耦合Burgers方程的Painleve分析和相关性质

为研究耦合Burgers方程的可积性，利用WTC测试方法，给出了第一类Burgers方程的Painleve性质和第二类Burgers方程的条件Painleve性质．进而得到了第一类方程的变量分离解和第二类方程的（N2＋3N＋6/2）-参数Lie点对称群．     

第二类Painleve方程解的亚纯性

Painleve方程是六类重要的二阶代数微分方程,它们的发展和性质一直受到人们的关注。本文给出第二类Painleve方程解的亚纯性一个严格的证明。     

Painleve方程的解析性质

Painleve方程是六类最重要的二阶代数常微分方程。虽然Painleve是从纯粹数学的考虑发现这些方程的，但如今它们与许多数学和物理问题密切相关，且许多解析的，代数的和几何的性质不断被发现。本文介绍Painleve方程解析理论的基本内容，包括解的亚纯性，有理解，Baecklund变换和某些进一步的结果，如高阶第二类Painleve方程的新研究，值分布性质以及一些未解决的问题，其中包括作者的一些新结果。     

一类非线性常微分方程振荡解的渐近表示

在本文中,我们讨论了非线性常微分方程y"=a0|x|αy3 a1|x|βy2 α2|x|γy α3|x|δ振荡解的渐近表示．在这个方程中将α0,α,α1,β,α2,γ,α3,δ分别换成0,0,6,0,0,0,sgn(x),1就是著名的第一类Painleve方程,而将α0,α,α1,β,α2,γ,α3,δ分别换成2,0,0,0,sgn(x),1,α0,就是著名的第二类Painleve方程．当α0,α,α1,β,α2,γ,α3,δ分别换成-β/3γ,0,0,0,1/γ,1,α,0时,可用于组合KdV方程孤立子解的化简．     

第五类Painlevé方程解的渐近性态分析

本文用比较直接的方法研究Painleve方程的渐近解和连同公式:(1)先求出数值解,然后用最小二乘法拟合出最佳渐近解;(2)根据最佳渐近解的表达形式,用谐波平衡法得到振荡渐近解与参数之间的依赖关系,即连同公式．当参数α,β,γ和δ满足一些条件时,对一般实的第五类Painleve方程,我们找出了振荡渐近解和连同公式．     

Burgers方程族的对称、Backlund变换和Painleve性质之间的联系

在孤立子理论中,对于一个非线性演化方程来说,如果通过反散射变换可化为线性问题,则称为“S可积”的(如KdV方程等);如果能通过函数和自变量变换而化为线性方程,则称之为“C可积”的。C可积方程最典型的例子就是人们熟知的Burgers方程。至今已对它有了很多研究,如它具有无穷多个能构成一个无穷维李代数的对称,还具有Backlund变换和Painleve性质等等。     

系数依赖于时间的KdV-MKdV-Burgers方程的Painlevé性质

近几年来,人们发现非线性偏微分方程的完全可积性和解在奇异流形处的性质密切相关.一个常微分方程解的可移奇点如果都是极点则称为具有Painleve性质.19世纪Painleve曾系统研究了二阶常微分方程的有关性质,而Kowalevskaya揭示了可积性和Painleve性质的联系.Ablowitz、Ramani和Segur猜测如果一个偏微分方程的所有相似约化得到的常微分方程都具有Painleve性质,则是完全可积方程.1983年Weiss、     

带非均匀项Sine-Gordon方程的Painlevé性质

本文研究带非均匀项的Sine-Gordon方程 u_(xt)=sinu+(αxu_x)_x(α为参数)(1)的Painleve性质。我们给出无穷小Lie变换,得到(1)的相似解满足的常微分方程,它属于第Ⅲ型的Painleve方程,最后我们指出方程(1)具有偏微分方程的Painleve性质。     

2+1-维变系数广义Kadomtsev-Petviashvili方程的相似约化

借助于MATHEMATICA软件,将直接约化法推广并应用到2+1-维变系数广义Kadomtsev-Petviashvili(VCGKP)方程,获得了VCGKP方程的若干相似约化,其中包括PainleveⅠ型、PainleveⅡ型和PainleveⅣ型的约化.     

用子空间F2n^T-1＋S△N逼近函数类WP^r的最佳逼近度与其K-宽度之间的渐近关系

本文研究了用子空间F2n^T-1＋S△N逼近函数类睇的最佳逼近度与其K-宽度之间的关系．利用Kolmogorov-宽度的概念和Kolmogorov比较定理,获得了其最佳逼近度与其Kolmogorov-宽度之间的渐进性质,推广了用子空间F2n^T-1＋S△N知逼近函数类WP^r的最佳逼近度的有关结论．     

关于发展方程的守恒率的一个标记

本文使用微分代数的技巧，研究了发展方程的守恒率与对应的行波所满足方程的首次积分之间的关系．通过文本给出的结果，我们研究了Burgers方程和Burgers—KdV方程的可积性，证明了这两类方程都只有一个守恒率．利用本文给出的方法，可以通过常微分方程的研究方法来研究某些非线性发展方程．     

A Space-Time Polynomial Collocation Method for Solving 3D Burgers Equations北大核心CSCD

Burgers方程是一类应用广泛的非线性偏微分方程,方程中的非线性项难以处理。该文提出一种新的时空多项式配点法——多项式特解法求解三维Burgers方程。求解过程分为两步:第一步,对三维Burgers方程中的线性导数项(包括时间导数项),求出相应的多项式特解。第二步,将求出的多项式特解作为基函数,对三维Burgers方程中剩余的非线性项进行迭代求解。与时空多项式函数作为基函数对三维Burgers方程进行直接求解相比,该算法简单易行,得到的近似解精度非常高,算法极其稳定,对于教学过程中提高学生的编程能力,加深对高维Burgers方程的理解能力以及Burgers方程的实际应用具有重要意义。     

一类非线性偏微分方程的四阶格子Boltzmann模型

通过Chapman-Enskog展开技术和多尺度分析,建立了一种新的D1Q4带修正项的四阶格子Boltzmann模型,一类非线性偏微分方程从连续的Boltzmann方程得到正确恢复．统一了KdV和Burgers等已知方程类型的格子BGK模型,还首次给出了组合KdV-Burgers,广义Burgers—Huxley等方程...     

两类可积的二阶线性方程

讨论了两类二阶变系数线性方程及其解．第一类包含常系数方程，第二类包含Eular方程．     

（3＋1）维带有源项的反应扩散方程的不变集和精确解

讨论了（3＋1）维带有源项的反应扩散方程ut=A1（u）uxx＋A2（u）uyy＋A3（u）uzz＋B1（u）ux^2;＋B2（u）uy^2＋B3（u）uz^2＋Q（u）．通过构建函数不变集的思想方法．得到了上述方程的几个新精确解．该方法也可以用来解N＋1维反应扩散方程．     

描述顺流方向可变剪切流动的一类变系数Boussinesq方程的Painlevé分析和相似约化

本文研究一类描述在顺流方向上存在可变剪切流动的长波的变系数Boussinesq方程: utt {αuxxx [β f(x)]ux ωuux g(x)u}x=0的Plainleve性质及相似解,其中f(x)和g(x)是两个实函数．通过对方程进行标准的WTS检验,得到了方程可积的必要条件,即方程具有Painleve性质的条件;应用CK直接方法对方程进行了相似约化,得到了原方程的五组相似变换和相似解;用这些相似解可进一步求得方程的精确解析解．     

受迫耗散Boussinesq方程的可积性质和孤波解的探讨

考虑到耗散效应和地形外力,Rossby波的振幅可由受迫耗散Boussinesq方程来描述.当包含这两项时,模型比较复杂,不具有Painleve性质.通过将模型双线性化,双线性方法是一个可寻找孤波解和B(a|¨)cklund变换的方法.通过截断的Painleve展开式,得到了将方程双线性化的合适的因变量变换.然后得到了受迫耗散Boussinesq方程的单孤波解和B(a|¨)cklund变换.     

（2＋1）维非线性Schroedinger型方程的同宿轨道

研究了几类（2＋1）维非线性Schroedinger型方程同宿轨道的问题．利用Hirota双线性算子方法,通过给出的相关变换,得到了包括（2＋1）维的长短波相互作用方程,广义Zakharov方程,Mel’nikov方程和g-Schroedinger方程的同宿轨道解的显式解析表达式,从而讨论了这些方程的同宿轨道．     

Tu方程族的高阶双约束流的分离变量

本文给出了Tu方程族的高阶双约束流,其自由度为2N＋l。根据通常的办法,利用Lax矩阵仅能引入N＋l对标准分离变量和N＋l个分离变量方程。本文构造出另外N对分离变量及N个分离变量方程。此外,还建立了双约束流和Tu方程族的Jacobi反演问题。     

两个高维loop代数及应用

借助于循环数,构造了维数分别是5(s+1)和4(s+1)的两个高维loop代数．为了计算方便,本文只考虑s=1时的应用．利用第一个loop代数■_1~*得到了具有4-Hamilton结构的一个广义AKNS族,该方程族可约化为著名的AKNS族．利用第二个loop代数■_2~*,得到了具有4个分量位势函数的4-Hamilton结构方程族,该族可约化为一个非线性耦合Burgers方程和一个耦合的KdV方程．