利用1/V~2=1/V_1~2 1/V_2~2求旋转体体积

大家知道:分别以直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴,旋转这个直角三角形所得的三个旋转体的体积为V、V_1、V_2,则 1/V~2=1/V_1~2 1/V_2~2·这是高中《立体几何》(甲种本)P_(146)第13题的结论.用它来解1988年高考第四题是件有趣的事: 如下图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为α的正三角形,D是S.4的中点,E是BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积(一九八八年全国高考理工类第四大题)。     

一道课本习题的深入研究

普通高中课程标准实验教科书数学2（A版必修）习题1．3B组题第3题（第32页）是：分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系．     

对一道课本习题的深入探索

普通高中课程标准实验教科书数学必修2习题1.3B组第3题(第30页):分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,画出它们的三视图与直观图,并探讨它们体积之间的关系.     

值得再研究的一道课本习题

普通高中课程标准实验教科书数学2(A版必修)P32习题11.3B组第3题是:分别以直角三角形的斜边、两条直角边所在的直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,画出它们的三视图和直观图,并探讨它们体积之间的关系(以下简称问题).文[1]对问题作了研究,得到了十分有趣的2个     

用“柱壳法”求旋转体体积

对旋转体的体积，通常是取一个扁圆柱体的体积为体积微元，对于有些旋转体用这种方法计算有时比较困难，而采用“柱壳法”却较方便。定理设平面图形（如图1）绕y轴旋转所成旋转体的体积为证明在[a，b]上取小区间[x，x＋dx]以f（x）为高，dx为宽的矩形绕y轴旋转所得的圆柱形薄壳（也称柱壳）的体积的近似值2一八X）dX即为体积微元dV：推论平面图形0＜a＜x＜b，人（x）＜y＜人（x）绕y轴旋转所成旋转体的体积V为例1求y二sinx（0＜x＜。）与x轴所围图形绕y轴旋转所得立体的体积。解选X为积分变量，XE［o，d。在k，d上取小区间》，X十dX〕，…     

细心地观察 勇敢地探索——记一次数学小组活动

题:边长为a的正六边形,以它的一边为轴旋转,求旋转体的体积。这是《立体几何》复习参考题二第23题的一部分;在学生的作业中,干篇一律都是这样解的。 V=V圆柱+2V圆台-2V圆锥     

探索最佳解题途径,启发创造性思维

高级中学课本《立体几何》中有一道复习参考题如下(见甲种本P129第23题)。边长为a的正六边形,以它的一边为轴旋转,求旋转体的全面积和体积。这一习题集中考虑了三种特殊旋转体的体积和侧面积的求解,堪称一道好题(见图1)。为此,我就这道习题上了一堂习题课,用讨论的方式,让学生放开思路,积极地创造性地去思考,取得比较满意的效果。笔者不惴简陋,介绍如下。首先,让学生自己分析题意,再作解答。大多数学生由于认真地分析了这一几何体的特征,作出了如下解答。解法一图2是旋转体的轴截面图,这个旋转体可以看作是由两个相同的圆台挖去两个相同的圆锥然后和一个圆柱组合而成的。由己知     

一类旋转体体积计算法

对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法、P.Guldin定理及球坐标下三重积分计算 ,给出三种计算方法 .本文不仅导出了一类旋转体体积的简单计算公式 ,而且其中的解题思想方法有助于学生提高解题能力和数学素养 .     

一个颇受争议的选择题引起的思考

1题目 (安徽省皖北协作区2011届联考数学试题(理)第5题)函数f(x)=√sinx,x∈[0,π]的图象绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积是A.1 B.2 C.π D.2π本次考试结束后,按惯例笔者及时的调查一些学生,了解考试的情况,以便有针对性的试卷讲评.此次调查了8位学生,成绩中等偏上,结果只有两人选对.     

简单的旋转体体积求解方法及技巧

几何学近几年来对其它数学学科的影响越来越大,而旋转体体积的计算是几何学中的一大难点,本文给出了几种简单的曲线所围的平面图形绕坐标轴旋转所得的旋转体体积的计算公式,且给出了求解旋转体体积的实例并用多种方法进行了求解.     

构造圆 巧解题

<正>我们在做几何题目时,往往要作辅助线.作什么样的辅助线,要根据具体的条件.比如直角三角形中,出现了斜边的中点,我们会想到作斜边的中线;三角形中出现了两边的中点,我们会想到作中位线;出现30°、45°、60°的角,我们会想到作垂直构造直角三角形;出现圆的切线,我们会想到把圆心和切点连接起来,得到垂直……那什么条件下,应该作圆呢?来看看下面几种情况.一、遇到旋转构造圆例1如图1,正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm.如果正方形AEFG绕点A旋转一周,设C、F两点之间     

直觉是数形迁移创新思维的领航者

基于数学直觉思维与数形迁移的概念,反思无论是研究变速直线运动的路程,引发了微积分基本公式;还是利用旋转体体积公式,把一类二重积分转化为定积分;或利用随机变量二项分布的可加性,证明一类组合恒等式,其奇妙的方法和创造性的思维,均源于数学直觉与数形迁移,而直觉是数形迁移创造思维的领航者.     

关于旋转体体积的一种算法

在直角坐标系中由平面图形绕其平面内的坐标轮（x轴或y轴）旋转所得的四种旋转体的体积与围成平面图形的边界有关，本文讨论四种体积公式及参数方程表示边界组成时的体积公式。分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积如何计算？1．平面图形绕x轴旋转而成旋转体的体积V；z，同济大学《高等数学》上册P．346给出公式对①应用分部积分法上式②中令地。，显然地。（如图2）是半正分别为f（b），f（a）高分别为b，a的圆柱体体议之差。八I7＿＿＊＿【、，J／，W＼尸／，＼／，门＼Lc，y，——／汀DrJ＼工IJ【工10JUJ7w2I——乙”‘“J＼一／…     

应用祖暅原理求圆锥曲线绕轴旋转所得旋转体的体积

在立体几何里,我们曾应用祖暅原理成功地导出了球的体积公式.球可以看作是圆绕它的任一对称轴旋转所得的旋转体.而圆是圆锥曲线的一种,那么,能否应用祖暅原理求出其它三种圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)绕轴旋     

一道竞赛题的探源

在2005年卡西欧杯全国初中数学竞赛B卷中,出现了这样一道几何题 :如图1,分别以锐角△ABC的边AB、BC、CA为斜边向外作等腰Rt△DAB、等腰Rt△E BC,等腰Rt△FAC,求证:(1)AE=DF;(2)AE⊥DF.     

一个旋转体体积计算公式

定理 1　凸ｎ边形面积为ｓｎ,直线ｌ不与其相交 ,ｎ边形重心Ｇｎ,到ｌ的距离记为ｄｎ,那么该凸ｎ边形绕直线ｌ旋转一周 ,所得几何体的体积为 :Ｖｎ=2πｄｎｓｎ.图 1　定理 1图证　ｎ =3时 ,如图过△Ａ1Ａ2 Ａ3 的顶点Ａ1作直线ｌ的垂线为ｘ轴 ,直线ｌ为ｙ轴 ,建立直角坐标系 .并设Ａ1(ｘ1,0 ) ,Ａ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ａ3 (ｘ3 ,ｙ3 ) .又过Ａ2 ,Ａ3 分别作ｙ轴的垂线 ,这样△Ａ1Ａ2 Ａ3绕ｌ旋转 ,所成的几何体的体积是两个圆台体之和 ,再减去一个圆台的体积 .根据圆台体积计算公式 :Ｖ3 =π3·(ｙ3 -ｙ2 ) (ｘ23 ｘ22 ｘ3 ｘ2 ) π3·ｙ2 (…     

概率积分integral form n=-∞ to ∞ e~(-x~2)dx=π～(1/2)的两种求法

本文借用几何直观和力学意义,在直角坐标系下用两种方法证明integral form n=-∞to ∞e~(-x~2)dx=π～(1/2)。方法一在有关的广义积分收敛的条件下,我们把旋转体积概念推广到积分限为无穷的情况。xoy面上的曲线y=e~(-x~2)绕y轴旋转一周,所得旋转体的体积为(如图)     

数理结合题欣赏

各种学科互相渗透 ,知识之间的联系越来越紧密 ,尤其以数学、物理之间的联系最紧密 .下面我们来欣赏几道数学、物理知识相结合的题 .题 1　如图 1,Ａ ,Ｂ两人相距 2ｄ米 .平行地站在一堵高墙前 ,离墙均为 3ｄ米 ,Ａ发一枪 ,Ｂ在ｔ秒后听到第一次枪声 ,问听到第二次枪声距发枪多长时间 ?图 1　题 1情形 1图　　　　图 2　题 1情形 2图解　Ｂ听到第一次枪声为声音直接传到Ｂ处(图 1) ,而第二次“枪声”应是从Ａ发出的枪声经高墙反射后传到Ｂ处 ,且所经过的路线应为最短 (图2 ) .在图 2中 ,作Ａ点关于墙的对称点Ａ′,连结Ａ′Ｂ交墙于点Ｐ ,Ａ…     

一类整除问题的由来与解法

常有如下的一类题目: n为任意自然数时,求证: (1) 3~(4n 2) 5~(2n 1)能被14整除; (2) 5~(2n 1) 3(n 2)·2~(n-1)能被19整除等。这类数学问题,通常都是为学习数学归纳法设置的。人们不禁要问:结论是如何得出来的呢?是否只能用数学归纳法解呢?本文介绍两个定理,它可以解决这些题。     

《周髀算经》与赵爽的《勾股方圆图注》

现行初级中学课本《几何》第一册设有“勾股定理”一节,勾股定理是众所周知的,它通常又叫“商高定理”。为什么有这个名称呢?课本上有这样的叙述:“在我国古代;一部数学书《周髀算经》中有用边长为3、4、5的直角三角形来进行测量的记载,并把直角三角形的两直角边分别叫做勾和股,斜边叫做弦”。这就是“勾股定理”名称的由来。《周髀算经》是我国古代最古的一部数学书,这