再谈椭圆周长的近似公式

再谈椭圆周长的近似公式周祖逵（首都师大数学系１０００３７）设椭圆的长半轴为ａ，短半轴为ｂ；周长为Ｌ则见文［１］．本文再证明同时使用近似公式（１）和（２）计算椭圆的周长Ｌ可免去估计误差的烦恼，能立即确定出Ｌ的有效数字的位数．在［１］中我们给出了Ｌ的无穷...     

直角三角形直角边卷成半圆时斜边所成的曲线

文[1]提出了一种椭圆周长的推导“方法”，认为圆柱面上的半椭圆的展开图为直线段而得到椭圆周长公式为C椭=2√4a^2＋（π^2-4）b^2（a，b分别为椭圆的长、短半轴长），文[2]指出该公式不成立，并得出半椭圆的展开图为三角曲线．事实上，我们知道椭圆周长涉及到第二类椭圆积分，故椭圆周长是不能用初等函数来表示的，然而，文[2]提出了一个没有解决却又耐人寻味的问题如下．     

直角三角形直角边卷成半圆时斜边所成的曲线

文[1]提出了一种椭圆周长的推导“方法”,认为圆柱面上的半椭圆的展开图为直线段而得到椭圆周长公式为C_椭=2(4a~2 (π~2-4)b~2～(1/2)(a,b分别为椭圆的长、短半轴长),文[2]指出该公式不成立,并得出半椭圆的展开图为三角曲线.事实上,我们知道椭圆周长涉及到第二类椭圆积分,故椭圆周长是不能用初等函数来表示的,然而,文[2]提出了一个没有解决却又耐人寻味的问题如下.问题1既然半椭圆的展开图不是直线,那么将直角三角形(ABC)的一直角边(AC)卷成半圆(如图1,图2),它的斜边(AB)将会是怎样的曲线呢?也就是,如果一只蚂蚁从点A绕圆柱侧面爬行到…     

争鸣

问题问题115对于椭圆的周长,我们给出如下推导方法．把一个长半轴长为a,短半轴长为b的椭圆(图1)放入底面半径为b的圆柱中(足够深),会出现椭圆边缘与圆柱内壁完全闭合(图2)的情形．设此时椭圆在圆柱     

怎样计算椭圆的面积

在高等数学中,利用定积分可以推出椭圆的面积公式:设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,则S椭圆=abπ．其实不使用定积分,利用高中数学知识, 也可以轻松地得到上述结论．     

基于第二类椭圆积分的椭圆弧长公式变换与应用

以第二类椭圆积分为理论基础,通过推导,将椭圆弧长公式变换为以椭圆离心角、极角等常用角度参数为自变量的第二类椭圆积分的标准形式,建立起椭圆弧长公式与第二类椭圆积分标准形式之间的关系,并分析了椭圆上的弧微分变化规律及椭圆周长与离心率的变化关系.公式反映了椭圆弧长的本质问题即为第二类椭圆积分问题.因此,各类涉及椭圆弧长计算的应用问题,均可化为第二类椭圆的计算问题,应用时直接调用各类编程软件的函数库中的第二类椭圆积分函数,无需复杂编程即可实现椭圆弧长的高精度计算.文章以GPS采用的WGS-84椭球子午线弧长为例进行计算分析,验证了给出的公式及相关分析的正确性及应用价值.     

黄金分割椭圆及其特性

有这样的一种椭圆，它的长半轴、短半轴、半焦距分别是如图1所示的直角三角形ABC的斜边BC及直角边CA、BA的长a、b、C，且BA边在斜边BC上的射影BH的长恰等于CA边的长b，即是说，D是线段BC的黄金分割点．这时，由CA~2=DC·BC得定义如果椭圆的短半轴和长半轴的长之比等于，那么就称这种椭圆为黄金分割椭圆．由以上定义，焦点在X轴上，中心在原点的黄金分割椭圆的标准方程可写成：注：为书写方便，①式中的h代表无理数（下文同）．下面，我们不妨以椭圆①为例，介绍黄金分割椭圆的一些特征：（1）椭圆①的半焦距是其长半轴和短半岛…     

关于椭圆性质的几点注记

以椭圆为研究对象,利用积分几何理论求出了椭圆的周长公式,利用微分几何理论求出椭圆的切线方程并证明了椭圆的凸性,最后利用射影几何理论,研究了椭圆的一些度量性质.     

基于平均数的椭圆周长近似公式

椭圆是圆锥曲线之一,在工程制图与机械加工中,常常需要计算椭圆的周长.本文利用调和平均数构造了一个近似计算椭圆周长的公式,并结合算术平均数、几何平均数以及均方根平均数方法,通过加权组合得到一个形式简单的高精度近似公式.数值实例验证了该公式的有效性.     

解析几何与其他知识的整合

一、与函数、导数的整合 　　例1.(2007年北京)如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.……     

一类多边形的几何特征

本文约定：满足1/a^2＋1/b^2=1的椭圆（长半轴长a，短半轴长6）称为标准椭圆；以椭圆的中心为圆心的圆称为椭圆的同心圆，其中半径为1的椭圆的同心圆称为椭圆的同心单位圆．     

老师一时疏忽 学生精彩发现

在一堂习题课上我（笔者之一）讲了这样一道题：已知A（a，0）（a〉0）是x轴正半轴上的定点，线段BC长为1，且B在X轴的负半轴、C在y轴的正半轴上滑动，则△ABC周长L的最大值是＿＿．     

无限大板包含任意排列多个椭圆孔洞的应力集中和多裂纹的应力强度因子计算

对于无限平面上任意排列的多个椭圆孔的应力集中,采用复变函数方法,直接构造能够反映各孔相互影响的应力函数,通过依次映射方法来满足各孔的边界条件,再利用围线积分方法化为线性代数方程求解.对于裂纹情况,将裂纹化为相应的椭圆,通过应力集中系数近似求得应力强度因子值.文中给出若干计算结果.     

一个椭圆积分的下界估计

本文利用导数的方法，通过对一个辅助函数的单调性或极值的讨论，研究了一个椭圆积分，得到了椭圆积分的下界估计，改进了有关文献的结果。     

一个二项式扩展模型及其在椭圆周长逼近中的应用

针对无法用初等函数精确表示的椭圆周长级数展开式,首次提出了一个含有3参数的二项式逼近模型;讨论了这一模型用于逼近椭圆周长的基本方法,进而得到了5个结构紧凑的近似计算公式;通过实例分析论证了公式的精确度及其实用性.     

一道数学测试题的解法研究与教学建议

试题 过定点P(2,1)的直线l交x轴正半轴于A,交y轴正半轴于B,O为坐标原点,则△OAB的周长最小值为 A.8 B.10 C.12 D.4(5) 说明这是武汉市2010届高中毕业生二月调研测试理科数学试卷中一道试题(选择题10),以往这类试题一般是求△OAB面积的最小值.运用初等方法较易处理,如果求周长最小法,其目标函数较为复杂,若用一般常用初等方法(如重要不等式、判别式法、配方法等).则难以凑效,且常易选错,故往往考虑借助导数法,但实施过程中发现导函数表达式颇为复杂,常难于进行到底,以致无功而返.鉴此,似有研究之必要.     

完全椭圆积分和Hersch-Pfluger偏差函数

该文建立了Hersch-Pfluger偏差函数ψK(r)和第二类完全椭圆积分ε(r)之间的关系. 通过对完全椭圆积分及某些初等函数的组合的单调性和凹凸性的研究获得了完全椭圆积分的一些不等式, 并且藉此得到Hersch-Pfluger偏差函数ψK(r)的几个渐进精确的上界估计.     

椭圆与它的同心圆

设椭圆的长半轴为a,短半轴为6(0相似文献   

一类多边形的几何特征

本文约定:满足1a2 1b2=1的椭圆(长半轴长a,短半轴长b)称为标准椭圆;以椭圆的中心为圆心的圆称为椭圆的同心圆,其中半径为1的椭圆的同心圆称为椭圆的同心单位圆.文[1],[2]证明了与标准椭圆内接,且与其同心单位圆外切的三角形不存在.本文确定与标准椭圆内接,且与其同心单位圆外切     

基于空间压缩和无穷级数的空间碎片碰撞概率快速算法

空间碎片碰撞概率的计算可以转化为2维正态分布概率密度函数(PDF)在圆域内的积分问题,针对以往方法的不足,首先通过空间压缩将不等方差PDF在圆域内的积分化为等方差PDF在椭圆区域内的积分,并将椭圆区域用与其面积相等的圆区域近似,化为等方差PDF在圆域内的积分,对引入的误差进行了讨论.该积分可以表示为首项与递推公式已知的无穷级数形式,可取级数前任意有限项的和作为概率积分的近似,并且给出了截断误差上限的表达式.根据近似结果分析了最大概率的表达式和此时的位置误差参数.以一次实际发生的碰撞为例对该方法进行了验证,并与另外两种进行了比较,结果表明该方法是一种精度高速度快的方法.