无理方程的验根问题

解无理方程的最后步骤是验根,这一点毫无疑问．那么,究竟如何验根却存在一些问题．让我们首先观察下面的例题,然后追根问底．例　解无理方程２ｘ＋ｘ－１＝５．解法１　移项得２ｘ－５＝－ｘ－１,两边平方得　４ｘ２－２０ｘ＋２５＝ｘ－１,４ｘ２－２１ｘ＋２６＝０,（ｘ－２）（４ｘ－１３）＝０,解得　　　ｘ１＝２,　ｘ２＝１３４．检验：把ｘ１＝２,ｘ２＝１３４代入ｘ－１,都有意义．故　ｘ１＝２和ｘ２＝１３４都是原方程的根．解法２　２ｘ＋ｘ－１＝５,　　２ｘ＋ｘ－１－５＝０,　　２（ｘ－１）＋ｘ－１－３＝０．令…     

谈无理方程的验根

一次上复习课时 ,同学们遇到一道题 :解方程 :x - 1 - x 1x - 1 x 1 =x - 3.解　方程左端分母有理化 ,并整理 ,得x - 1 . x 1 =2 x - 3,平方 ,化为有理方程3x2 - 1 2 x 1 0 =0 .解之得　 x1=6 63,　 x2 =6 - 63.下面一步是验根 .初中《代数》第三册P1 30介绍的方法是把求得的根化入原方程检验 .这里把 x1、x2 直接代入原方程后 ,显然要作繁琐的计算 ,其麻烦的程度超过了解方程 ,而且容易出错 ,到此同学们往往感到束手无策 .问老师 :“有没有简便的方法 ?”回答是肯定的 ,本文给出一个无理方程的简便易行的验根方法 .供大家参考…     

簡化无理方程驗根的方法

解无理方程需要驗根,一般的是把解得的根一一代入原方程进行检驗,做起来比較繁杂,学生也感觉困难。为了簡化驗根手续,減少学生驗根的困难,而又能提高解題效率,我在教学高中代数第一册第二章无理方程一个单元时,采取了以下几种簡化的驗根方法: (1)依据有理化因式有沒有实数根,簡化驗根手續。在讲授无理方程的解法时,首先应使学生明确为什么解无理方程可能引进增根? 因为解无理方程的一般方法是把方程两边都乘方若干次,化为有理方程,然后求解。这实际上就是把方程的各項移到左边,使右边等于零后,两边都乘以左边式子的有理化因式,然后化为有理方程。如果有理化因式本身有实数根(也就是能够使有理化因式等于零的值),就可能有增根;如果有理化因式本身沒有实数根,就沒有增根。例如,解方程(3x 4)~(1/2)=4时,它的有理化因式是(3x 4)~(1/2) 4,能够使(3x 4)~(1/2) 4等于零的值,必     

活用坐标法巧解无理方程

用坐标法解题 ,就是在坐标平面内 ,依据问题的结构特征 ,转化、构造解析几何模型 ,借助于解析几何的有关公式、性质、图形的特征、位置关系等来探求解法 .一些无理方程应用坐标法求解 ,能较好地避免因常规解法而带来的方程高次化问题 ,使问题解决自然流畅 ,简捷明了 .1　用距离     

解无理方程的一种参数法

中学数学中解无理方程常采用换元法,目的是把无理方程转化为有理方程,从而便于求解。其实质是一种参数法。引进参数后实际上是把一元无理方程转化为二元,乃至于多元的有理方程组。     

无理方程的有理化

高中同学学过无理方程的解法。課本习題中只有含有四个二次根式的无理方程,对于含有更多个根式的无理方程的解法,同学們是有困难的。为了加深同学們的数学知識的深度,可在数学課外小組,研究无理方程的有理化。一、在高中一年級代数課里讲过无理方程。无理方程的解法,一般是把方程两边屡次乘方,或把方程两边乘以有理化因式,把无理方程变形为有理方程,然后再解有理方程,从而求得无理方程的根。例如     

一组无理方程

下列各方程均不需“乘方”.经观察、分析后,在十秒钟内即得其解,请你一试. 1.了万丁丁了+了云不若下二o 2.石万i一卜艺不二飞~3 3.、肠芬子一了+了万一不二2 4.石石十石不乏~1 5.(尹十1)十一丫花牙二百二二0 6.:一、心二乏~2 7.了王范.石不而+(一2)=o 一3一一组无理方程@王南林$安徽安庆市月山铜矿中学~~     

有理三角方程的增根遗根与验根

这种情况在旧教科书中都不讨论,因为在旧教科书中允许採用极限原则,当未知量取某值而函数失去意义时,只要函数有极限值,并且当函数取极限值时方程的两边平衡,则未知量所取的值仍为方程的根。因此例2中的x=     

一道无理方程的多种解法

题目解方程√1-√1+x=x. 　　这是1989年"缙云杯"初中数学邀请赛的一道试题.若引导学生从多种角度思考,认真挖掘其解法,它不失为培养学生发散思维能力的好素材.……     

无理方程有理化解法

无理方程求解的基本方法是把无理方程有理化.没有一个能适用于一切无理方程有理化的公式,但并不是一点规律都没有.本文根据初中教材中一些无理方程有理化的方法及已学过的知识加以归纳整理,以便解题时有所借鉴.     

无理方程的一些特殊解法

《数学通报》1989年第5期《无理方程的十一种特殊解法》(简称《解法》),介绍了无理方程的多种特殊解法,读后颇有收益.略感不足的是,该文只有代数解法而没有三角解法及几何解法,在代数解法中也遗漏一些比较常用的特殊解法.为更完善起见,对无理方程再补充七种比较常用的特殊解法,供同志们参考.     

一类无理方程的特殊解法

解形如(ax+b)~(1/2)±(cx+d)~(1/2)=k的无理方程,通常采用两边分别平方的解法,这种方法要进行两次平方,过程多,计算较为繁杂,而且容易产生增根,这里我们研究另外一种解法。下面一个恒等式是很容易验证的     

浅谈一类无理方程的简便解法

浅谈一类无理方程的简便解法陶兴模（重庆市铜梁中学４０２５６０）本刊１９９７年第１０期刊登了刘斌老师的一篇题为《浅析一道方程题的解法错误》的文章，拜读之后深受启迪．刘老师在文章中首先给出了无理方程５ｘ－６ｘ－２＝２ｘ２－６ｘ２－５的一种流行性错误解法，...     

一个无理方程的几种解法

在备战全国数学竞赛的日子里,笔者将一道竞赛题改编为: 解方程: 作为针对性的练习,目的是将同学们所学的代数与几何知识巧妙地进行结合,使所学知识融汇贯通,提高数学素养及解题的灵活性.今将该题的几种解法奉献给大家,谨供参考. 一、平面上两点之间线段最短.先判断函数 的最小值是否为2(3～(1/3)),倘恰好为2(3～(1/3)),则取得最小值时必存在一个x,使该无理方程成立.于是有:     

构造圆锥曲线解一类无理方程

解数学题的常规方法,是按照从条件到结论的定向思维．而按这种习惯性的思维方式来寻找解题途径,往往比较麻烦与困难．于是,我们应该变换自己的思维方向,改变思考角度,以开辟一条绕过障碍的新途径．构造性的思维方法便是一种十分有用的方法．它通过分析、联想,把题目中的已知条件重新组合,构造出新的图形、表达式、方程、函数等,使原来较为抽象、隐含的条件清晰地显示出来,以达到化繁为简、化难为易、化生为熟的目的．     

解无理方程的一种方法

定理　设 0≤ｆｉ≤ｇｉ(ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｆ1 ｇ22 - ｆ22 ｆ2 ｇ23 - ｆ23 … ｆｎ ｇ21 - ｆ21 =12 ∑ｎｉ=1ｇ2 ｉ ( 1) ｆ21 ｆ22 =ｇ22ｆ22 ｆ23 =ｇ23…　…　…ｆ2 ｎ ｆ21 =ｇ21( 2 )证　由不等式ＡＢ≤ Ａ2 Ｂ22 得ｆ1 ｇ22 -ｆ22 ｆ2 ｇ23 -ｆ23 … ｆｎ ｇ21 -ｆ21≤ 12 {[ｆ21 ( ｇ22 - ｆ22 ) ] [ｆ22 ( ｇ23 - ｆ23) ] … [ｆ2 ｎ (ｇ21 -ｆ21 ) ] =12 ∑ｎｉ =1ｇ2 ｉ,当且仅当ｆ21 =ｇ22 - ｆ22 ,ｆ22 =ｇ23 -ｆ23 ,…　…　…ｆ2 ｎ=ｇ21 - ｆ21 ,　即ｆ21 ｆ22 =ｇ22ｆ22 ｆ23 =ｇ23…　…　…ｆ2 …     

无理方程的几种特殊解法

中学数学里无理方程一般是通过两边乘方同一次数,把它化成有理方程来解。这个方法有时要多次使用才能达到目的,因此,它又叫做屡次乘方法。然而,用这种方法经常会遇到学生力所不及的高次方程,造成半途而废。那么,针对方程的特点,运用特殊方法,把无理方程化成不高于二次的有理整方程来解,就显得十分必要。何况运用特殊解法联系的知识面较广,从而可以使一些旧知识得到重现而掌握得更牢     

无理方程的十一种特殊解法

解无理方程中学课本主要讲述“两边平方法”与简单的“换元法”,实际上很多无理方程用这些常规方法不易解出,因此必须根据不同形式的无理方程寻求其特殊解法。现举例介绍解无理方程的十一种特殊方法,供教学参考。 一、利用定义域 例1 解方程(2x—3)~(1/2)-(4—5x)(1/2)=6x     

一类无理方程化作一次方程求解

1先看解法。例题解方程(x~2 4x 5)~(1/2) (x~2-2x 5)~(1/2) =(4x~2 4x 10)~(1/2) 解原方程化为 ((x 2)~2 1~2)~(1/2) ((x-1)~2 2~2)~(1/2) =、(〔(x 2) (x-1)〕~2 (1 2)~2)~(1/2) 令(x 2)·2=(x-1)·1, 得x=-5。解法是: (1)将方程左边两根号下的二次式分别配成平方和的形式,得、(a_1~2 b_1~2)~(1/2) (a_2~2 b_2~2)~(1/2)其中a_(1,2,)b_(1,2)分别为x的一次式和零次式; (2)将方程右边根号下的二次式配成对应的平方和,得((a_1 a_2)~2(b_1 b_2)~2)~(1/2)。这类无理方程就是专指能配成这种关系的无理方程;     

用二次曲线定义解无理方程

解无理方程的常用方法是使方程有理化,但对于一些特殊的无理方程,如果盲目乘方,往往会招致繁琐的运算。这就需要根据题中的一些特殊条件,采用特殊的解法。而利用二次曲线的定义,将无理方程转化为二次曲线的标准方程是值得注意的解题方法,现举几例介绍如下: 例1 解方程 x~2-10(3~(1/2))x+80+(1/2)x~2+10(3~(1/2))x+80=20 解:原方程可化为:(x-5(3~(1/2))~2+5~(1/2)+(x+5(3~(1/2)))~2+5~(1/2)=20令y~2=5,则原方程为:(x-5(3~(1/2))~2+y~2)~(1/2)+(x+5(3~(1/2))~2+y~2~(1/2)=20。此方程表示动点P(x,y)到两定点(5(3~(1/2)),0)、(-5(3~(1/2)),0)的距离之和为20,故它表示椭圆。