算两次原理在微积分中的应用

用两种不同的方法计算同一个量 ,或用两种不同的方式表示同一个量 ,这种最简单也是最基本的数学方法称为“算两次”原理 .单教授在 [1 ]中曾形象地将算两次原理比喻成“三步舞曲”,即从两个方面考虑一个适当量 ,“一方面 ,另一方面 ,综合起来可得”.在积分理论中 ,由于可通过改变积分的顺序而用两种不同方法来计算同一个重积分 ,而这一方法是以富比尼 ( G.Fubini)的名字命名的 ,故算两次原理也称为富比尼原理 .算两次原理不仅在几何学、组合数学、数论等方面有广泛的应用 [1- 3] ,而且在代数学、分析学、概率论等数学分支也有很多应用 ,…     

三棱锥体积公式教学中的几个问题

对于三棱锥的体积公式 ,多数学生都能熟练掌握其内容 .然而 ,公式引入和证明过程中所隐含的重要数学观点和思想方法 ,不少学生体会不深 ,解题时 ,对三棱锥的体积公式也不能灵活加以运用 .为此 ,本文就三棱锥体积公式的教学 ,谈几点浅见 ,供大家参考 .1　公式的引入实验、观察、猜想 ,往往是发现真理的重要一步 .引入三棱锥的体积公式 ,应遵循“实践———理论———实践”这一认识论的基本规律 ,培养学生的实验观点和观察猜想能力 .取两个等底等高的容器 (一个三棱柱和一个三棱锥 ) ,用水或沙装满锥体容器 ,然后倒入柱体容器 ,倒三次刚好倒…     

165 "点到平面射影位置的确定"教学实录

[主持人按目前数学课的教学,从一种视角来看,可以分为这么两大类(就以教"三棱锥的体积"为例): 一类是,以量(多)取胜,挑选了很多个各种情景的"求三棱锥体积"的例题,一个接一个的高频率大密度快节奏地讲.这是深信题海战术的高效率的老师的做法.他们一是认为让学生"见多识广"好;二是寄希望于讲过的某个题目将来会类似地考到;三是多讲题学生欢迎,教师省事.     

几何体的面积和体积

面积和体积是立体几何中的两类重要问题 ,其中体积的计算和应用是重点 .几何体的面积主要包括表面积和截面的面积 .其中截面面积的计算是数学竞赛中的一种常见题型 .处理截面问题一般分为三个步骤 :定位、定形、定量 .在掌握好求体积的基本方法的基础上 ,还应重视以下的常用方法和技巧 :1)转移法 ,即利用祖 日恒原理或等积变换把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积 ;2 )分割求和法 ;3)补形求差法 ;4 )交换底面求三棱锥 (或四面体 )的体积 .面积和体积最值问题也是一种常见题型 ,解决这类问题的基本方法有三种 :1)“选变量 ,寻定…     

三种方法 三样效果——立体几何教课实验报告

立体几何教学中,以“正方体切割后的体积”为课题,选择了两题,在高一(3)班进行了电教课教学试验。这两题是:①课本p.109,习题十三第一题;从一个正方体中,如图那样裁去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD。问它的体积是正方体体积的几分之几?(还要求分别画出截去第一个,第二个、第三个、第四个三棱锥后的图形)。②课本p.148总复习参考题B组第22题:将正方的棱     

计数法(2)

(续上期 )3　算两次“算两次”的典型做法是选择一个适当的量 ,从两个方面去考虑它 ,“一方面… ,另一方面… ,综合起来可得… .”好像三步舞曲 ,这种舞曲在组合计数中常常用到 .例 8　n ,k∈Z ,S为平面上几个点的集合 ,对于S中任一点A ,S中至少有k个点到A的距离相等 .证明k <1     

利用等积变换求三棱锥体积的几种技巧

在求三棱锥的体积时 ,当棱锥的底面面积或高较难直接求 ,甚至不能求时 ,这就要求我们将三棱锥的底面或高进行变换 ,利用等积变换来求其体积 .利用等积变换求三棱锥的体积时 ,常有如下几种技巧 :图 1(1)1　换顶点 ,换底面例 1　如图 1 (1 )所示 ,正方形ABCD的边长为 1 ,点E ,F是BC ,CD的中点 ,现沿AE ,EF ,AF折成一个三棱锥 ,使B ,C ,D三点重合 ,记作S如图 1 (2 ) ,求所得三棱锥S -AEF的体积 .分析　此三棱锥体积直接求解难点在于选择AEF为底面 ,较难求出其锥体的高 ,这时 ,我们若将此锥体的底面与顶点换一下 ,换成以点A为顶点 ,…     

满足条件的移动时间问题

在数学中考题中,我们常常会碰到下列移动问题:即一个(或两个)点在线段上移动,当移动时间是多少时,使这两个动点之间的距离等于已知量,或使某两条线段相等,或使某两个三角形相似等等这样的问题.解决这类问题的基本方法     

多面体和旋转体的体积

1　考点简析本单元课本内容以公理 5及祖日恒原理为基础 ,推导了柱、锥、台及球和球缺的体积公式 ,系统性很强 ,易教易学 ;高考中除球缺的体积公式不要求记忆外 ,其他给出的几何体的体积公式必须牢固记忆并能灵活应用 ;高考试卷在考核第一章及“多面体和旋转体的面积”的基础上 ,再考察这一部分 ,主要包含转化与化归的数学思维方法 ,例如柱、锥、台的体积公式都可以用台体的体积公式统一表示 ,三棱锥的顶点与底面的转化等等 ;关于体积的计算可分为两大类 :1)利用公式直接计算 ;2 )等积变换计算 .而第二类中又可细分为 :①换底法 ;②割补法 ;…     

用坐标法解中考压轴题的一次尝试——以一则“一定点两动点连成等腰直角三角形”问题为例

2010年浙江省东阳县中考数学卷填空压轴题(试卷第16题),是一则关于“一定点两动点连成等腰直角三角形”的问题(以下简称题[1]).试题涉及函数、方程(组)、等腰直角三角形、全等三角形等知识,具有较强的综合性.南于不同于传统意义的动点问题与存在性问题,又没有现成的解题模式可供借鉴,因此许多师生阅读完本题后,感觉到超越常规,难以解答.笔者借用高中数学中的“线段中点的坐标公式”对该题进行试解,发现利用坐标法解答起来,思路比较流畅,计算量亦在可接受范围内.现撰文如下,供大家参考.     

“点到平面射影位置的确定”教学实录

目前数学课的教学 ,从一种视角来看 ,可以分为这么两大类 (就以教“三棱锥的体积”为例 ) :一类是 ,以量 (多 )取胜 ,挑选了很多个各种情景的“求三棱锥体积”的例题 ,一个接一个的高频率大密度快节奏地讲 .这是深信题海战术的高效率的老师的做法 .他们一是认为让学生“见多识广”好 ;二是寄希望于讲过的某个题目将来会类似地考到 ;三是多讲题学生欢迎 ,教师省事 .另一类是 ,以质 (变 )取胜 ,就象薛老师那样 ,一堂课就讲二三个甚至只讲一个例题 ,但却串连起了很多个小问题与许多的数学知识 ;象桂老师那样 ,总是站在系统的高度 ,引导学生把握知识 .他们深信 ,通过联系形成认知结构的知识 ,学生容易理解与记忆 ,提高学习兴趣 ,并发展学生的数学能力 .他们认为 ,基础题可以 (要 )靠一定题量的强化训练 ;能力题若再仰仗于题海战术 ,以为是唯一的致胜法宝的话 ,总有一天会碰得头破血流的 .这是两种不同的教学观 .就目前而论 ,走极端的人大概是少数 ;许多人都在走着中间道路 ,只是靠左还是靠右的倾向上有所不同而已 .今后 ,只要在命题导向上把握得好 ,单纯依靠题海战法的人的日子 ,肯定会越来越难过 ,这是毫无疑义的 !你信么 ?]     

“算两次”才精彩

<正>数学运算,由数值运算,字符运算及推理运算三个阶梯层次分布.其中,字符运算中,从两个方面去考虑同一个量,然后综合起来得到一个关系式.这种方法称为算两次或Fubini原理.通过"算两次",构造一等式,利用方程思想才精彩.下面举例说明之.1.数列中的子序列问题例1已知公差不为零的等差数列{a_n},     

三棱锥体积在解题中的应用

三棱锥是一种特殊的棱锥;它的每一个顶点都可为棱锥的顶点,它的每一个面均可为棱锥的底面,而体积总是不变的。利用这一特点,可以把求多面体的体积和多边形的面积分别转化为求三棱锥的体积和三校锥的底面积;把求点到平面的距离、直线和平面的距离以及两条异面直线的距离转化为求三棱锥的高等等。一求多面体的体积多面体的体积,可以转化成若干个三棱锥的体积和,由于三棱锥的底面具有轮换性,可适当选取三棱锥的底面,较容易地求出三棱锥的体积,进而求出多面体的体积。     

从一道立体几何习题谈割补法与联想思维

从一道立体几何习题谈割补法与联想思维深圳拱北中学方友贤立体几何课本（全一册）习题十三第一题：“从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥Ａ—ＢＣＤ，求它的体积是正方体体积的几分之几？”仅从求解角度来说是一个很平常的题目，可利用该页练习...     

例说正四面体的伴随正方体

<正>1.正四面体伴随正方体的由来人教版高二(下)教材第52页有这样一道习题:从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几.     

四面体的五“心”—重心、外心、内心、旁心和垂心

本文用类比的方法,将三角形的五“心”—重心、外心、内心、旁心和垂心移植到四面体(即三棱锥)中。1 四面体的重心三角形的三条中线共点,这点叫三角形的重心,重心把每条中线都分成2:1的两段。     

思算平衡:数学解题教学的价值追求——以一道平面向量填空题的解法探析为例

思考量与运算量是解题过程中具有逻辑顺序和平衡制约的两个关键要素,“思算平衡”是数学解题教学的价值追求.本文以一道平面向量填空题解法探析为例,从思考量与运算量两个维度对数学解题教学的价值追求进行阐述.     

两种不同距离下钻井布局的模型研究

本文针对 1999年大学生数学建模竞赛的钻井布局问题 ,在两种不同距离度量下 ,对给定任意误差 ε所能利用的最大井数进行了研究 ,找到一种通用的计算方法 ,该算法计算量为 O(n3 ) .文中给出了具体算例 .     

新题征展(54)

A　题组新编1 .反比例函数 y =kx( k >0 )的图象是双曲线 ,则其渐近线方程是 ;对称轴方程是 ,顶点坐标是 ;离心率是;焦点坐标是 ;准线方程是.2 .( 1 )在三棱锥 V -ABC中 ,VA⊥底面 ABC,∠ ABC =90°若 VA =1 ,AB =2 ,BC =3,则三棱锥外接球的半径为.( 2 )棱长为 2的正四面体外接球的体积为 ;( 3)在正三棱锥 S- ABC中 ,M,N分别为棱 SC,BC的中点 ,并且 AM⊥ MN ,若 SA= 2 3,则正三棱锥 S - ABC的外接球的表面积为 .B　藏题新掘3.在平面直角坐标系中 ,x轴负半轴上有5个点 ,y轴正半轴上有 3个点 ,将 x轴上的 5个点与 y轴上的 3个…     

活用三角中点关系 巧解向量动点问题

向量是一种新的量,不同于以往学过的数量,它兼有代数与几何两种形式,具有代数的抽象与几何的直观,是集“数”与“形”于一身的数学概念.因此,解题中要注意数形结合的思想.在高考中以考查向量的概念与运算为主,其中向量的模与向量数量积的计算尤为重要,特别是牵涉到动点问题,许多学生无从下手.笔者主要介绍活用三角中点关系,巧解向量动点问题.