令人惊奇的概率逆命题

研究一个定理的逆命题是否成立,不仅能提高学习、研究数学的能力,而且有可能发现新的数学知识．在概率学习中,做这样的研究会发现,有很多原命题成立,它的逆命题却不成立,其中有的结论似乎匪夷所思,令人吃惊,甚至难以接受．下面先举几例,然后尝试分析这种令人吃惊的背后所隐藏的深层道理．     

一个简单整数性质的应用

性质如果m、n为整数,那么m+n与m-n同奇同偶. 这一貌似简单的性质,在解有关整数、整除、方程的有理数解(包括整数解)以及整数的分解等问题时,常常能化繁为简、化难为易.     

整数平方的一个特性

我们用整数的二进制表示及穷举法证明了整数平方的一个特性。这个特性使我们可以看出一些古老命题的直观性。一、特性的推导设m为任意正整数,并表示成二进制数: m=m_nm_(n-1)……m_(?)……m_3m_2m_1m_0 (1) 式中任一项m_1为1或0。无论正整数m有多大,它的最低四位二进制数m_3m_2m_1m_0却只有16种可能的情况,即0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111、1000、1001、1010、1011、1100、11011110和1111。下面我们在证明这个特性时,虽然只讨论了最低四位的16种情况,但实际适合于所有的正整数。这就是穷举法的思想。现求m~2,以最低四位m_3m_2m_1m_0=1101为例,列竖式:     

一个不定方程的整数解

证明：不定方程有无穷多组适合条件x＞0的整数解．此方程由美国俄克拉何马州立大学的EdProthro提供,发表在1996年3月号的《美国数学月刊》上,题号为10510．1998年4月号该刊登出解答,提供解答者约50人,还有几个解题小组,涉及的国家有加拿大、法国、瑞士、联合王国、阿曼、印度、德国、捷克、匈牙利、丹麦和美国等．整数解有以下五种表达式：其中Q=r2-rs＋s2编者注中指出,以上结果推翻了AllenB．Calhamer的猜想：只有64是唯一的立方数（43）它是三角形数与完全平方数（62）的和．另外,还有人给出z≤100时74组正整数解．（方程的几何…     

整数的平方的一些性质

在国内外的数学竞赛题中,有一些题目的解法实际上只用到了整数的平方的某些性质,所涉及的知识是相当少的;但是,对于不习惯于利用这些性质的人,又会感到这些题目有一定的难度。本文打算通过一些例子,向中学生介绍这方面的解题方法。一、大家知道,所有的整数可以分为偶数和奇数两大类。偶数能表为2k的形式,奇数能表为2k 1的形式,这里k是整数。先看偶数的平方,由于(2k)~2=4k~2,可见任何偶数的平方能被4整除。再看奇数的平方,(2k 1)~2=4k~2 4k 1=4k~2(k 1) 1,由于k与k 1是相邻的两整数,故其中恰有一偶数,因此4k(k 1)能被     

一类Cantor整数的渐近性质

对于任意的正整数p≥3,用{a_n}_n≥0表示p-进展式数字只取偶数的非负整数所构成的数列.我们给出了a_n的增长阶为log_sp,其中s=[p/2],[·]为取上整函数.证明了{a_n/n^{log_s p}}_n≥1在[2s-2/p-1,2]中稠密.并从测度的角度对该稠密性加以阐释.     

非线性整数规划的一个近似算法

利用连续总体优化填充函数法的思想，本文设计了非线性整数规划的一个近似算法．首先，给出了非线性整数规划问题离散局部极小解的定义，设计了找离散局部极小解的局部搜索算法；其次，用所设计的局部搜索算法极小化填充函数来找比当前离散局部极小解好的解．本文的近似算法是直接法，且与连续总体优化的填充函数法相比，本文填充函数中的参数易于选取．数值试验表明，本文的近似算法是有效的．     

整数Bottleneck问题的一个算法

文[1]、[2]讨论了极大极小目标函数的规划问题,并举例说明了在军事、经济等许多领域中都有着极其重要的应用,但在实际问题中,又常常遇到变量要求取整数值的瓶颈问题,即出现了如下整数瓶颈问题     

整数向量卷积的一个最佳算法

在离散概率、数字信号处理及其他工程问题中,常会遇到两个向量的卷积(这里指的是循环卷积)的计算,即已知向量     

求解一个整数方程的新解法

ni=1aixi =p是一个由实验数据问题抽象而出的整数方程求非负整数解的数学模型 .为了使该问题实现计算机求解的可能 ,本文首先将原问题转化为讨论一类整数规划最优解问题 .从对应松弛规划问题的目标函数值为 0的最优解出发 ,根据舍入凑整法原则 ,再次将问题转化为另一简化后的整数方程 ,这样大大缩小了解的范围 ,及进一步迅速降低了方程右端的 p值 ,使其在计算机上求解的运算量大大降低而能得以实现     

管理科学中一个特殊的整数规划

<正> 在管理科学中有一个老问题:设生产计划期长 T 单位的时期内需“平均”地使用某物料 R 单位,不允许缺货;设进货一次需费 C_3(C>0),单位数量物料单位时间内存贮费为 C_1(C_1>0).问以何种方案进货才能使进货费与存贮费的总和最少?Harris 在1915年就给出了经济批量公式 Q=(2RC_3/(C_1T))~(1/2).结论是只要按此公式每次以 Q 等量地进货,或分 n=(C_1TR/(2C_3))~(1/2)次等量地进货,就能使总费用最省.这公式在一般的管理书籍中都有推导(比如[1],第85页).应用时 n=(C_1TR/(2C_3))~(1/2)不常是整数,[2](第410页)指出,不是整数时应取“近似整数”.但取不足近似还是过剩近似是需要考虑的,因为两种近似值对总费用常有出入.此外,在实际使用时也最好有个简便的判定办法.对此,下文将稍作讨论.有时,所进货物只能以件计,不能分割,这时 Harris 公式只能在 Q 与 RQ~(-1)均为整数时才能直接应用.一般情况该有何种结论,这是下文主要要考虑的问题.由于     

整数的多项式表示、性质及应用

对给定的一个p进制的n+1位正整数N,其各位上数字分别记为a_1,a_2,…a_(n+1),则此数可表示为: N=a_1p~n+a_2p~(n-1)+…+a_np+a_(n+1)其中a_i是整数,0≤a_i≤p-1 (i=1,2,…,n+1),且a_1≠0。当p为某一素数时,整数N、a_i、n及p之间具有下面性质:     

求解整数规划代理对偶的一个新方法

考虑如下的整数线性规划问题: (P)min Cx, s.tAx≥b, x≥0,且为整数向量,其中c,b是具有适当维数的行向量或列向量,A是已知的矩阵,c的分量均为正数,且假定(P)是可行的,x是n维变量。 用V(·)表示优化问题(·)的最优值。如果对x放弃整数限制要求,问题(P)的线     

一个等式变形解决一类整数问题

我们很熟悉这样的问题:已知非负整数 a、b满足a b ab=1①,求a、b．解决此问题的一般方法是: 在①式两边加上1,得 a b ab 1=1 1．     

一个关于高斯整数的最小正整数问题

主要讨论了高斯整数多项式所表整数的计算,利用初等数论基本理论和方法,获得了一个含有n(n≥1)个高斯整数常量和变量的线性多项式虚部所表整数中最小正整数的精确显式表达,并进一步获得了该多项式虚部所表整数的全体.     

一个考虑环境效率的整数DEA模型

经典的DEA模型的投入产出变量均为连续变量,但现实中投入产出并不能保证连续,这就需要对DEA模型的整数方向进行拓展.在考虑环境效率变化的时候,发现治污设备的台数,产品的数量同样存在整数特性,所以建立考虑环境效率的MOISBM模型,并对中国30个省市的环境效率值进行测定,模型证明与实证结果均表明模型具有稳定性和有效性.     

整数的性质——初中数学竞赛讲座材料

所谓整数,即…,-3,-2,-1,0,1,2,3…,看起业简单,但却有着许多极其有趣而又深刻的性质。在数学中有一门叫做“数论”的分支专门研究它,这是一门历史悠久但又富有生命力的学科,它的产生和发民可以追溯到几千年以前。数论王国中有着无限的宝藏,有志于数学的青少年应该从小打好基础,一步一个脚印,扎扎实实学好基础知识,为将来攻克数学堡垒。探求数学宝库中的奥密创造好条件。     

第一讲 关于整数性质的几个问题

应广大读者的要求,从本期起本刊增辟“数学竞赛讲座”专栏。特邀汉丁同志为本栏撰写稿件,从基础知识和思想方法两个方面进行专题论述,每讲配有适量的习题。     

整数系数一元n次多项式系数的性质

我们已知定理:整数系数多项式f(x)=a_nx~n+a_(n-1)a~(n-1)+……a_1x+a_0有因式px+q(p,q为互质的整数)的必要条件是p为首项系数a_n的约数,q为末项系数a_0的约数。 利用这一定理及综合除法,我们便能进行一元多