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1.
在中学数学中复合函数是一种很常见的函数 .各种资料、杂志上对它的研究很多 ,但其中由f[g(x) ]求f(x)的定义域和求f(x)的问题在各种资料中常常写法不一 ,存在着疑问 ,给教学带来了困惑 ,值得商榷 .第一个问题 :由f[g(x) ]求f(x)的定义域 .问题 1 已知f(1 -sinx) =cos2 x,求f(x)的定义域 .对这类问题各种教学参考书的处理一般都是 :令 1 -sinx =t得sinx=1 -t,sin2 x=(1 -t) 2 =1 -cos2 x即cos2 x =2t-t2 ,所以f(t) =2t-t2 ,又因为 -1 ≤sinx=1 -t≤ 1所以 0≤t≤ 2 ,所以f(x)… 相似文献
2.
题目 已知函数 f(x) =1+sinx -cosx1+sinx +cosx,试判断它的奇偶性 ,求函数周期、单调区间 .分析 首先来化简下式 :1+sinx -cosx1+sinx +cosx.解法一 (由半角公式 )tan x2 =1-cosxsinx =sinx1+cosx.根据比例性质得tan x2 =1+sinx -cosx1+sinx +cosx,即 原式 =tan x2 .解法二 (根据万能公式 )设t=tan x2 ,则原式 =1+ 2t1+t2 -1-t21+t21+ 2t1+t2 + 1-t21+t2=2t+ 2t22 + 2t=t=tan x2 .解法三 (根据倍角公式 )原式 =(1-cosx)… 相似文献
3.
命题 若 f(x) =Asinx Bcosx满足f(x1) =f(x2 ) =0 ,且x1-x2 ≠kπ (k∈Z) ,则f(x) ≡ 0 .证 ∵ Asinx1 Bcosx1=0Asinx2 Bcosx2 =0 (1 )而D =sinx1 cosx1sinx2 cosx2=sinx1cosx2 -cosx1sinx2 =sin(x1-x2 )≠ 0 (∵x1-x2 ≠kπ ,k∈Z) ,故关于A ,B的齐次线性方程组 (1 )只有零解A =B =0 ,则f(x) ≡ 0 .据此命题可知 :对于某些三角恒等式证明题 ,若能转化为sinx ,cosx的一次齐次式f(x) =Asinx Bcosx ,只需取特殊值… 相似文献
4.
我在学习的过程中 ,发现一些三角函数问题可以利用方程的思想来解决 ,避免了由于公式不熟或其它原因造成的错误 .以下举例说明 .例 1 已知 2sin2 x -cos2 x +sinxcosx - 6sinx +3cosx =0 ,求解 2cos2 x +sin2x1+tanx 的值 .解 观察已知条件 ,可把等式看作关于cosx的一个方程 :-cos2 x + (sinx + 3)cosx + 2sinx(sinx - 3) =0 ,即 (-cosx + 2sinx) (cosx +sinx - 3) =0 .∵cosx +sinx - 3≠ 0 ,∴ -cosx + 2sinx =0 ,得tanx =12 .又由 … 相似文献
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《中学生数学》2003,(7)
高一年级1.设 f(t) =t3 +2 0 0 3t,易证 f(t)在R上是奇函数且递增函数 ,由题意可知 :f(x - 1) =- 1, f(y - 1) =1.即 f(x - 1) =-f( y - 1) =f( 1-y) .∴ x - 1=1-y ,故x +y =2 .2 .由条件知 :sinαcosβ2 0 0 2 ,sinβcosα2 0 0 2 中必有一个不大于 1,一个不小于 1.不妨设 sinαcosβ2 0 0 2 ≤ 1, sinβcosα2 0 0 2 ≥ 1.∵ α ,β∈ ( 0 ,π2 ) ,又y=sinx在 ( 0 ,π2 )上递增 .∴ sinα≤cosβ且sinβ≥cosα .∴ sinα≤sin( π2 - β)且sinβ≥s… 相似文献
6.
思维的严密性和深刻性是良好思维品质的基本特征 ,也是高考对学生思维能力的基本要求 .三角函数一单元中由于缺乏思维的严密性和深刻性而使问题错解的例子比比皆是 .本文拟举以下几种错解情形 ,并对此进行剖析、纠正 ,目的是引起同学们深入思考 ,周密考虑 ,以纠正和预防三角解题中的类似错误 .1 忽视三角函数的定义域而致错例 1 求函数 f(x) =sinx +sin3xcosx +cos3x的最小正周期 .错解 :∵ f(x) =sinx +sin3xcosx +cos3x=2sin2xcosx2cos2xcosx=tg2x ,∴周期T =π2 .剖析 注意… 相似文献
7.
高一年级1 .当函数 y =2cosx - 3sinx取最大值时 ,求tanx的值 . 2 .求证 :tan5=tan2 +tan3 +tan2·tan3·tan5.3 .函数 f(x)是定义在 {x|x≠ 0 ,x∈k}上的奇函数 ,且 f(x)在 ( 0 ,+∞ )上为减函数 ,又f( 3 ) =0 ,g(θ)=cos2θ - 2mcosθ + 4m ,θ∈ [0 ,π2 ] .若集合M ={m| g(θ) >0 },N ={m| f[g(θ) ] <0 }.求M∩N .高二年级1 .已知不等式 1n + 1 + 1n + 2 +… + 12n>11 2 loga(a -1 ) + 23 对一切大于 1的自然数都成立 ,求实数a的取值范围 .(2 .已知 :△ABC的顶… 相似文献
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题 2 6 已知 f(x) =sinxcosx - 3cos2 x + 32 ,x∈ [0 ,π],当方程 f(x) =m有两个不相等的实根时 ,1)求m的取值范围 ;2 )求方程的两实根之和 .解 1) f(x) =12 sin2x - 3·1+cos2x2 + 32=sin(2x - π3) .又∵x∈ [0 ,π], ∴ - π3≤ 2x - π3≤5π3.图 1 题 2 6图在同一坐标系中 ,作出函数 y =sinu(- π3≤u≤5π3)的图象和直线 y =m的图象 .易见 ,两图象有两个公共点时 ,m的取值范围为(- 32 ,1)∪ (- 1,- 32 ) ,又由于u =2x - π3是x与u的一一对应 ,故上述范围即为所求 .2 ) [方法 1… 相似文献
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有这样一道题 :已知f(sinx) =cos17x ,则f( 12 )= .在解答时 ,我令sinx =12 ,解出x =kπ ( - 1) kπ6(k∈Z) ,然后将x代入原式右边 ,求得f( 12 ) =±32 .但是 ,根据函数的定义 ,当自变量取 12 时 ,在值域中只有唯一的值与之对应 ,现在却有± 32 两个函数值 ,这是怎么一回事呢 ?剖析 1)上述的解法有错吗 ?由于函数 y =f(sinx) =cos17x可以看作由外层函数 y =f(u)与内层函数u =sinx复合而成 .而u =sinx是多对一的函数 ,当u =12 时 ,可得到多个x值(x =kπ ( - 1) k π6,k∈Z) .上述解… 相似文献
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通过对三角习题的结构进行分析 ,在解题时考虑选择适当的方法 ,则可使复杂问题转化为简单问题 ,收到事半功倍的效果 .下面简要分析说明其解题常用的选优方法及技巧 ,供读者参考 .1 参数替换在三角函数问题中 ,若sinx±cosx与sinxcosx同时在一个函数式中出现 ,可设t =sinx±cosx ,把问题转化为以t为变量的二次函数 ,避开三角式讨论的麻烦 .例 1 求函数 y =sinxcosx sinx cosx的最大值 .解 设t =sinx cosx =2sin(x π4 ) ,则sinxcosx =t2 - 12 ,于是 y =t22 t- … 相似文献
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本文通过一道三角函数例题 ,说明函数最值的一些通常求法 .例 求函数y =sinx2 cosx的最值 .思路 :本题可从化归思想出发 ,设法把函数变成asin(ωx φ) =b型 ;或借助万能公式 ,把函数转化成只含正切的函数 ;或寻求函数的几何背景 ,用数形结合的办法求出函数的最值 .解法 1 应用有界性将原函数变形 ,得2 y ycosx =sinx ,即sinx -ycosx =2 y ,∴ y2 1sin(x - φ) =2 y ,其中 φ =arctgy .∴sin(x - φ) =2 yy2 1,则 2yy2 1≤ 1.解之得- 33≤y≤ 33,∴ ymax=33,ym… 相似文献
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《数学通报》2003,(2)
20 0 3年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 1 求大于 1的整数k,使f(x) =sinkx·sinkx+coskx·coskx-cosk2x为常值函数 .(湖北省襄樊市一中 王必廷 441 0 0 0 )解 取x=0 ,得f(0 ) =0 ,故f(x) =0取x =π/k ,则sinπ·sink πk +cosπ·cosk πk -cosk2πk =0所以 -cosk πk =cosk2πk所以k为奇数 ,且 -cos πk =cos2πk所以cos2πk =cosπ - πk所以π- πk =2nπ±2πk所以 1k =2n - 1或3k =1 - 2n n∈z所以k=1或 3经检验知… 相似文献
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两个重要极限选择题1 当x→ 0时 ,函数 f(x) =cosxx ·sinx的极限是( )(A) 0 . (B) 1.(C) ∞ . (D)不存在 .2 当x→ ∞时 ,f(x) =x·sin 3x的极限是 ( )(A) 1. (B) 0 .(C) 3. (D)不存在 .3 当x→π时 ,f(x) =sinxx -πcosx的极限是 ( )(A) 1. (B) - 1.(C) 0 . (D)不存在 .4 当x→ 0时 ,f(x) =(1 sin2x)1x的极限是( )(A)不存在 . (B) 1.(C)e. (D)e2 .5 当x→ 0时 ,f(x) =(1- 2x) - 1x的极限是 ( )(A)不存在 . (B)… 相似文献
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许多同学碰到等式或不等式两边有公因式时 ,不管公因式的取值范围如何就马上约去 ,从而造成解题失误 .请看下面例子 .例 1( 1990年高考试题 )方程sin2x =sinx在区间 ( 0 ,2π)内的解的个数是 ( )(A) 1. (B) 2 . (C) 3. (D) 4 .误解 :原方程可化为 2sinxcosx =sinx ( 1)两边约去sinx ,得 2cosx =1,即cosx =12 ,∵x∈( 0 ,2π) ,∴x =π3或5π3,故应选 (B) .辨析 ∵sinx =0在 ( 0 ,2π)内有解x =π ,∴等式 ( 1)两边约去了公因式sinx ,就导致失去解x =π .此题应选 (C)… 相似文献
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在高中数学新教材中 ,大量的高等数学知识被引进 ,如向量、微分、积分和概率等 .这些内容的引入 ,给我们处理一些初等问题带来了新的方法 ,若能站在高等数学的角度 ,应用这些知识去处理初等问题 ,可以收到事半功倍的效果 .本文从 6个方面对高等数学知识在初等数学解题中的应用作一些分析 .1 利用微分解题例 1 已知 0 <x<π2 ,求证 :sinx>x -x36(第三届希望杯试题 )证明 设f(x) =sinx-x-x36,则f′(x) =cosx-1 -x22 =2 [(x2 ) 2 -sin2 (x2 ) ]当 0 <x<π2 时 ,x2 >sin x2 >0 ,故f′(x) >0所以f(x)在 … 相似文献
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题目 方程 3sinx cosx =m在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数m的范围 .图 1 解法 1图解法 1 (数形结合思想 )原方程可变为sin(x π6) =m2 .设 y1=sin(x π6) ,x∈ ( 0 ,π) ,y2 =m2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <m2 <1,∴ 1<m <2 .解法 2 (函数思想 )设cosx =t,∵x∈ ( 0 ,π) ,∴t =cosx∈ ( - 1,1) ,sinx =1-cos2 x =1-t2 .原方程变为 3· 1-t2 t=m .∴ 3( 1-t2 ) =m -… 相似文献
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函数的和、差、积、商的导数 选择题1 设 y =x2 ·sinx ,则 y′等于 ( )(A) 2x·sinx .(B)x2 ·cosx .(C) 2x·cosx x2 ·cosx .(D) 2x·sinx x2 ·cosx .2 设 y =(sinx 2 )·x3,则 y′等于 ( )(A) (cosx 2 )x3 (sinx 2 )·3x2 .(B) (cosx 2 )·3x2 .(C)cosx·x3 (sinx 2 )·3x2 .(D)cosx·x3 sinx·3x2 .3 设 y =x3sinx,则 y′等于 ( )(A) 3x2cosx.(B) cosx·x3-sinx·3x2sin2 x .(C) 3x… 相似文献
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题 1 已知a >0 ,b >0 ,0 <x <π2 ,求函数f(x) =asinx bcosx的最小值 .图 1 题 1图解 如图 1,APB为一以 |AB|=1为直径的半圆 ,设A点有带电为a的点电荷 ,B点有带电为b的点电荷 .对于弧上一点P ,令∠PAB =x ,则AP =sinx ,PB =cosx ,根据点电荷U =k Qr 及电势叠加原理 .则P点电势UP=kasinx kbcosx=k(asinx bcosx) (k为静电常数 ) .这样 ,原问题便转化为在APB上找一点P0 ,使UP0 为最小值 .设想有一单位正电荷e从B点沿圆弧自由运动 ,由其总能量守恒可知 ,当… 相似文献
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在微积分教材中 ,凡分部积分后可以循环的不定积分 ,通常认为是用解方程的方法解出不定积分的 ,这常常给学生以误导 .例如 ,用分部积分法计算如下不定积分∫cosxsinxdx =∫1sinxdsinx =1sinx·sinx - ∫sinxd 1sinxdx =1 - ∫sinx ·- cosxsin2 x dx=1 +∫cosxsinxdx ,①所以有 0 =1 . ②如果①式继续计算下去 ,∫cosxsinxdx=1 +∫cosxsinxdx=2 +∫cosxsinxdx… =n+∫cosxsinxdx ,③于是有 0 =1 =2 =… =n . ④用同样的方法计算… 相似文献
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高一年级1.在△ABC中 ,∠A =2 0° ,AB =AC =b ,BC=a .求证 :a3 +b3 =3ab2 .2 .若 π6 ≤x≤ π3,求函数 y =tanx -sin2 xtanx +sin2 x的最大值和最小值 .3 .若函数f(x)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且f(a2 -sinx)≤f(a+ 1+cos2 x)对一切x∈R恒成立 ,求实数a的取值范围 .高二年级1.在棱长为a的正方体ABCD -A1 B1 C1 D1中 ,过BD1 的截面分别交AA1 、CC1 于E、F两点 ,求四边形BED1 F面积的最小值 .(北京 含 笑 )2 .已知 :x ,y∈R+ ,且x + y =1.求u =1x3 +12y的… 相似文献