开拓思维 妙证几何题

人教版初中几何第二册P68的例3:已知:点D、E在△ABC 的边BC上,AB= AC,AD=AE.求证: BD=CE. 教材中给出的证明是: 证明作AF⊥BC,垂足为F,则AF ⊥DE. ∵AB=AC, AD=AE,AF⊥BC, AF⊥DE,     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

中考题中的调和点列

1.调和点列的概念和性质。定义1^[1]如图1,对于线段AB的内分点C与外分点D,若AC/CB=AD/DB,则称C、D调和分割线段AB(或线段AB被C、D调和分割),或称点列A、B、C、D为调和点列.在射影几何中,①式写成AC·AD/BC·BD=-1(AC·AD/BC·BD称为点列A、B、C、D的交比,记为(AB,CD)).     

数学问题解答

20 0 3年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 461　如图 :四面体D -ABC中 ,△ABC是边长为 1的正三角形 ,面DAB ⊥面ABC ,面ADC⊥面BDC ,求四面体体积的最大值 .解　过点A作AE ⊥CD交CD于点E ,则AE ⊥面DBC .过点D作DF⊥AB交AB于点F ,则DF ⊥面ACB ,设｜DF→｜=x ,根据题意 ,只需求x的最大值 .设AF→ =λAB→ ,则FB→ =( 1 -λ) AB→DE→ =μDC→ ,则EC→ =( 1 - μ) DC→AE→ =AD→ +DE→ =AF→ +FD→ + μDC→=λAB→+FD→ + μ( DB→ +BC→)=λAB→+ FD→ + μ( DF→ + FB→ + BC→)=(λ+ …     

利用基本形巧解竞赛题

平面几何的图形形形色色,千变万化,但如若我们仔细研究,很多的复杂图形都是由某些基本图形变化而来的.例1 如图1,在△ABC中,D为AB边上任意一点,过点A、B分别作CD的平行线交BC,AC的延长线于点E、F.求证:1/AE+1/BF=1/CD.证明 ∵ AE∥CD,∴ CD/AE=DB/AB     

三角形费马点几何最值问题的变式探究

<正>(2020年重庆a卷26题)如图(1),在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF.(1)求证:CF=AD;(2)如图(2)所示,在点D运动的过程中,当BD=■CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量关系,并证明你猜想的结论;     

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而     

探索规律性试题的多种解法

题目在△ABC中,D为BC边的中点,E为AC边上的任意一点,BE交AD于点O,某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实: (1)当AE/AC=1/2=1/(1 1)时,有AO/AD=2/3=2/(2 1) (如图1); (2)AE/AC=1/3=1/(1 2)时,有AO/AD=2/4=2/(2 2)(如图2); (3)妆AE/AC=1/4=1/(1 3)时,有AO/AD=2/5=2/(2 3)(如图3);     

数学问题解答

20 0 4年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 6　在△ABC中 ,AB=AC ,∠B的平分线交AC于D ,且BC =BD AD .求∠A .(山东大学数学与系统科学学院 3 62信箱　王大鹏　2 50 1 0 0 )解法 1 　在BC上取一点E ,使BE =BD .连结DE .因为AB =AC ,所以∠ABC=∠C .设∠C =2α ,因为     

图证三角等式二例

图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则     

一道中考数学模拟试题的多种证法

<正>(2016年北京市通州区初三模拟考试数学试卷第28题)在△ABC中,∠ABC=45°,AB≠BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D.(1)如图1,作∠ADB的角平分线DF交BE于点F,连接AF.求证:∠FAB=∠FBA;(2)如图2,连接DE,点G与点D关于直线AC对称,连接DG、EG.(1)依据题意补全图形;(2)用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系,并加以证明.     

三角形中的特殊线的性质

<正>性质1如图1,△ABC中,D是BC的中点,AD、AE是∠BAC的等角线,AF是△ABC的外接圆切线交BC的延长线于点F.则BE/CE=BF/CF.证明∵D是BC的中点,∴BD=CD,∵AD、AE是∠BAC的等角线,由内角等角线的性质定理得AB²/AC2/AC²=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB2=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB²/AC2/AC²=BF/AF·AF/CF=BF/CF(2)     

对一道平面几何问题的探究反思

2010年第5期《数学通报》刊登了白玉娟、郭璋老师给出的1846号问题"在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D1,D2在AC上,且AD1=CD2,AE1⊥BD1于E1,延长AE1交BC于F1,AE2⊥BD2于E2,延长AE2交BC于F2.求证:∠AD1B+∠AD2B=∠CD1F2+∠CD2F1"的证明1.我们通过对该问题认真探究反思,得到了该问题的一些有意义的结论:一是该问题的多种证法,二是该问题的变形命题,三是该问题的原型命题,四是问题的推广引申.     

四边形的一个性质及其推论

<正>性质如图1,在四边形ABCD中,若∠BAD+∠BCD=α(0°<α≤180°),则(AC·BD)²=(AB·CD)2=(AB·CD)²+(AD·BC)2+(AD·BC)²-2AB·BC·CD·ADcosα.证明如图2,过点A、D分别作射线AE、DE交于点E,且使∠DAE=∠BCD、∠ADE=∠BDC,则△EDA∽△BDC.     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

求两三角形面积比的多种解法

<正>题目四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=BC=5,CD=7,AD=1,求△ABD与△BCD的面积之比.思路一两个三角形的面积之比利用同底(等底)转化为高之比.妙解法一(利用BD为两三角形的公共边,过A,C作高AE,CF.)如图2,连结AC,由勾股定理得AC²=AB2=AB²+BC2+BC²=50,又AD2=50,又AD²+DC2+DC²=50,所以∠ADC=90°.所以A,B,C,D共圆.由AB=BC得,     

一道竞赛题的多种解法

<正>试题(2017年"大梦杯"福建省初中数学竞赛)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为线段BC的中点,E在线段AB上,CE与AD交于点F.若AE=EF,且AC=7,FC=3,则cos∠ACB的值为().(A)3/7(B)(2(10)^(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)^(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)²-(AB)2-(AB)²)2)^(1/2)/AC.因为AC=7,所以只需求BC或AB的长即可确定cos∠ACB的值.本题的难点是根据已知条件"D为线段BC的中点,AE=EF"寻找AB与FC之间的数量关系,即根据FC的长求出AB的长.     

三角形等角线的一个新性质

本文将给出三角形等角线的一个新性质 :定理　设 AD、AE是△ ABC的等角线(∠ BAD =∠ CAE,如图 1 ) ,且△ ABD、△ ACE的内切圆分别与BC相切于点 M和 N,则1MB 1MD=1NC 1NE.图 1证明　如图 1 ,由切线长公式得MB =12 ( AB BD - AD) ,MD =12 ( AD BD - AB) ,NC =12 ( AC CE - AE) ,NE =12 ( AE CE - AC) .所以 ,有BD .NC .NE= BD4( AC CE - AE) ( AE CE - AC)= BD4( CE2 - AC2 - AE2 2 AC .AE)= 14[BD( CE2 - AC2 - AE2 ) 2 BD.AC.AE],1CE .MB .MD= CE4( AB BD - AD) (…     

一道考试题的多种解法

<正>看下面的题目:已知:四边形ABCD是正方形,E是AB边上一点,连接DE,过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F,连接EF.(1)如图1,求证:DE=DF;(2)如图2,连接AC、EF交于点M,求证:AB+AE=槡2AM.这是我市八年级期末考试的一道题目,第一问比较简单,只要证明△ADE与△CDF全等就可以了,在这里就不再赘述.下面先给出     

一道课外习题的多种证法和说明

<正>《中学生数学》2020年8月下(初中版)课外练习初二年级第3题:问题呈现已知如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CM⊥AB于点M,点D在BC上,且AC=CD=DB,AD与CM交于点E.求证:2AE=ED.本题看似繁复,实则简单.它是一直角边为另一直角边2倍的直角三角形,在正方形问题中经常出现,只不过把它从正方形分离出来,变化为直角三角形的问题.