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涉及直角三角形一命题的面积证法 总被引:1,自引:1,他引:0
文[1]中给出了:命题 在Rt△ABC中,∠ACB为直角,CD⊥AB于D,△ADC和△CDB的内心分别为O1、O2,O1O2与CD交于K,则1BC+1AC=1CK.图1文[2]给出了上述命题的纯平几证法.但其证法需添作复杂的辅助线后,再构造相似三角形解题.尽管初中学生能够接受,但给问题增加了神秘感,其构图思路让学生难以捉摸.为此,现给出命题的一种面积证法,供读者参考.证明 如图1,设O1O2的双向延长线分别与AC、BC相交于M、N,又设∠ACD=α,则∠BCD=90°-α, sinα+cosα… 相似文献
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已知AD与BC交于E ,AC∥FE∥BD .(图一 )求证 :1AC 1BD =1FE.图一这是一个常见的几何题 ,它有较为丰富的潜能 .若对它进行开发 ,以用于初三复习或第二课堂教学 .则在培养学生的探究能力方面将收到事半功倍的教学效果 .下面本文在原条件不变及尽量不加新线段 (若加 ,则要求所得的结论能以原题结论引出 )的基础上大略地谈谈对本题的 (初步 )开发 .(主要结论都在波浪线上 ) .1 若AC =BD且AC ⊥AB ,由AC∥FE∥BD知△ACB △BDA ,从而有AD =BC .还可以得到AE =12 BC(BE =12 AD) .易知又有AE =… 相似文献
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1 三角形等积点的定义设P是△ABC所在平面内一点,若a·PA=b·PB=c·PC,则称P是△ABC的等积点(其中BC=a,CA=b,AB=c).2 三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文[1].命题1 分别以△ABC的三边为边,向形外作等边△ABC1、△BCA1、△ACB1,则AA1=BB1=CC1=f1,且直线AA1、BB1、CC1共点,这点叫△ABC的正等角中心,本文用F1表示此点.其中f1=12(a2+b2+c2+43△),△表示△ABC的面积.命题2 分别以非正△ABC的三… 相似文献
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对于一类形如的几何问题证明方法五花八门,本文利用一个常见的构图,给出这一类问题的一个统一证明.1 基本构图及其结论 命题 如图1,AB//EF//CD,则 略证2 一组常见问题的统一解决及启示 问题 1 如图 2,△ABC中,BE平分ABC,EF//BC,则. 略证 过A作AD//BC与BE的延长线交于D,则 AD=AB,结论显然成立. 问题2 如图 3,ABC=120°,BD平分ABC,点A、D、C在一直线上,则 证明 过A、C作BD的平行线与CB、AB 的延长线交于E、F,由AE=AB,CF=CB,结论成立. 一般的文… 相似文献
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三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔,何琴(湖北武穴师范436400)在三角形内,发现下述一个新不等式:命题1P在△ABC的边AC上(图l)D和E在边BC上,且BD=DE=EC;BAD与AE分别与BP交于F、G,则证明整理得S2△ABP≥9S2△AFG... 相似文献
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在解答有关梯形的题目时 ,常常要添加辅助线 ,把梯形问题转化成三角形、平行四边形的问题来解 .解答梯形问题时 ,常引辅助线的方法有以下几种 :一、延长两腰 (使其相交 )得到两个相似三角形 ,如图 (一 ) .例 1 已知 ,梯形ABCD中 ,AB∥CD ,∠A =∠B ,求证 :AD =BC .分析 :结论要证两条线段相等 ,由题意知 ,此题不能用证两个三角形全等的方法来证明 .因此可考虑将结论中的两条线段集中到一个三角形中 .如图 ,延长AD与BC相交于点E ,由∠A =∠B知△EAB是等腰三角形 ,又因为DC∥AB ,所以△EDC也是等腰三角形 ,从… 相似文献
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三角形外心的一个性质 总被引:1,自引:1,他引:0
定理 若点 D在△ABC的边 AB上,且∠CDB=α,M1、M2、M 分别 为 △ADC、△DBC、△ABC的外心则 证明(1)建如图1所示的平面直角坐标系.设A(α,0),D(d,0),B(b,0),C(0,c),则线段AD、DBJB的垂直平分线方程分别 易得线段AC书C的垂直平分线方程分 0MI和OM;的连心线MIMZ垂直平分其公共弦CD.三角形外心的一个性质@胡斌$山东省惠民师范学校!251700 相似文献
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一个定理的应用及推广226321江苏通州市二甲中学曹兵1定理若E、F分别为正方形ABCD的边CB、DC上的点,那么2证明如图1,将Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°至Rt△ADE′,则点F、D、E′必共线,于是,证毕.3应用例1已知正方形ABCD的... 相似文献
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三角形某些“伴心“的性质 总被引:2,自引:2,他引:0
引理 设P为△ABC所在平面上一点,且直线AP、BP、CP分别交直线BC、CA、AB于点D、E、F,D′、E′、F′分别为D、E、F关于各自所在边的中点的对称点,则 AD′、BE′、CF′必交于一点Q. 由于BD′=CD,CE′=AE,AF′=BF,应用Ceva定理及其逆定理,即可证明. 这样,P和Q就成为△ABC的一对“伴心”.比如,若P为内心I,则Q就是伴内心I′;若P是△ABC的垂心H,则Q就是伴垂心H′等等.若将P叫做“本心”,Q就叫做伴心,相应的△DEF叫本心三角形,△D′E′F′则叫做伴… 相似文献
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1 换一个视角,提出了猜想T:由我们学过的平行线等分线段定理知,如图1,直线l1∥l2∥l3,直线l4、l5分别被l1、l2、l3所截,如果AB=BC,那么DE=EF.换一个视角,对于图1,如果ABBC=1,那么DEEF=1;还有如果ACBC=2,那么DEEF=2;如果ABAC=12,那么DEDF=12.由此可以引出什么样的猜想呢?图1 图2如图2,直线l1∥l2∥l3,直线l4、l5分别被l1、l2、l3所截,那么有ABBC=DEEF,ABAC=DEDF.2 通过一个个图式、比… 相似文献
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《数学通报》2001,(11)
20 0 1年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 3 6 ⊙O中 ,直径AB垂直于非直径的弦CD ,弦AE与半径OC交于点F ,弦DE交弦BC于点G .求证 :FG∥AB .(四川省普格县荞窝农场子弟学校 王承宣 6 1 5 3 0 2 )证明 如图 ,连结BD、CA .∵AB ⊥CD ,∴ CA =DA ,CB=BD ,∴∠COA =∠CBD ,又AO =CO ,∴∠ACF =∠GCD ,又∠EAO=∠EDB ,∠CAF=∠CDE ,∴△ACO ∽△CBD ,△AOF∽△DBG ,△ACF∽△DCG ,∴ CFCG =ACCD =AOBD =FOGB,即 CFFO =C… 相似文献
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两条直线平行的问题”是几何的基本内容 ,在初中几何中占有重要的地位 .有关两条直线平行的证明有许多灵活的方法 .下面就证明两条直线平行的方法作一归纳 ,供大家学习 .一、证明两条直线平行常用的方法1.利用平行线的判定定理来证明 .2 .利用比例式来证明 .3.利用三角形 (或梯形 )的中位线定理来证明 .除以上方法外有时也利用平行四边形的定义来证明 ,或者利用三角形的等积关系等来证明 .二、应用例子例 1 已知 :如图 ,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆 ,过顶点A作⊙O的切线AE .求证 :AE∥BC .证明 :∵AE是⊙O的切线 ,∴∠EAC =∠B .又∵△ABC是等腰三角形 ,∴∠B =∠C .∴∠EAC =∠C .∴AE∥BC .例 2 如图 ,C是线段AB上一点 ,分别以AC ,CB为一边作等边三角形ACD和等边三角形CBE ,AE交CD于M ,BD交CE于N .求证 :MN∥AB .分析 :要证明两直线平行 ,结合已知条件△ACD和△CBE是等边三角形 ,所以应该用平行线的判定定理来证明 .解 :∵△ACD和△CBE是等边三角形 ,∴AC =CD ,CE =CB .又 ∠ACD =∠ECB =6 ... 相似文献
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设A、B、C、D、E是平面上任意五点,若记△EAB、△ABC、△BCD、△CDE和△DEA的面积分别为α、β、γ、δ、ε,则五边形ABCDE的面积A(此处不要与点A混淆)满足Mobius-Gauss公式A2-(α+β+γ+δ+ε)A+(αβ+βγ+γδ+δε+εα)=0.①文[1]中提到①式,顺便以此证明min{α,β,γ,δ,ε}≤2A5+5≤max{α,β,γ,δ,ε}.②最后,又提出如下猜想:5αβγδε≤2A5+5≤15(α2+β2+γ2+δ2+ε2);③③式显然是②的加强,证明自然更… 相似文献
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郭清波老师在《数学通报》199711《三角形比例线段和定理及其应用》一文中给出如下定理:定理1设P是△ABC内任一点,分别连结AP、BP、CP并延长,依次交BC、CA、AB于D、E、F,如图1,则AFFB+AEEC=APPD.图1图2笔者发现该定理很... 相似文献