平面闭折线的分解及应用

平面闭折线的分解及应用姚勇（四川永川重庆印制六厂６３２１６０ｎ边闭折线Ａ１Ａ２…Ａｎ，熟知行遍它可有两个方向，一个是Ａ１→Ａ２→…→Ａｎ→Ａ１，常简记为Ａ１→Ａ２，另一个方向与此相反，简记为Ａ２→Ａ１．闭折线边之间交点（非顶点）称为自交点．无自交点的...     

用构造法解一类最值问题

用构造法解一类最值问题文家金（四川省安岳一中６４２３６７）问题１设折线：Ａ１Ａ２…Ａｎ＋１的长为定值Ｌ：与直线Ａ１Ａｎ＋１所围成的ｎ十１边形的面积记为Ｓ（ｎ≥２）．（１）为何种折线时Ｓ最大？（２）若Ａ１，Ａｎ＋１为定点，问为何种折线时Ｓ最大？结论：（...     

平面闭折线的有向面积及其应用

读了贵刊文 [1 ],得益匪浅 .在该文的启发下 ,本文建立一般平面闭折线的有向面积概念 ,并略述其应用 .我们约定 :符号Ａ(ｎ)表示复平面内的任意一条闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1;Ａｉ 表示复平面内任意一点的字母 ,同时也表示这个点所对应的复数 .定义 1　式子12 Ｉｍ∑ｎｉ=1ＡｉＡｉ+1(其中Ａｎ+1为Ａ1)的值 ,称为闭折线Ａ(ｎ)的有向面积 ,记作△Ａ(ｎ) ,即△Ａ(ｎ) =12 Ｉｍ∑ｎｉ =1ＡｉＡｉ+1,其中Ａｎ+1为Ａ1.定义 2　闭折线Ａ(ｎ)的有向面积的绝对值 ,称为闭折线Ａ(ｎ)的面积 ,记作ＳＡ(ｎ) ,即ＳＡ(ｎ) =｜△Ａ(ｎ) ｜ .不难验证 ,当…     

平面闭折线与其各边分点闭折线的重心之间的关系

在ｎ边平面闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1的各边Ａ1Ａ2 ,Ａ2 Ａ3,… ,ＡｎＡ1(或其所在直线 )上分别取一点Ｂ1,Ｂ2 ,… ,Ｂｎ,依次连结这ｎ个点得到另一条ｎ边闭折线Ｂ1Ｂ2 Ｂ3…ＢｎＢ1,本文研究当各边上的分点满足某种特定条件时 ,两条闭折线的重心之间的关系 .先引入平面闭折线的重心的定义 :定义　在闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1所在平面内建立直角坐标系ｘＯｙ ,设闭折线各顶点坐标为 :Ａｉ(ｘｉ,ｙｉ) ,令 ｘ =1ｎ∑ｎｉ=1ｘｉ, ｙ =1ｎ ∑ｎｉ=1ｙｉ,称点Ｇ( ｘ , ｙ)为闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1的重心 .定理 1　在平面闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…     

空间闭折线与其内点闭折线周长间的一个关系

我们把依次连接折线各边内点所得的折线称之为内点折线．那么,任意一条封闭折线（不一定是平面的）,它的内点折线的周长与原折线的周长之间有什么样的关系呢？本文将探讨此问题． 为此,先给出如下引理： 引理 １ △ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＡＣ≤ ＢＣ·ｃｓｃＡ／２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号． 证明 在△ＡＢＣ中,由余弦定理,得ＢＣ～２＝ＡＢ～２＋ ＡＣ～２—２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓ Ａ 引理２ 设Ｐ１＞０,ａ１＞０（ｉ＝１,２,…,ｎ）,则 引理２是加权幂平均不等式Ｍ１（ａ,ｐ）≤Ｍ２（ａ,ｐ）,在许多文献（例如文［１］…     

广义回形折线中的一个三角不等式

本文给出广义回形折线中的一个三角不等式，并略述其应用．关于广义回形折线及其内角、环数等概念，请参看拙文［１］，这里沿用而不复述．定理设ｎ边广义回形折线Ａ１Ａ２Ａ３…ＡｎＡ１的各内角∠Ａｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）都是劣角，Ｐ是它的任一同侧点，记θｉ＝∠Ｐ...     

关于一个单形不等式的简单证明

关于一个单形不等式的简单证明杨定华（重庆师范学院数学系，重庆４０００４７）苏化明先生在文［１］建立如下与ｎ维单形外接超球心有关的一个不等式：定理设Ａ＝Ａ１Ａ２…Ａｎ＋１为Ｅｎ中的ｎ维单形，Ａ的外接超球心Ｏ位于其内部．记Ａｉ＝Ａ１Ａ２…Ａｉ－１ＯＡｉ＋...     

关于代数体函数的Nevanlinna第二基本定理

设（Ａ，（ｚ））＾ｎｉ＝０为复平面上的整函数且没肥公共零点，令ｋ＋１是（Ａｉ（ｚ））＾ｎｉ＝０在复数域上的极大线性无关数，设Ｗ＝Ｗ（ｚ）由下列不可约方程Ａｎ（ｚ）Ｗ＾ｎ＋Ａｎ－１（ｚ）Ｗ＾ｎ－１＋．．．＋Ａ１（ｚ）ｗ＋Ａ０（ｚ）＝０所定义，我们称Ｗ＝Ｗ（Ｚ）为ｎ值ｋ型代数体函数（１≤Ｋ≤ｎ）。     

平面封闭折线中的射影定理,正弦定理和余弦定理

本文将三角形的射影定理、正弦定理和余弦定理，拓广到平面封闭折线中，从而揭示其基本元素——边与折角之间的恒等关系．文中的有关概念（如折角、顶角），可参阅［１］［２］文．定理设ｎ边平面封闭折线Ａ１Ａ２…Ａｎ的边长为｜Ａ１Ａ２｜＝ａ１，｜Ａ２Ａ３｜＝ａ２，...     

n维单形的纳斯必特——彼得洛维奇不等式

利用优超理论将平面上关于三角形的纳斯必特－彼得洛维奇不等式推广到ｎ维欧几里得空间中的ｎ维单形上,得到Ｎ＾２ｎ（Ｎ－１）（ｄ＋ｎＮ）≤∑Ｎｋ＝１ｓｄ＋ａｋＮ≤Ｎ－ｎｎ＋ｎｎ－１（ｄ＋１）,式中ａｉ（ｉ＝１,…,Ｎ;Ｎ＝ｎ（ｎ＋１）２为ｎ维单形∑Ａ的棱长,ｄ为任一非负实数,ｓ＝１ｎ∑Ｎｉ＝１ａｉ。     

线性常微分方程组解的特征数的估计

复数域上线性系统ｘ＝Ａ（ｔ）ｘ，当Ａ（ｔ）＝（ａｉｊ（ｔ））ｎ×ｎ具有（ｎ，Ｎ，ｒ） 差异性质且ｒｎ时，解的特征数ｊ有估计λｊ－ｌｉｍｔ→∞１ｔ∫ｔｔ０Ｒｅａｊ（τ）ｄτｎ－１ｒ＋１－ｎｌｉｍｔ→∞１ｔ∫ｔｔ０Ａ（τ）ｄτ，ｊ＝１，２，…，ｎ，其中Ａ（ｔ）＝ｍａｘ｛｜ａｉｊ（ｔ）｜：ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ，ｉ≠ｊ．｝     

子集的交叉t－相交定理

设Ｘ为一个ｎ元集合，Ｃｎｋ为Ｘ的所有ｋ元子集全体，若Ａ∈Ａ，Ｂ∈Ｂ有｜Ａ∩Ｂ｜≥ｔ，则称（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族．本文得到最大交叉ｔ－相交子集族和最大非空交叉２－相交子集族．证明如下两个结论．（１）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族，且ａ≤ｂ及ａ＋ｂ≤ｎ＋ｔ－１，则｜Ａ＋Ｂ｜≤ｍａｘ｛（ｂｎ），（ａｎ）｝，且当（Ａ；Ｂ）＝（φ，Ｃｎｂ）或（Ｃｎａ，φ）时达到上界．（２）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉２－相交子集族，且ａ＜ｂ，ａ＋ｂ≤ｎ－１及（ｎ，ａ，ｂ）≠（２ｉ，ｉ－１，ｉ）（ｉ为任意正整数），又Ａ，Ｂ均非空，则｜Ａ＋Ｂ｜≤１＋（ｂｎ）－（ｂ（ｎ－ａ））－ａ（（ｂ－１）（ｎ－ａ））且当（Ａ，Ｂ）＝（｛Ａ｝，Ｃｎｂ－｛Ｂ｜｜Ｂ｜＝ｂ，｜Ａ∩Ｂ｜≤１｝）时达到上界．     

非等边的双圆闭折线的存在性

非等边的双圆闭折线的存在性熊曾润（江西赣南师范学院３４１０００）既有外接圆又有内切圆的闭折线，称为双圆闭折线．众所周知，正星形（例如正五角星和正多边形）是双圆闭折线，且其各边相等．现在要问：对任意给定的正整数ｋ和ｎ（ｎ＞２ｋ，且（ｎ，ｋ）＝１），是否...     

独立随机变量序列重对数律的一个注记

｛Ｘ_ｉ｝为独立随机变量序列,Ｅ（Ｘ_ｉ）＜＋∞,Ｅ（Ｘ (２)_(ｉ)）＜＋∞（ｉ＝１,２,…）,当中心极限定理中的余项△ｎ＝Ｏ（ｌｎ Ｂｎｌｎ ｌｎ Ｂｎ…（ｌｎｋ　Ｂｎ）~（１＋δ）~（－１））时,本文得出结论：     

贪婪t－相交有限序列族

设Ｆ为有限序列族，对ａ＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ）∈Ｆ，ａｉ为整数且０≤ａｉ≤ｓｉ（整数），记ｓ（ａ）＝｛ｊ｜１≤ｊ≤ｎ，ａｊ＞０｝，ｓ（Ｆ）＝｛ｓ（ａ）｜ａ∈Ｆ｝，及Ａ｛１，２，…，ｎ｝时Ｗ（Ａ）＝Пｉ∈Ａｓｉ．称Ｆ为贪婪ｔ－相交，如对任何ａ，ｂ∈Ｆ，至少有ｔ个ａｉ，ｂｉ＞０，且Ｗ（Ａ）≥Ｗ（（｛１，２，…，ｎ｝－Ａ）＋Ｂ）对任何Ａ∈Ｓ（Ｆ）及ＢＡ（｜Ｂ｜＝ｔ－１）成立．本文得到当ｓ１＞ｓ２＞…＞ｓｎ时的最大贪婪ｔ－相交有限序列族．     

一类线性errors－in－variables模型的参数强相合估计及其a．s．收敛速度

本文讨论了如下一类线性ｅｒｒｏｒｓ－ｉｎ－ｖａｒｉａｂｌｅｓ模型——多元线性结构关系模型β′ｘｋ＋α＝０，ξｋ＝ｘｋ＋εｋ．｛ｋ＝１，２，…，ｎ．其中，｛ｘｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝为一组ｉ．ｉ．ｄ．的ｍ维随机向量，｛εｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝是ｉ．ｉ．ｄ．的随机误差，Ｅ（ε１）＝０，Ｖａｒ（ε１）＝σ２Ｉｍ．且｛ｘｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝与｛εｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝相互独立．在一些条件下，我们证明了估计量β，α，σ２的强相合性、唯一性，并给出了估计量的收敛速度为ｏ（ｎ－１－１ｑ），这里ｑ∈［１，２）．对于Ｅ（ｘ１）ｕ１和Ｖａｒ（ｘ１）Ｖｘ的估计也得出了同样的结果     

增长曲线模型的参数估计及其性质

考虑增长曲线模型：Ｙｐ×ｎ＝ＡＢＣ＇＋εｐ×ｎ，Ｅε＝０．其中，ε＝（ε１，ε２，…，εｎ），ε１，ε２…，εｎ独立同分布，Ｅεｉεｉ＇＝Σｐ×ｐ＞０．该文利用协差阵的Σ的（一定意义下的）最小二乘估计Σ，分别给出了参数Ｂ，参数的线性函数ＡＢ，ｔｒ（Ｄ１’Ｂ）＋（Ｄ２Σ）（Ｄ２＝Ｄ‘２）（Ｄ２＝Ｄ２’）的估计Ｂｎ，Ｚｎ和ｔｒ（Ｄ１＇Ｂｎ）＋ｔｒ（Ｄ２Σｎ）．在ε１服从正态分布的情形下，给出了Ｚｎ，Σｎ的分布．并在ε１分布比较一般的情形和一定条件下给出了Ｚｎ，Ｂｎ，Σｎ和ｔｒ（Ｄ１’Ｂｎ）＋ｔｒ（Ｄ２Σｎ）的极限分布皆为正态分布（ｎ→∞）．而且Ｚｎ，和Σｎ，Ｂｎ，和Σｎ都是渐近独立的（ｎ→∞）．从而可构造参数Ｂ的置信区域和更好地进行判别分析，相关分析等．     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

等比数列的一个性质

设｛ａｎ｝是以ｑ为公比的等比数列,其前ｎ项和为Ｓｎ,若１≤ｍ＜ｎ,则易知　Ｓｎ＝Ｓｍ＋ｑｍＳｎ－ｍ．（１）特别地,当ｍ＝１而ｎ＞１时,有　　　　　Ｓｎ＝ａ１＋ｑＳｎ－１．（２）这是等比数列的一个简单性质,容易推出其逆命题也成立．下面举两例说明（１）和（２）的应用．例１　设｛ａｎ｝为等比数列,公比为ｑ,前ｎ项和为Ｓｎ．（Ⅰ）若对任何ｉ＝１,２,…,ｍ,有｜Ｓｉ｜≤Ｍ（常数）,则对任何ｉ＝１,２,…,２ｍ,有｜Ｓｉ｜≤（１＋｜ｑ｜ｍ）Ｍ．（Ⅱ）若对任何ｉ＝１,２,…,ｍ,有｜Ｓｉ｜≤Ｍ且｜ｑ｜＜１,…     

关于Fibonacci数的两个表达式

关于Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的两个表达式胡久稔（南开大学数学研究所，天津３０００７１）关键词Ｆｉｂｏｎａｃｉ数，表达式．分类号ＡＭＳ（１９９１）０５Ａ／ＣＣＬＯ１５７．１｛ｕｎ｝（ｎ＝１，２，…）表示Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列：ｕ１＝ｕ２＝１，ｕｎ＋２＝ｕｎ...