智慧窗

一、巧求系数和 若(3尸+7厂+4厂一九一5)5·(3尸一 于4扩十7了一5)一a。+“,J+御xZ+…十“4。 求晰十a:+a、+一+内。的值. 河北乐亭一中(0 63600)搜立志提供 二、巧求值 定义在R上的函数、f(二)满足关系式 f(合+J,+f(合一)- 求f(音)+f(普)+f(普)+ _,7、 十J气一于) 0 的值. 浙江海盐县教研室(314300)沈顺友提供 (答案在本期找) 智慈窗《巧求系数和》参考答案 设f(二)一(3丫+7尹十4了一7二一5)5· (3x,一7J·3+4工2十7x一5) 一a。+al工十aZ尹十…+a;。尸“, 则f(x)二f(一x), :.f(x)为偶函数, al=a3=as=…~a39一0. a。+a:+a;+…+a;。二f(1)…     

含有三角函数的一个积分公式

定理:设f(x)在La,a十ZT〕上可积(T>0)甲(x)在〔a,a十T〕上可积,且满足条件:了(Za+一{f(t)己‘+2,一)一,(二)+,(二),贝。有{f(二)‘:- O}T{叫‘)dr{:‘T,“’“’证明:J了(·)‘一{:‘’,(·)‘·十{口+2个f(x)‘:.在右端第二个积分中,令‘=2a+ZT一‘,‘任〔a,a+TJ一则当:二a+T时,t=a+T;二二a+2少时,t=a;又由条件:f(2。+ZT一t)=一f(t)+p(t),因此{:‘’r了(·)‘一{:‘r,‘·,‘二 实用中验证函数满足条件f(Za+ZT一劝二一f(x)+中(x)井不困难,因为我们总可取p(x)二f(Za+ZT一:)+f仁).问题在于甲(:)是否容易积分.而当甲(:)为零,常数或…     

上期课外练习参考解答

t .tV乙 f(x)十f(1一二)“丁-,一下;十丁二~一,下二二份, 一’2' -}}‘2'-*-}涯2’设S= f(一5)+f(一4)-}-".. + f(0)十…-I-f<5)-I-f6), S=f(6)十f<5)+"..-+ f(i)-f-…十f(一4) }-厂一5),cosA·cosB二3sinA·sing,沪攀2S -[f(6)-}f(一5>7-}[f(5)}-f(一4)]-h-".. + [fo)b-f(1>]-t-"..-f-[f(6)+f(一5)]一:2X}?_一6,/2,夔 S= 3派①的反例:P=[1,2],j(P)二[1,2],M=〔一2,一}], f相似文献   

2005年高考数学江西卷

一、选择题: 1.设集合I一{x}ixl<3,xeZ},A={1,2), B一{一2,一l,2},则AU{C zB}- (A){1}(B){l,2} (C){2}(D){0,1,2} 2.设复数21~1+i,22~x十21(xeR),若z;22 为实数,则x~ (A)一2(B)一1(C)1(D)2 3.“a~b’’是“直线y~x+2与圆 (x一a)2+(夕一b)2=2相切的” (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件 4.(万十万)‘“的展开式中,含x的正整数次幂 (A)300(B)600 (C)120。(D)1500 已知函数y一x厂(x) 的图象如右图所示 (其中厂(x)是函数 f(x)的导函数).下 面四个图象中 y一f(x)的图象大致是 八 任- 仁 1 …     

数列求和几招

一、反序相加 I例l】已知f(x)一 4x 4之+2 ，利用课本中 推导等差数列的前n项和的公式的方法，求 1、._2、._100、。，，_ f(;泞了)十f(共二)十…十f(井共)的和. J、101/’J“101/”J、101曰J‘，n‘ 解若直接代人，计算量很大，注意到自变 量的特征，设x+y二1，则有 4工.4y r LX，州一r气丫)--爪罗下一之二州卜下节宁气尸月二 ~4十乙4少十艺 +(Zn一1)x一‘. 解当x~o时，S。一1; 当x一1时，S，一1+3+5+7+…+(Zn一 1)=nZ; 当x举。且x笋1时，有xs，一lx+3扩+ 5工3+7x4+…+(Zn一1)x”， 原式减上式得(1一x)S，:~1+Zx十2了十 Zx”+Zx性十…     

课外练习

高一年级1.已知a ,b为整数 ,且 f(a +b) =f(a)·f(b) ,又f( 1) =1,求 f( 1) +f2 ( 2 ) +f3 ( 3 )+… +f2 0 0 3 ( 2 0 0 3 )的值 .(安徽岳西县城关中学 ( 2 4660 0 )李庆社 )2 .如果函数f(x) ,对于非零实数x1,x2 均有f(x1+x2 ) =f(x1)·f(x2 )且f( 1) =3 ,当f( 2 )f( 1) +f( 4 )f( 3 ) +f( 6)f( 5 ) +… +f( 2n)f( 2n -1) =2 0 0 1时求n .(深圳市蛇口中学 ( 5 180 67)　王远征 )3.若函数 f(x) =ax +1x +2 在区间 ( -2 ,+∞ )上是增函数 ,则a的取值范围是 .(北京昌平一中 ( 10 2 2 0 0 )何乃忠张全合 )高二年级1.设A ={x|1相似文献   

构造单调奇函数解一类竞赛题

1性质 设函数f(x)为单调的奇函数,若f(二、)十 f(二:)一0.则二!+二:一0. 证明:f(二,)十f(二:)一0冷了(x,)一 一f(二2)一f(一二:)”根据单调性,、、一一x:,二, +xZ~0. 2应用 下面利用这一性质速解一类竞赛题. 例l已知实数x、y满足(3二+y)5十扩+ 4二十y一o,求cos(4二+刃的值. 解由(3二+刃”十护+4x+y~o得(3x十 y)5+分十(3工+y)+x一0. 构造函数F(二)一扩+二,易证F(x)为尺 上的单调递增奇函数. 已知条件即为F(3x+妇十F(x)~。,故 (3了+y)+x~O,cos(4x十y)一1. 例2(1997年全国高中数学联赛题)设,、y 的单调递增奇函数, 由已知得F(二一l)十F(y一…     

上期课外练习解答

1.由二次函数图像特性知,函数的最大值只能在两端 ‘3一_子_~。1一Za。,~~,,、, 息x一一下丁玖乙利坝息x一一不-处堆寸寻.以)学 乙乙a 3、了戈一下厂少 乙一3,有a一,…f(X)一普XZ一晋二+1,此时对称轴为二 7_3一一厂<一一只 住乙 _,,一尸3,幽戮仕L一下了 乙2〕上递减二a 2人口二一一—一石曰‘占幼】】正三「一3口~‘卧(2)令f(2)=3.有 1a一万’…f(二)一粤二2+1 山 3、,刀石盯了又乙)户了仁一下于夕 山 1、_,。一一,_、人_,1一Za、_一一a一一万刃“甘赳息.仁刹令1又一下二一夕一j,有a 山‘记才:.f(二)一粤二2一2二+1,此时对称轴二- 山一2…     

切比雪夫定理的初等证明

记 Tn( x) =cos( narccosx) ,这是一个首项系数为 2 n- 1的关于 x的 n次多项式 ,称为切比雪夫多项式 .在函数逼近论中 ,切比雪夫用连续函数的方法证明了一个基本结果 :定理 1 (切比雪夫 )　记Ωn={f( x) | f( x) =xn+ an- 1xn- 1+… + a1x+ a0 ,a0 ,a1,… ,an- 1∈R},则对任意 f( x)∈ Ωn,都有 max- 1≤ x≤ 1| f( x) |≥ 12 n- 1,且等号成立当且仅当 f( x) =12 n- 1Tn( x) .容易证明定理 1等价于下面的 :定理 2　记Mn={f ( x) | f ( x) =anxn+… + a1x+ a0 ,a0 ,a1,… ,an∈ R ,且当 - 1≤ x≤ 1时 ,| f ( x) |≤ 1 },则对任意 f( x)∈ …     

吉林大学一九八四年硕士研究生入学试题

J目.J.J不‘孟‘‘斌.,,邵汤气r日了梦孙、叮弓七』:卜.J今JJ‘2〔一’考虑边值问题 g:,,,口“子_‘。八口“u、口f,,.八口u、._,__、__,,__、 龟去‘二贡t乞气叭万)介方一j一兰一lb〔x)芒井}+c‘二):=厂(x),0蕊x(l, 1口x‘\口x‘,口x\口x/ 才‘,_日U_。、,,,_八1 了“二卫二一“O。当x=0 .1。 又口x‘一‘这里a(x)任C“(〔0,l」),西(x)任C‘(〔0,l]),C(x扩(x)任C“(巨0,l〕),a(x))a。>0,。。几级一‘数,b(x),c(x))0.试给出并证明和它相应的极小位能原理.(20分)二、试确定求积公式 J{。,‘X)dX澎‘{·,(一,卜。,(。卜·,(、)}中的系数…     

一道征解题的推广

《中学数学有这样一道题:1034年第3;件门题与解答栏中设(1十x工:).二ao+a lx一{a:x名+…+a:。x“口,吐明a。=aZ一{一a,一:一a一i-a3十ae+…二al一!一a一+a,+,二…=3一1。现在我们将其推,’‘到一般清形:设(l一x一。x么又卜文).二‘。一卜a lx+a:x“+…+a:(、_,)工.(“),则a。+a‘·”二al+ak+1十a么k+1十,·‘二’·‘二ak_1十一,,a:七十a zk_l+a:、_:十…=k一‘.这.里n,幻寸自然数,且k》乳 证明:一戊们知达x“=l的k..根为eos(2敝/k)十葱5 in(2二兀厂k)(m=0,1,2,…,k一1入如呆记., 弓=‘o:(’二/k)一卜1 51”(见二/k), 则cos(几一,:二,k)一…     

一样的赋值与不一样的结果

已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且f(1)=1,求f(x)的表达式.分析1因为对任意实数x、y都有     

一道习题的联想与再推广

〔原命题〕已知。·b·c=l,且。b+。+1共。,则: a .be几-下一.一犷一丁十不一甲了一下二十一一:一一~甲~了=口O十口十1 OC+O十1 CO十C十1 这是一道有关初中数学竞赛资料中常有的一题,它的证明技巧胜很强.学)91年1期《一道习题的推广及应用》一文,把该题推广为如下命题: (.)浙江《中学教研》(数[推广I]若Ilx,一,,且f(k)二x*:*·,…x·x:xZ一x卜:+‘*x。·,…x·‘,xZ”’‘,一,+“’劣杯‘·‘+二‘+1(j(k)笋0)则:艺漏一,拓二l-L推广11」若兀,,=A护0,_且f(l)二x,xZ…二。一,+x lx2…z,一:+一+二,:2+,.+l,f〔k)=二.公.,,…之,劣:才:…x,…     

Unb ounded Motions in Asymmetric Oscillators Dep ending on Derivatives

In this paper, we consider the unboundedness of solutions for the asymmetric equation x00+ax+?bx?+?(x)ψ(x0)+f(x)+g(x0)=p(t), where x+ = max{x, 0}, x? = max{?x, 0}, a and b are two different positive constants, f (x) is locally Lipschitz continuous and bounded,?(x), ψ(x), g(x) and p(t) are continuous functions, p(t) is a 2π-periodic function. We discuss the existence of unbounded solutions under two classes of conditions: the resonance case √1a+ √1b ∈Q and the nonresonance case√1a + √1b /∈Q.     

一道常见习题的证明与推广

有这样一道习题常出现于各类刊物中: 班:已知.f(x)“丫+Px十q,求证}f(1)卜1厂2)}、}f(3)}中至少有一个不小于+. 本文给出一个新证法,利用这种证法可将原题堆广到一般情形. ‘分析:注意到本题的结论与条件中的扒q的取值无关,起决定作用的是f(l)、厂2)、.f(3).因此,用.f(1)、f(2)、厂(3)来取代f(x)表达式中的扒叮有可能达到证明此题的目的. 证:设f(x)二A(x一l)(x一2)+B(x一2)(x一幻+e(x一3)(x一1),则f(l)二2政f(2)=一C.不3)二2凡故f(x)=士(x一幻(x一3)f(1)一(x一川x一s)f(2)+专(x一川x一2)刀3) 三了十Px+q.比较上面恒等式两边x”的系数得 十…     

导数的一个定理在三角恒等式中的应用

11二二一-~二二二二二二二=二二=二一一=二=二二二二二二二二二二二二侧1+xZ训1十x之0故aT:cos(一x):-口TCCO万X=C又a下ecos(一1)+a了ecosl二兀(常数)x〔〔一1,1〕所泛妇罚。:(一x)+ar“osx=兀,故厂cc仍(一x)二二一arccosx, 定理设函数厂(x)在区间(a,如果在(a,西)内恒有f‘(x)=o(a,b)内是常数。b)内可导, 那么f(x)在x〔〔一1。 杯J3 (卜l(1) 证明:召1乙COS据这一定理可以巧妙、(1 01〕。求证Za下es inx二a::cos(1一Zx“),若、爷士1,由于〔名aTc了l’nx一 2万“)〕产= 浪角恒等 例 证式的题。简便的解决一类三了1一xZ 2丫1一x“l,一三…     

有约束总极值的最优性条件

卜设f(对,g:(对,…,肠(x),l:(x),…,lr(x)是定义在,维欧氏空间有界闭区域‘上的连续函数.考虑下列有约束曹、极值问题: ’ min厂(x) 盆〔C并满足约束 ’_一.‘一‘狱 g、(x)《o,f“1,”’,p,x〔e,(1) l,(x)=0,夕=1,…,犷, 以前我们己经讨论过无约束条件的情形x,〔G是总极值点的充要条件(’“、〔’〕.当考虑有约束情形时,最优性条件有它的特殊性,本文将讨论此问题.记 G‘=丈x!g,(x)《0,x〔G},f=1,…,p, L丈={x!l,(x)>0,x〔G}, 厂=1,…,:,(2) L了一{万ll,(劝簇0,“赶‘卜一 ‘。一只‘f,五。一只‘五了门五犷’, S=L。nG。. H。={二{厂(…     

一个初等对称式的不等式

设a,,aZ,…,a.是,,个非负实数,记山柯西不等式,礼到,....J , 封 ︸1.艺·洲性式51二内 … a,=Ea工二宁二1)卜。一“月一“凡:=a la。 a一1存.二E十口,a.十a忿刀3十…十 0.口夕)‘.1(二、,(.但由于艺l一,x、、宕:二“一)》(:乞x ,l所以‘)“/了!.… 、.了 ‘.二 了‘、则称S,、S     

(2n—1)次插值样条的误差分析

县1.函数在两点的插值多项式及其导数的余项满足条件P盆乏己,:(a‘)二F(”,)(a‘),i二o,1;j二o,1,2,…,n一1}一均多月!人(1 .1)其中h=al一a。,v二一1(x)二艺〔F(“,)(a。)f:,+1(v)+F(“’)(a,)夕:,一卜1(v)]hZ’, 7二0兰二粤,xc〔a。,。1],称为尸(二)在两点a。及a,的(2。一‘) h’一’~‘一“’一二J”‘’/J‘、一z‘一’“、、一“人“一火卜“、一”次插值多项式.这里f:,*:(。)及夕:,十,(v)是Zj+1次多项式,它们的定义及系数的算法见〔2〕及〔3〕. 定理1设F(x)任CZ“〔a。,al〕,则存在雪〔(a。,al),使得F(二)=艺[F(2’)(a。)f:,十1(…     

一类五阶线性周期缓变系统周期解的存在唯一性

考虑5阶线性方程 x(5)+a,(t)戈(屯)+a:(t)x(3)+a:(t)x(2)+a‘(t)劣(‘)+as(t)x=e(t)将方程(1)化为等价方程组(1)一.、J,自-(勒dX_,,‘、。.,,。—=月、‘户了飞一I、‘夕dt这里X=(二,,…,戈5)’,A(t)=(a‘,(t)),f(t)=(o,o,o,o,e(t)),=a一。=1,aol二一a。,a。:=一a4,a。,=一a3,a。‘=一az,a。。=一al,,j=1,2,“·,5.我们得到如下的 定理.假设方程(1)满足如下条件 1 .a‘(t)连续可微,e(t)连续,且a‘(t+T)=a‘(t),e(t+T)=<月,{e(t)}相似文献