一个错误的证明

《中学生数学》(初中版)2006·1期P19 刊登了孙迪新老师的文章《切线性质定理的另一种证法》,笔者以为其证法错误,为说明问题,现将原文证法抄录如下:     

花园村杂议(21)

蝴蝶定理的几种证法辽宁省沈阳市107中学初三年级马光亮同学来信:我是贵刊的一名忠实的读者,更是一名数学爱好者.我十分喜爱在“数学海洋”中漫游,如此自由自在.但我偶尔间也会遇到困     

关于三角形外角三等分线的一个定理

费兰克·莫来是美籍英国数学家 . 190 0年 ,当他研究平面内 n条直线的质量几何时 ,发现了莫来定理 :三角形各内角的三等分线中 ,靠近每边的两条的交点 (共三个 )构成正三角形 (图 1中的△DEF) .这条美妙定理虽然姗姗来迟 ,近年来却给出了多种证明 ,其中 ,金兆斌曾在 90年代初得到了一个构造性证法 ;而满其伦和孔令恩在 1997年《数学通报》问题解答 10 80题中 ,不但给出了另一种构造性证法 ,而且证明了 DD1 ,EE1 ,F F1 分别垂直平分△ DEF的三边 ,且相交于△ DEF的中心 (图 1) .考虑三角形外角的三等分线 ,得到与莫来定理类似的一个结…     

一道名题的两种证法

<正>题目设MN是圆O的一条弦,过O作MN的垂线,A为垂足,过A作弦BC及DE,连BE、CD,分别交弦MN于F、G.求证:AF=AG.如图1,这道题的圆形酷似蝴蝶,所以这个题目称蝴蝶定理.这是一道世界名题,此题证明难度较大,本文给出两种证法,供同学们参考与欣赏.证法1全等三角形     

罗尔定理的一种证法

《美国数学月报》曾刊登过罗尔定理的两种新证法.本文从罗尔定理的几何意义出发,给出另一种新的证明方法.     

蝴蝶定理的新故事

这几年,人们对蝴蝶定理谈得可真不少了,谈它的历史,谈它的多种证法,谈它的美妙变化,有兴趣的读者可参看文献[1]～[6]。那么,关于“蝴蝶”,还有什么新鲜东西值得一提吗?如果是一年以前,笔者也觉得无话可说,现在又提笔写它,得感谢杜锡录先生。在今年四月份广州的一次会上,与杜君久别重叙,他问我:“你知道筝形中的蝴蝶定理吗?”老实说,我不知道,杜君告诉了我这个定理,并且提到,他和单墫先生都希望有一个简单方法证明筝形中的蝴蝶定理,如同[1]中用面积方法巧证圆内蝴蝶定理一样。这引出了蝴喋定理的新故事。 (一) 四边形里的蝴蝶定理如果凸四边形ABCD中,AB=BC而且CD=AD,则称它为筝形,因为它确象一只瓦片风筝,图1中画出了筝形ABCD,我们把对角线AC叫做筝形的横架,BD叫做筝形的中线。命题1 (筝形蝴蝶定理)如果ABCD是以BD为中线的筝形,过其对角线交点M作两直线分别与AB、CD交于P、Q.与AD、BC交于R、S.连PR、SQ分别与横架     

证题方法(续)

(二)直接证法 (1)数学证法的基本类别——直接证法与间接证法 当一个数学定理表述为假言句 μ(?)v时,对它进行证明的最自然的方式当然是提供一个从μ到v的数学推理过程。具体地说,这种做法就是从题设μ出发,以在这之前已经提出的本理论系统的公理和已经证明的本理论系统的定理作为根据,一步步地进行推理,直到推出题断v为止。按照这种方     

Riemann积分的Ar■elà控制收敛定理

Luxemburg在78卷9期《美国数学月刊》上撰文介绍了Arzelà定理发展的历史及各种证法与推广,原文颇长,今删去其中评介部分与Arzelà定理的F.Riesz证法,摘译其中Arzelà定理的初等证明、Riemann积分的Fatou引理,Argelà定理的推广—young定理等部分     

蝴蝶定理的一个简捷推广

蝴蝶定理是指下面的命题:如图,设AB是圆的一条弦,过AB的中点M作弦CD、EF,连结CF、DE分别交AB于点P、Q,求证:PM=MQ. 近年来,经过人们不断的研究探索,得到了该定理的多种证法.本文介绍它在圆锥曲线时的情况,并给出一种简捷的证明.     

证题方法(续)

(三)间接证法当证明一个数学语句用直接证法感到困难时,可以考虑用间接证法。间接证法在习惯上也称为反证法或归谬证法。 (1)间接证法进行的方式 前面已经指出,所谓在一个数学理论系统中“语句u(?)v真确”,可以解释为指的是语句 前此公理∧前此定理真确;因此,这样一种在该理论系统中证明语句u(?)     

“二项式定理”的又一初等证法

关于二项式定理的证明,现行中学课本用的是数学归纳法。近几年,《数学通报》先后发表了几篇文章,提供了富有启发性的证法,但这些证法要用到概率的加法定理或概率分布的知识,中学生读不懂。笔者经过探索,提供一种新的初等证法,较为简捷,易为中学生接受,适合课堂教学。     

巧借四点共圆妙证蝴蝶定理

蝴蝶定理确实是一道有意思的经典题,它曾使一代代的几何爱好者着迷,追逐纯几何证法更是爱好者的目标．笔者巧借四点共圆妙证蝴蝶定理,得出两种纯几何新证供同行们参考．     

勾股定理的一个至简面积法证明和探究

<正>勾股定理历史悠久,应用广泛,其数学表达式优美,简洁.它是无理数及费马大定理产生的源头,是早期数形结合思想及几何定理严谨证明的发端之一.因而,它是几何学的一块基石,是数学宝库里的一颗璀璨明珠.两千多年来,中、外关于勾股定理的证法难以悉数.但从初等平面几何的角度出发,一般仅有面积证法和比例线段证法两大类.本文笔者给出勾股定理一个面积法的至简证明,并就这一证明作进一步探究.     

广义蝴蝶定理的进一步拓广

广义蝴蝶定理的进一步拓广四川蓬溪中学田文宇在《数学通讯》１９９４年第４期上刊登了朱履乾同志的《广义蝴蝶定理》一文（简称文［１］），笔者对文［１］中所述广义蝴蝶定理作进一步拓广．定理设ｃ１，ｃ２，ｃ３为三条均过Ｍ、Ｎ、Ｔ、Ｓ四点的二次曲线，它们顺次与有...     

圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

2003年北京高考数学卷第18(Ⅲ)题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.……     

蝴蝶定理的向量证法

贵刊《数学通报》2004年第1期刊登了周春荔的《蝴蝶定理》一文，笔者联想到中学新教材中的向量知识，于是，笔者尝试运用向量来证明蝴蝶定理，得到了如下的证明方法，希望能引起读者的兴趣。     

反正切相加定理的一种新证法

利用微分方程给出了反正切相加定理的一种新证法,该方法可直接确定反正切相加定理中函数ε(x,y)的连续域以及函数在域内的取值.     

简捷证明题的妙证

《中学生数学》2009年第3（上）期发表的《简捷证明一题》中给出了以下题目的一种简捷证法，下面再给出一种证法，供大家参考．     

关于“三垂线定理”授课的教学管见

“三垂线定理”是立体几何中的一个重要定理,它不但联系着一系列主要概念(如平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影等),而且其证明中又包含有较为典型的证题方法(线面垂直与线线垂直证法),并且有着广泛的应用。因而这一定理是立几数学中的重点。又因其牵涉到的概念较多,故又是教学中的难点。下面就笔者在教学中的作法谈一点体会,以就教于同行诸君。一、引导学生发现矛盾,造成悬念,激发学     

一道"老师课堂用题"的多证

《中学生数学》2003年9月下《北京数学奥林匹克学校课堂实录》一文中"老师课堂用题"的第一题.如下:这是一道源于课本而高于课本,有多种证法的好题。 已知:如图1,△ABC中,∠A=