圆锥曲线中点弦存在性的讨论

提出问题过一点作直线与圆锥曲线相交,得相交弦,使这一点恰好是这条弦的中点,这样的弦可能有,也可能不存在.是否存在与点的相对位置有关,不同的位置,就有不同结果,本文介绍点所在的区域与中点弦的存在的关系有以下结论.     

由引例探究圆锥曲线的“中点弦”

直线与圆锥曲线相交所得“中点弦”问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题。解决此类问题,常规思路主要有两种：一是利用代数法结合根与系数的关系求解;二是利用点差法处理。本文以教材中一道双曲线“中点弦”问题为引例,展开探讨。     

圆锥曲线中点弦轨迹与原曲线“相似性”探究

圆锥曲线教学中发现不少学生疲于做题却难做到对问题深入理解,遇到复杂情境易重新陷入困境.发散性探究,可帮助学生形成自主探究的能力,由教师“牵着走”走向“独立走”,切实提升学生的数学学科核心素养.     

圆锥曲线弦的中点问题

圆锥曲线弦的中点问题江福贵张艳芬（吉林舒兰市一中１３２６００）（上海松江县教师进修学校２０１６００）求直线被圆锥曲线截得弦的中点问题，屡见不鲜，是一类重要问题．对于有心曲线弦的中点问题，我们可以用切线的斜率和中点与中心连线的斜率的积为常数（±ｂ２ａ２...     

双曲线中点弦存在性问题

在我们高中复习书中有这样一道题：已知双曲线C：x^2-y^2/2=1过点B（1,2）能否作直线m,使得直线m被双曲线C截得的弦Q1Q2以B为中点？     

利用圆锥曲线中点弦性质解题

导数的应用已经成为课改后中学数学的一个重点、难点和亮点,它是中学和大学学习内容的一个重要结合点,为我们提供了新的解题工具,本文旨在探究导数在圆锥曲线中点弦问题中的妙用!     

圆锥曲线的平行弦中点的轨迹

<正>我们从大家所熟悉的圆的平行弦中点的轨迹开始研究.例1已知圆x~2+y~2=r~2,B为该圆内的■动弦.斜率为m(常数).求此动弦中点轨迹的方程.分析涉及圆内弦的中点,同学自然想到垂径定理:垂直于弦的直径平分弦.     

圆锥曲线的中点弦的性质及其应用

在平面解析几何中常需要求圆锥曲线的过定点的动弦的中点轨迹。例如,给定双曲线x~2-y~2/2=1,过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程。为了求出P点的轨迹方程,已有各种各样方法:有用直线的点斜式方程的;有用直线的点斜式参数方程的;有用直线的两点式参数方程的;     

圆锥曲线动弦的“保值性”

圆锥曲线的许多性质不仅优美而且和谐.文[1]得到了圆锥曲线中关于动弦的性质1.性质1过圆锥曲线上一定点P任作两条动弦PA、PB,当这两弦的斜率之积、斜率之和或者倾斜角之和三者中有一个为定值时,动弦AB所在直线过定点或有定向.     

交轨法解圆锥曲线弦中点问题

有关圆锥曲线弦的中点问题解法不少。但不论什么条件,中点一定是此弦与此弦平行的弦的中点轨迹(印圆锥曲线直径,见注)的交点,用此观点解题,可使问题得以简单而明确的解答。诚为大家所熟知的,对斜率为m的平行弦中点的轨迹有以下结果:     

关于圆锥曲线弦中点问题的解法再探

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一 .本刊文 [1]、文 [2 ]与文 [3 ] ,探讨了解此类问题的代点相减法、点参数法 ,本文用圆锥曲线弦的中点与斜率的关系给出一类统一解法 ,归结为定理 ,利用本文提供的定理来求解此类问题 ,能化难为易 ,化繁为简 .设圆锥曲线Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,其斜率存在 ,设为ｋ ,且ｋ ≠ 0 .其中Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )、Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则有Ａｘ21 +Ｃｙ21 +Ｄｘ1 +Ｅｙ1 +Ｆ =0 ,Ａｘ22 +Ｃｙ22 +Ｄｘ2 +Ｅｙ2 +Ｆ =0 ,两式相减并同除以 (ｘ1 -ｘ2 ) ,考虑到ｘ1 +ｘ2 =2ｘ0 ,ｙ1 +ｙ2 =2 ｙ0 ,得　　Ａｘ0 +Ｃｋｙ0 +Ｄ2 +Ｅｋ2 =0 .仿此可得 :定理 1　椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ &;gt;0 ,ｂ&;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ ,ｙ) ,其斜率ｋ存在且不为零 ,则　　 ｙｘ &;#183;ｋ =-ｂ2ａ2 .定理 2　双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1(ａ&;gt;0 ,ｂ &;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ...     

再谈二次曲线弦的定义及中点弦的存在性问题

再谈二次曲线弦的定义及中点弦的存在性问题陈文立（西南师范大学数学系，重庆北碚６３０７１５）《数学通报》在近十年内，曾经多次载文讨论关于非退化二次曲线的中点弦以及弦的中点的轨迹问题，说明了人们对个伺题的重视，最近，在［１］，［２］两文中讨论了双曲线的中...     

圆锥曲线弦的中点与斜率的关系及其应用

关于圆锥曲线弦的中点问题,许多文章已有论述,本文综其为一体,给出圆锥曲线弦的一个重要性质．定理　圆锥曲线Ａｘ２＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０的弦的斜率为ｋ,弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,同有Ａｘ０＋Ｃｋｙ０＋１２Ｄ＋１２ｋＥ＝０．证　设弦的两端点为（ｘ１,ｙ１）,（ｘ２,ｙ２）斜率为ｋ,则有Ａｘ２１＋Ｃｙ２１＋Ｄｘ１＋Ｅｙ１＋Ｆ＝０,Ａｘ２２＋Ｃｙ２２＋Ｄｘ２＋Ｅｙ２＋Ｆ＝０．两式相减,得Ａ（ｘ２１－ｘ２２）＋Ｃ（ｙ２１－ｙ２２）＋Ｄ（ｘ１－ｘ２）　＋Ｅ（ｙ１－ｙ２）＝０．两边同除以ｘ１－ｘ２,注意到…     

圆锥曲线弦的中点问题的一种简捷解法

求直线被圆锥曲线截得弦的中点问题,是解析几何教学中的一类重要问题;常规解法计算量较大,如何简化其解法一直为人们所关注;文［１］、［２］、［３］等都作过很好的研究;本文介绍一种利用两曲线公共弦方程求解的简捷方法;如图,设Ｐ（ｍ,ｎ）是圆锥曲线ｃ的一条弦ＡＢ的中点,ｃ′是ｃ关于点Ｐ对称的曲线;容易证明,ｃ′的方程为ｆ（２ｍ－ｘ,２ｎ－ｙ）＝０;（见注１）而弦ＡＢ就是曲线ｃ与ｃ′的公共弦;且公共弦ＡＢ所在的直线方程为ｆ（ｘ,ｙ）－ｆ（２ｍ－ｘ,２ｎ－ｙ）＝０（见注２）,从而使问题得到解决;这一方法既适…     

用点参数法解圆锥曲线弦的中点问题

圆锥曲线弦的中点问题是解析几何中的基本题型，也是会考和高考命题的热点．本刊文［fi与文［2」，探讨了解以上圆锥曲线问题的代点法．笔者结合自己多年的教学实践，探讨了解此类问题的点参数法，可以大大地减少计算且，饲结推理过程．1关于点乡过法的基本思想设直线l与圆锥曲线C相交于PI、P。两点，P；PZ弦的中点为P（x，y）．可没PI的坐标为（x＋tCOS。，y＋tslna），P。的坐标为（x-tcosa，x一tslna），其中a是直线PIPZ的倾斜角（0＜。＜。），t是PI、PZ点到中点P的有向线段的数量，但这里的t＃0．，＃PI、PZ在圆锥曲线C上…     

圆锥曲线的焦点弦问题探究

圆锥曲线的焦点弦问题是近几年高考的热点之一,往往涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量共线）、焦半径和焦点弦长等有关知识.本文以2014年高考全国卷II文理第20题为载体,利用圆锥曲线的统一定义求解本题的第（Ⅱ）问,推导出两个重要性质,并例举历届高考试题加以应用,供同行参考.     

圆锥曲线中的存在性问题探究

在平面解析几何的圆锥曲线学习过程中，我们发现许多存在性问题有其内在的联系，现探究一二，以说明我们的思考，揭示其规律性。     

双曲线的中点弦的存在定理

从几何直观可知,双曲线与其渐近线分别将平面分为两部分,其中含有焦点的区域分别叫内域与内角域,不含焦点的区域分别叫外域与外角域,显而易见,内域是内角域的其子集,外角域是外域的其子集。     

“换点”巧求中点弦

二次曲线的中点弦问题,在各种书刊中,一般都是用韦达定理来求解的。作者在教学实践中,发现了一种更简捷的方法——换点法。下面仅举两例略述如下。例1 已知双曲线x~2/4-y~2=1及点A(3,1),求以A点为中点的弦所在直线的方程。解设弦所在直线与双曲线的一个交点为M_1(x,y),由中点坐标公式,可得另一交点M_2的坐标为(6-x,2-y),因点M_1、M_2都在双曲线上,将它们的坐标公别代入双曲线方程中,得:(2)-(1)并整理得: 3x-4y-5=0 这就是弦所在直线的方程。在上述解法中,巧妙地运用中点坐标公