,得方程组{ab=1,M=1/(1+a)+1/(1+2b)     

巧解一道联赛试题

<正>试题2013年全国初中数学联赛二试题(1)、(3)若正数a、b、c满足(b2+c2-a2/2bc)2+(c2+a2-b2/2ca)2+(a2+b2-c2/2ab)2=3,求代数式b2+c2-a2/2bc+c2+a2-b2/2ca+a2+b2-c2/2ab的值.解由原式得     

2002年全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里) 1、设a相似文献   

2014年全国高中数学联赛加试第一题的证法探究

2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题：设实数a,b,c满足a＋b＋c=1,abc〉0．求证：ab＋bc＋ca〈√abc/2＋1/4.本文探究这道试题的几种解法,供读者参考。     

一道2013年全国初中数学联赛题的另解

2013年全国初中数学联赛试题中有如下一道条件求值问题:若正数a、b、c满足b2+c2-a22()bc2+c2+a2-b22()ca2+a2+b2-c22()ab2=3,求代数式b2+c2-b22bc+c2+a2-b22ca+a2+b2-c22ab的值.本刊2013年5月下第28页给出了组委会提供的反证法,但是一般学生不易想到,现在提供一种大多数学生想得到,易操作的因式分解法.供参考与欣赏.解易知条件(b2+c2-a22bc)2+(c2+a2-b22ca)2+(a2+b2-c22ab)2-3=0.[(b2+c2-a22bc)2-1]+[(c2+a2-b22ca)2-1]+[(a2+b2-c22ab)2-1]=0.(b2+c2-a22bc+1)(b2+c2-a22bc-1)+(c2+a2-b22ca+1)(c2+a2-b22ca-1)+(a2+b2-c22ab+1)(a2+b2-c22ab-1)=0.     

2014年全国高中数学联赛加试第一题及其“根”的探究

一、赛题的"根"2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题(以下简称"赛题"):设实数a,b,c满足a+b+c=1,abc>0,求证:bc+ca+ab<1/4+(abc)(1/2)/2.(1)看赛题,笔者自然而然回想起了文1所述的一道竞赛题:(2010年全国高中数学联赛广东预赛第3题,以下简称"试题")设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:bc+     

八年级数学(华东师大版)第一学期期末自测题

A组一、选择题 (每小题 2分 ,共 2 0分 )1 .下列计算正确的是 (　　 ) .A .x3 ·x2 =x6　　　　B .(a3 ) 2 =a5C .(ab2 ) 3 =ab6D .2x4·3x4=6x82 .下列各式中 ,不能运用乘法公式进行计算的是(　　 ) .A .( 3a+4b) ( 3b -4a)　B .(a+0 .5 ) (a -12 )C .(x +y) ( -x -y)D .(a2 +b2 ) (a2 +b2 )3 .下列现象不属于平移现象的是 (　　 ) .A .滑雪运动员在平坦的雪地上直线滑行B .大楼电梯上上下下迎送乘客C .电风扇叶片的旋转D .飞机起飞前在轨道上加速滑行4.下列说法正确的是 (　　 ) .A .抛掷瓶盖出现正面的机会与抛掷硬币出现正面的机…     

诡辩一则--对数值是存在还是不存在

题目　已知实数 a、b满足 a + b =- 1 0 0 ,ab=1 ,问 lga2b+ lgb2a与 lg( 1a+ 1b)的值存在吗 ?若存在求出值来 ,若不存在请说明理由 .解　 lga2b+ lgb2a与 lg( 1a+ 1b)的值均存在 .lga2b+ lgb2a =lg( a2b .b2a) =lg( ab)=| lg1 | =0 ,或　 lga2b+ lgb2a =lga2 - lgb + lgb2 - lga=2 lga - lgb + 2 lgb - lga =lga + lgb =lg( ab) =0 .lg( 1a + 1b) =12 lg( 1a + 1b) 2 =12 lg( a + bab ) 2 =12 lg1 0 0 2 =12 × 4 =2 .诡辩揭密由已知条件 a+ b=- 1 0 0 <0 ,ab=1 >0可知 :实数 a、b均为负数 .从而　 a2b<0 ,b2a <0 ,1a + 1b <0 ,所以 lga2b+…     

海南省2003年中等学校招生考试数学科试题

(本试题满分 1 2 0分 ,考试时间 1 2 0分钟 )　　一、选择题 (本大题满分 2 4分 ,每小题 2分 )1 .计算 3 +( -5 )的结果是 (　 ) .A .2　　　B . -2　　　C .8　　　D . -82 .已知x=-1是一元二次方程x2 +mx+1 =0的一个根 ,那么m的值是 (　 ) .A .0　　　B .1　　C .2　　D . -23 .下列各式中 ,不一定成立的是 (　 ) .A .(a +b) 2 =a2 +2ab+b2B .(b-a) 2 =a2 -2ab +b2C .(a +b) (a-b) =a2 -b2D .(a -b) 2 =a2 -b24.如图 ,在 ABCD中 ,已知∠ABC =60°,则∠BAD的度数是 (　 ) .A .60°　　B .1 2 0°　　C .1 5 0°　　D .无法确定…     

一道世界数学团体锦标赛试题的探究

<正>1问题呈现(2017年世界数学团体赛不等式试题)已知a,b>0满足a+2b=1,求a+ab(1/2)的最大值.因为ab(1/2)=((6(1/2)-2)/2*a·(6(1/2)+2)b)(1/2)≤((6(1/2)-2)/2*a+(6(1/2)+2)b)/2.     

一元二次方程有根“1”的条件的应用续例

本刊1984年第二期发表了《一元二次方程有根“1”的条件的应用》一文,本文再举数例加以补充说明, 一、利用“若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,则有a+b+c=0”的结论证题。例1、若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,求证:a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3证明:∵ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,∴a+b+c=0, 即有c=-(a+b)。∴a~3+b~3+c~3=a~3+b~3-(a+b)~3=-3a~2b-3ab~2=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc两边同除以abc得a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3。二、利用“若a+b+c=0,则方程ax~2+bx+c=0(a≠0)必有一根为1”的结论证题,     

走进杨辉三角形再探数字规律

<正>同学们在学习整式的乘法后,大都计算过a+b的n次方(a+b≠0,n为自然数)的结果:(a+b)²=a2=a²+2ab+b2+2ab+b².(a+b)2.(a+b)³=(a+b)3=(a+b)²(a+b)=a2(a+b)=a³+3a3+3a²b+3ab2b+3ab²+b2+b³.(a+b)3.(a+b)⁴=[(a+b)4=[(a+b)²]2]²=a2=a⁴+4a4+4a³b+6a3b+6a²b2b²+4ab2+4ab³+b3+b⁴.……并关注过计算结果中各项系数(补上(a+b)4.……并关注过计算结果中各项系数(补上(a+b)⁰=1,(a+b)0=1,(a+b)¹=a+b)组成的一张表及其中的数字规律.(各版本的教科书中的阅读材料都有相关探究和介绍)     

一道预赛题的解法分析

2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题第10题为:已知正实数a,b满足a2+b2=1,且a3+b3+1=m(a+b+1)3,求m的取值范围.先作一个简单分析,因为a+b+1>0,所以m=a3+b3+1(a+b+1)3,要求m的取值范围,只需求出m的最值,所以此题实质上是一个二元函数的最值     

剖析不等式证明中的一个典型错误

据笔者所知 ,文 [1 ]首先提出并“证明”了一个数学奥林匹克问题 :已知 a,b,c为非负实数 ,且 ab+ bc+ ca= 1 .求证 :1a+ b+ 1b+ c+ 1a+ c≥ 52 . ( * )为便于分析 ,我们将文 [1 ]的“证明”(部分 )抄录如下 :由对称性 ,可设 a≥ b≥c≥ 0 .由所给条件易知 a≥b>0 .1b+ c + 1a+ c ≥ 2( b+ c) ( a+ c)=2ab+ ac+ bc+ c2=21 + c2,等号成立的充要条件是 a=b.这时 ,原题条件化为a2 + 2 ac=1 ,　c=1 - a22 a .由 c≥ 0知 ,a≤ 1 .再由 1 =ab+ bc+ ca≤3a2知 a≥ 13.于是 ,1a+ b+ 1b+ c+ 1c+ a=12 a+ 2a+ c=… =9a2 + 12 a( a2 + 1 ) =f( a) .下面…     

均值不等式的几何证法

如果a、b∈R+ ,那么a +b2 ≥ab .(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .这是高中数学课本中的一个重要不等式 ,很容易用综合法证明 .如果稍加研究 ,这个不等式还有巧妙的几何证法 .图 1证法 1　如图 1所示 ,SABCD≥ 4SAA1 B2 D1 (a+b) 2 ≥ 4ab a +b2 ≥ab .(a =b SA2 B2 C2 D2=0 a+b2 =ab)证法 2　如图 2所图 2示 ,设DA =a ,AB =b ,则有OC =a +b2 ,AC =ab a +b2 ≥ab .(a=b AC与OC重合 a +b2 =ab)图 3　　证法 3　如图 3所示 ,设AB =a ,AC=b ,则有AO =AB+BC2 =a +b -a2 =a +b2 ,AT =ab ,AO≥AT a +b2 ≥ab .(a =b …     

初二代数第一学期期中自测题

A组题一、判断题 (每小题 2分 ,共 1 0分 )1 .x5-y5=(x2 -y2 ) (x3 +y3 ) (　 ) .2 .(x -y) n=(y-x) n(n为偶数 ) (　 ) .3 .x6-y6=(x3 -y3 ) (x3 +y3 )=(x -y) (x2 +y2 ) (x3 +y3 ) (　 ) .4.(a -b) 2 -(a +b) 2 =2a4(　 ) .5 .8a3 -6a2 +2a的公因式是 2a (　 ) .二、选择题 (每小题 3分 ,共 2 4分 )1 .1 6a2 +2m +b2 是一个完全平方式 ,那么m的值是 (　 ) .A .± 4ab　B .± 1 6ab　C .± 3 2ab　D .1 6ab2 .下列分解因式错误的是 (　 ) .A .4a2 -1 =( 2a +1 ) ( 2a -1 )B .a4-64=(a2 +8) (a +2 2 ) (a -2 2 )C .a4+1 =(a2 -1 ) (a2 -…     

数学竞赛之窗

第三届中国东南地区数学奥林匹克试题与解答希望联盟2006年度赛第一天(2006年7月27日,8:00—12:00,南昌)1.设a>b>0,f(x)=2(a b)x 2ab4x a b.证明:存在唯一的正数x,使得f(x)=(a13 b132)3.(李胜宏供题)解令t=(a13 b132)3,由t=2(a b)x 2ab4x a b,得[2(a b)-4t]x=t(a b)-2ab(1)为证