圆锥曲线焦点弦的一组统一性质

<正>2018年北京市房山区高三理科一模圆锥曲线解答题为:已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)过点(0,-1),离心率e=22=1(a>b>0)过点(0,-1),离心率e=2^(1/2)/2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点F(1,0)作斜率为k(k≠0)的直线l,l与椭圆C交于M,N两点,若线段MN的垂     

圆锥曲线两垂直焦点弦的一组性质

圆锥曲线优美、和谐,它有许多内涵丰富、应用广泛的几何性质,吸引着数学爱好者乐此不疲地去研究它、发掘它、拓展它.笔者在教学中发现,如果过圆锥曲线的一个焦点作两条相互垂直的弦,与此相关联,就可以得到如下漂亮的性质.     

圆锥曲线中与定点弦有关的一组对偶元素性质

文[1]给出了如下定义:在抛物线中,点D在抛物线的对称轴上且与焦点同侧,直线l与对称轴垂直且与焦点异侧,若点D与直线l到抛物线的顶点等距离,则称点D与直线l为“对偶元素”;在椭圆(双曲线)中,点D在长轴(实轴)所在的对称轴上,直线l与该对称轴垂直且与曲线无交点,若点D与直线l在椭圆(双曲线)中心的同侧,且它们到椭圆(双曲线)中心的距离的乘积为长半轴(实半轴)长的平方,则称点D与直线l为“对偶元素”.     

椭圆及双曲线平行弦的又一组性质

文[1]给出了双曲线平行弦的两个性质,文[2]将其推广到圆与椭圆,笔者进一步研究,得出了椭圆与双曲线的又一组性质.性质1如图1,若P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上任意一点(非长轴端点),连结OP,过椭圆的焦点F作直线MN,使MN∥OP,且交椭圆于M,N两     

椭圆三条平行弦的一组有趣性质

椭圆焦点弦、中心弦、顶点弦是很重要的几何量．为此,本文介绍在它们平行时的一组有趣性质及其应用,供读者参考．定理如图,ＡＢ是经过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞０）长轴顶点Ａ的弦,ＭＮ是焦点弦,ＯＰ是半中心弦,若ＡＢ∥ＯＰ∥ＭＮ,且它们的倾斜...     

圆锥曲线中一组漂亮的统一性质

借助《几何画板》,笔者近日在学习和教学中发现了圆锥曲线中一组漂亮的统一性质,现与大家分享.性质1若抛物线y2=2px(p>0)上某点P的法线与x轴交于点G,过点G作焦半径PF的垂线l,垂足为L,则|PL|=p.     

圆锥曲线的定点弦性质

文 [1 ]给出下面三道命题 :命题 1　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,则直线ＰＱ必过定点Ｍ′(ｘ0 +2ｐ ,-ｙ0 ) ;命题 2　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ ,ＭＱ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｙ0 ;命题 3　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,若ａ≠ｂ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｙ0 ;若ａ =ｂ ,…     

圆锥曲线的一组统一性质

由于圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)有着统一的内在规律，因而它们一些有趣的性质逐渐被人们所揭示．下面是笔者在教学中发现的一组性质，现用定理的形式叙述并证明如下：     

圆锥曲线的一组有趣性质

文[1]、文[2]研究了圆锥曲线的弦对一些特殊定点张直角的问题,笔者最近对这一问题作了一些探究,得到了一组优美的结论,现介绍如下.定理1已知直线l:mx ny=1,及椭圆:ax22 by22=1.设l交椭圆于P,Q两点.直线OP与OQ的斜率之积为定值λ(O为坐标原点),则1m2-nλ2=a12-bλ2.证设点P(x1,y     

圆锥曲线的一组有趣性质

文[1]、文[2]研究了圆锥曲线的弦对一些特殊定点张直角的问题，笔者最近对这一问题作了一些探究，得到了一组优美的结论，现介绍如下．     

圆锥曲线的平行弦中点的轨迹

<正>我们从大家所熟悉的圆的平行弦中点的轨迹开始研究.例1已知圆x~2+y~2=r~2,B为该圆内的■动弦.斜率为m(常数).求此动弦中点轨迹的方程.分析涉及圆内弦的中点,同学自然想到垂径定理:垂直于弦的直径平分弦.     

圆锥曲线焦点弦的一个性质

笔者在利用《几何画板》探索圆锥曲线的性质时 ,发现圆锥曲线的焦点弦和准线间存在一个有趣性质 ,在此给出 ,共大家分享 .我们先看一个引理 :引理　在极坐标系中 ,设A(ρ1,θ1) ,B(ρ2 ,θ2 )是圆锥曲线 ρ=ep1 -ecosθ 上任意两点 ,则直线AB的方程为 :ρ[cos(θ1+θ22 -θ) -ecosθ1-θ22 cosθ]=epcosθ1-θ22 .证明　在极坐标系中 ,若A(ρ1,θ1) ,B(ρ2 ,θ2 ) ,则直线AB的方程是 :sin(θ1-θ2 )ρ =sin(θ1-θ)ρ2+sin(θ -θ2 )ρ1( )因为A(ρ1,θ1)、B(ρ2 ,θ2 )在圆锥曲线 ρ =ep1 -ecosθ上 ,所以 ρ1=ep1 -ecosθ1,ρ2 =ep1 -…     

圆锥曲线动弦的一个性质

定理 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上一定点 ,ＰＡ ,ＰＢ为抛物线的任意两条弦 ,α1,α2 ,分别是ＰＡ ,ＰＢ的倾斜角 ,则(ⅰ )当ｔａｎα1·ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点 ;(ⅱ )当ｔａｎα1+ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 ;(ⅲ )当α1+α2 =定值θ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 .证明　设ＰＡ方程为ｘ=ｍ1ｙ+ｎ1,则ｎ1=ｘ0 -ｍ1ｙ0 ,将ＰＡ方程代入ｙ2 =2ｐｘ得ｙ2 -2ｐｍ1ｙ-2ｐｎ1=0设Ａ(ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则ｘ1=2ｐｍ21-2ｍ1ｙ0 +ｘ0ｙ1=2ｐｍ1-ｙ0 　　　　　①同理　　设ＰＢ方程为…     

圆锥曲线焦点弦的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质:已知A,B是圆锥曲线C上关于x轴对称的任意两个不同的点,点P是C的准线与x轴的交点,直线PB交C于另一点E,则直线AE恒过曲线C的(与准线相对应的)焦点F.显然,AE是圆锥曲线的一条焦点弦.通过研究该性质的逆命题,我们可以得到如下的与焦点弦有     

圆锥曲线的一组相关的性质

笔者在探讨圆锥曲线焦点三角形的有关性质过程中 ,通过类比联想得到了一组结论及其证明思路 ,简录于下 ,供大家参考 .性质 1　若Ｆ1 、Ｆ2 分别为双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1图 1左、右焦点 ,点Ｐ是双曲线右分支上的一点 ,则△ＰＦ1 Ｆ2 的内切圆必切于双曲线的右顶点 ;若点Ｐ是双曲线左分支上的一点 ,则△ＰＦ1 Ｆ2 的内切圆必切于双曲线的左顶点 .思路　如图 1 ,因为2ａ=｜ＰＦ1 ｜- ｜ＰＦ2 ｜ =｜Ｆ1 Ａ｜ -｜Ｆ2 Ａ ｜ =｜Ｆ1 Ｏ｜ +｜ＯＡ｜- (｜ＯＦ2 ｜ -｜ＯＡ｜) =2 ｜ＯＡ｜ .图 2　　所以Ａ点的坐标为 (ａ ,0 ) ,即实轴的右顶点 …     

圆锥曲线一组有趣的定值性质

性质1如图1,椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左（右）焦点为F,在x轴上F的右（左）侧有一点A,以FA为直径作圆C与椭圆E在x轴上方部分交于M、N两点,则｜FM｜＋｜FN｜/｜FA｜=1/e（其中e为椭圆的离心率）．     

圆锥曲线一组新性质的优化

1．问题的发现 文[1]提出的性质定理以及推广的结论可以变换一种证明方式进行探讨、研究、推广．     

利用圆锥曲线中点弦性质解题

导数的应用已经成为课改后中学数学的一个重点、难点和亮点,它是中学和大学学习内容的一个重要结合点,为我们提供了新的解题工具,本文旨在探究导数在圆锥曲线中点弦问题中的妙用!