由一道高考题反思解析几何的教学

1问题的提出笔者有幸参加了2005年江苏省的高考阅卷工作,评阅的是第19题,题目如下:如图1,圆O1和圆O2的半径都为1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2 PN.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.这是一道公认的好题,它源自课本,体现图1了平面     

各地模拟试题欣赏

有机会做了今年和去年各地高考模拟试卷,有一些试题,很有新意,感谢编题者的辛勤劳动,特选编如下试题供欣赏.1　运用定义(1)(1998年南昌卷)已知圆O方程x2 y2=100,点A坐标(-6,0),M为圆上任意一点,AM的垂直平分线交OM于P,则点P的轨迹方程是(　　).(A)x225 y216=1　　　　(B)x225-y     

对一道竞赛题的探究与推广

<正>2016年福建省高一数学竞赛15题是:如图1,圆O的圆心在坐标原点,过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A、B两点.当直线l平行于x轴时,直线l被圆O截得的线段长为■.(1)求圆O的方程;(2)在平面直角坐标系xOy内,是否存在与点P不同的定点Q,使得|QA|/|PA|=恒成|QB|/|PB|立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.本题(2)问是一道以圆为背景的定点问     

正确理解和运用圆锥曲线的定义

对于椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线 ,既有椭圆、双曲线各自的定义 (第一定义 ) ,又有三种圆锥曲线的统一定义 (第二定义 ) ,正确理解和掌握这些定义是学好圆锥曲线的关健 .准确、灵活运用圆锥曲线定义解题不仅可以加深对定义的理解 ,还能起到事半功倍的作用 .1　求动点的轨迹及方程例 1　 1 )平面上到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是 (　　 )(Ａ)圆 .　　 (Ｂ)抛物线 .(Ｃ)直线 .　 (Ｄ)直线或抛物线 .2 )方程 (ｘ - 1 ) 2 + ｙ2 =|ｘ - ｙ + 3|对应点Ｐ(ｘ ,ｙ)的轨迹为 (　　 )(Ａ)椭圆 .　　 (Ｂ)双曲线 .(Ｃ)抛物线 .　 (Ｄ)两…     

对一道"圆"题的探究和拓广

题目 已知圆O:x2+y2=1,直线l1过定点Q(3,0)且与圆O相切. (Ⅰ)求直线l1的方程; (Ⅱ)设圆O与x轴相交于A,B两点,P是圆O上异于A,B的任意一点,过点Q且与x轴垂直的直线为l2,若直线AP交直线l2于点M,直线BP交直线l2于点N,求证:以MN为直径的圆C经过定点,并求出定点坐标.     

解析几何中的“几何法”

解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题 ,当然离不开代数推理、计算 ,但在有些题目中 ,若能根据题中给出的条件 ,充分应用几何性质 ,利用“几何法”求解 ,将使解题过程简单化 .　　一、利用圆的性质1.根据圆的定义【例 1】　如图 ,圆方程是x2 y2 =16,点A(2 ,0 ) ,B是圆上的动点 ,AB的垂直平分线m与OB交于点P ,求点P的轨迹方程 .分析 :因为点P是m与OB的交点 ,易想到用交轨法 ;或点P的轨迹是由点B在圆上运动所致 ,易想到用代入法或参数法求解 .但从另一角度考虑 ,m是AB的垂直平分线 ,所以点P到点A、B的距离相等 ,即｜PO｜与｜…     

巧借平几结论 妙解解几问题

平面解析几何与平面几何有着紧密的联系 ,因此 ,平面几何的某些结论在解析几何中仍起着不可估量的作用 .适时而且恰当借助平面几何的有关结论来进行转换 ,可以创造出非常简洁的解题方法 .下面就举例简析之 :例 1.过点A(- 2 ,0 )作圆x2 +y2 =1的割线ABC ,则弦BC的中点P的轨迹方程是 .简析 :如图 1,由于BC中点P与圆心O的连线与AC垂直 ,即∠OPA =90° ,∴由平几结论得 :P在以OA为直径的圆上 ,且落在已知圆内的部分 ,所以易得P点的轨迹方程为 :(x + 1) 2 +y2 =1(- 12 相似文献   

2006年上海市初中学业考试数学试卷

一、填空题:(本大题共12题,满分36分)1.计算:4=.2.计算:1x 2x=.3.不等式x-6>0的解集是.4.分解因式:x2 xy=.5.函数y=x1-3的定义域是.6.方程2x-1=1的根是.7.方程x2 3x-4=0的两个实数根为x1、x2,则x1·x2=.8.用换元法解方程2xx-21 2xx-21=2时,如果设y=2xx-21,那么原方程可化为.图19.某型号汽油的数量与相应金额的关系如图1所示,那么这种汽油的单价是每升元.10.已知在△ABC和△A1B1C1中,AB=A1B1,∠A=∠A1,要使△ABC≌△A1B1C1,还需添加一个条件,这个条件可以是.11.已知圆O的半径为1,点P到圆心O的距离为2,过点P引圆O的切线,那么切线长…     

阿波罗尼斯圆与数学巨匠阿波罗尼斯

1 阿波罗尼斯圆 《平面解析几何》(必修)课本(P68)上,有这样的一个例题: 已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离比为1/2的点的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线.是:以C(-1,0)为圆心,以 r=2为半径的圆,即(x 1)2 y2=4,如图1. 再看一例: 设复数z=x     

方程x0x＋y0y=r^2表示的轨迹

已知圆O：x^2＋y^2=r^2,点P（x0,y0）． 1．当点P在圆t时,我们知道x0x＋y0y=r^2。为过点P（x0,y0）的圆O的切线方程．     

阿波罗尼斯圆的变式应用

<正>人教A版必修2第140页利用"几何画板"探究了动点轨迹的形状:已知点P(2,0)、Q(8,0),点M与点P的距离是它到点Q距离的1/5,探究点M的轨迹,并给出轨迹的方程.得到点M的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.阿波尼斯圆的定义:平面内,若动点P到两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹是圆,称之为阿波罗尼斯圆.     

圆上的几个结论在椭圆上的推广

本文用初等的方法把圆上的几个结论推广到椭圆上去 .为了节省篇幅 ,文中只证明椭圆上的结论 ,圆上结论的证明省略 .文中的a ,b都大于 0 .结论 1　AB是⊙O的直径 ,AC切⊙O于A ,BC交⊙O于P ,PD切⊙O于P交AC于D ,则D是AC的中点 .图 1结论 1′　如图 1 ,AB是椭圆x2a2 + y2b2 =1的长 (短 )轴 ,AC切椭圆于A ,BC交椭圆于P ,PD切椭圆于P交AC于D ,则D是AC的中点 .证明　设切点P(m ,n) ,则切线PD的方程为b2 mx+a2 ny=a2 b2 ,①直线BC的方程为y=nm -a(x-a) ,②切线AC的方程为x=-a . ③联立②、③ ,可得C( -a ,2naa-m) ,从而AC的中…     

变换视角悟本质 原形毕露得升华

<正>我在做2015年高考湖北理科数学卷时,对其中的填空题第14题颇感兴趣.原题为:如图1,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A、B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准獉獉方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:     

由2013年高考山东卷(理)第9题引发的探究

1题目及解法题目(2013山东理-9)过点(3,1)作圆(x-1)~2+y~2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0此题考查圆的切点弦方程.试题短小精悍,难易适中,解法多样.为了方便说明,记点P(3,1),圆心C(1,0).思路1:如图1,欲求直线AB的方程,需求出点A,B的坐标,即两条切线与圆的公共点,因此,可以先求出两切线的方程,与圆的方程联立,通过解方程组求出点A,B的坐标,写出直线AB的方程.由于     

一道测试题的纯几何证明

题目[1] 设圆O1与圆O2交于两点A、B．点R在圆O1的弧AB上,点T在圆O2的弧AB上（如图1）．AR、BR分别与圆O2交于C、D．AT、BT分别交圆O1于Q、P．     

纵横联想拓展延伸——对一道解几题的深入探究

数学教学中的习题教学应该成为高效的思维训练 .选择典型例题 ,引导学生拓宽思维空间 ,广泛地探寻各种解法 ,通过对比鉴别 ,不断择佳选优 ,然后再进行拓展延伸 ,则是进行这种思维训练的理想途径 .本文以一道解几题为例 ,谈谈这种训练的实施过程 .题目　过抛物线 y2 =2 px( p >0 )的顶点 O作两条互相垂直的弦 OP1、OP2 ,分别以OP1、OP2 为直径作圆 ,两圆的交点为 O、Q,求Q点的轨迹方程 (如图 1 ) .1　异彩纷呈 ,逐步优化的各种解法图 1由于弦的斜率是引起交点 Q变化的根源 ,所以首先想到的是分别设出直线 OP1和OP2 的方程 ,求出 P1、…     

圆锥曲线的一类切线的几何画法

下面是一个关于圆的切线判定的平面几何命题 :如图1所示 ,AB是⊙O的直径 ,EB是⊙O的切线 ,直线EA交⊙O于点D ,A ,点C是线段BE的中点 ,那么 :DC是⊙O的切线 .这个命题不仅给出了圆切线的一个几何画法 .而且可引伸出圆锥曲线的一类切线的几何画法 .本文以命题的形式介绍这种方法 .图 21　椭圆切线的一个几何画法命题 1　如图 2所示 ,AB是椭圆的长轴 ,过B的直线l⊥AB ,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点 ,直线AD交直线l于点E ,点C是线段BE的中点 .则DC是椭圆的切线 .证明　如图 2 ,建立直角坐标系 ,设椭圆图方程是x2a2 + y2b2 =1…     

新题征展(108)

A题组新编1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是.(用文字描述轨迹的形状,下同)图1(2)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的重心G,如图2所示,则AG=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图2(3)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的内心I,如图3所示,则AI=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图3图42.(王志海董云波)如图4所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM=2AP,NP·AM=0,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线y=kx+k2+1与(1)中所求点N的轨迹E交于不同两点F、H,O是坐标原点,且...     

综合题新编选登

月130·点A是00内一个定点,试 间撰甭存在曲线c,使以曲线c的任一切线 为折痕,点A关于折痕对称的点A·都落在 (图2中虚线即为曲线C) 而00的方程为 00的回周上. 解情形1当A与 O,合时,明显,以O为 圆心,以00的半径的一 半为半径的回符合条件. 即此时曲线C存在,为 圆.(图1的虚线) (x     

数学问题解答

1452 圆形纸片的半径为10cm,圆心为O,点F是圆内一定点,OF=6cm,设点M为圆上的任一点。把纸片折叠,使点M与F重合,折线为CD且与OM交于点P。(CD为圆的弦)。 (1)求点P的轨迹方程; (2)求证:线段CD所在直线为点P轨迹的切线。 (山东兖州曲阜师范兖州校区 丁勇