巧用正四面体的“补形正方体”解题

一、正四面体的补形正方体的定义及其性质 在一个正方体的相对两个面上,取两条不共面的面对角线,再将这两条对角线的四个端点两两相连,便得到一个正四面体,我们称正方体为所得正四面体的补形正方体（如图1）．     

一道高考题的妙解

题目:(2006年湖南卷理数第9题)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是     

一则化学中的数学问题

题目甲烷分子(CH4)中四个碳氢键的键角都是109°28’,如何算出来的呢? 下面笔者运用数学知识予以解答:我们知道甲烷分子(CH4)的分子结构是正四面体,其中碳原子位于正四面体的中心位置,四个氢原子位于正四面体的四个顶点.其分子结构的示意图如上图;设O是正四面体的中心,O’是A在底面BCD的射影,则点O是正四面体的外接球的球心,     

巧建模型 快速解题

立体几何重点研究的是空间中的点、线、面、体的各种位置关系.在学习中,如何提高空间想象能力是摆在广大学生面前的一个大难题.借助最熟悉的几何体构造模型,可以帮助学生打破思维定势,寻找解题的突破口,提高解题能力, 一、构造正方体模型解题 例1如图1,甲烷CH4的分子结构是:碳原子位于正四面体的中心,4个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上(各个面都是正三角形的四面体叫做正四面体,到正四面体四个顶点的距离都相等的点叫做正四面体的中心).     

任意五等分点组都不共球的空间闭曲线

Zindler于1918年发表了如下结果:设有可求长空间闭曲线,今将这曲线四等分,考虑这种分点的组,显然组中的一点可完全任意取,所以有无数个组存在.在这无数个组中至少存在这样的一组:它的四个等分点在同一平面上. 在文献[1]中,高桥进一又给了上述结果的简单证明,然后他提出这样一个问题“在可求长空间闭曲线的五等分点的组中,是否存在一组在同一球面上?”,并说“这个问题直至现在(1964)尚未解决”. 文献[1]还指出,不可能用[1]中论证四等分点组的方法解决五等分点组的问题. 本文的目的在于构造一条空间闭曲线,它的任意五等分点的组都不在同一球面上.于是从反面解决了上述问题. 在构造这条曲线之前,首先注意如下的两个简单事实. 命题A 设球O上有不共面的4点A、B、C、D,又设点E在球O内,则A、B、C、D、E五点不共球.     

应用侧面展开图寻求最短路径

<正>寻求多面体和旋转体上两点之间的最短路径,可以充分利用其侧面展开图,将立体问题平面化,现略举几例.例1如图1,已知正四面体A―BCD,其棱长为1,P、Q分别为AB、CD上的两点,且AP=CQ=λ(0<λ<1),求在四面体侧面上从P到Q的最短距离.解由对称性可知,在侧面上P到Q只须考虑以下两种情况:(1)经过棱AC上一点到达Q;     

四元数自共轭矩阵与行列式的几个定理

本文继续使用文献[1],[2],[3],[4],[5]的符号和术语。对四元数体Q上的自共轭矩阵与行列式进行讨论得到几个重要定理。为此,先作几点说明。 2.设A为四元数体Q上的一个n阶矩阵,若A=(即,A=a_(ij),a_(ij)∈Q。恒有a_(ij)=a_(ji))。则说A是四元数体Q上的一个自共轭矩阵。自共轭四元矩阵A的行列式记为‖A‖。     

一个网络概率表达式的简化及在传球问题中的应用

[文1]从问题“正四面体的四个顶点记为1、2、3、4，从一点出发等可能到其它3点，求从点1出发走7步又回到1的概率”开始探讨，推广到“对于任意一个由N个点组成的网络，如果对于这N个点中的任意一个点都与另外的N-1个点相连，那么从其中任意一个点A出发，每次都等概率地选择一条道路到达另外一点，则经过i步后又回到点A的概率为     

用递推方法探求概率问题

概率是我国高中数学课本中的新增内容 ,由于它在理论与实际生活中都有很重要的意义 ,因此在今后的高考、竞赛中其体现的力度必将加大 .本文介绍用递推思想方法探求概率问题 ,体现了数列与概率知识网络的交汇性 ,对高三学生的复习有一定的指导作用 ,利于学生解题能力和创新能力的培养 .　　例 1　设正四面体的四个顶点是A ,B ,C ,D ,各棱长度均为 1米 ,有一个小虫从点A开始按以下规则前进 :在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一 ,并一直爬到这条棱的尽头 ,求它爬了 7米之后恰好首次位于顶点A的概率 .解　考虑一般情况 ,…     

“耐人寻味”的正四面体

正四面体的四个侧面都是正三角形,是个 具有对称美的几何体．研究正四面体,对于研 究三棱锥、空间四边形,也很有帮助．可谓“麻 雀虽小,五脏俱全”．它有很多耐人寻味的性 质,下以棱长为a的正四面体为例,我们近观 正四面体．     

用定比分点公式证明一类不等式

分析此题我们通常用判别式法去证．如果设，1分别是有向线段上的三点，则可通过定比A的值确定问、外分点来证得．证明设P为数轴上点P1（-4）与点P2（1）的分点，则∴λ≥0或λ不存在，∴点P不是P1P2的外分点．用定比分点公式证明一类不等式@刘成文$江西省新干县三湖中学!331303     

美丽的组合

问题 一个正四面体和一个正四棱锥，它们的棱长都相等． 当这个四面体的一个面与这个正四棱锥的一个侧面重合在一起时，所组成的组合体有几个面？     

分点线三角形面积定理

定义1三角形顶点及对边分点的连线称之为三角形的分点线.定义2由三角形分点线围成的三角形称之为分点线三角形.图1三角形如图1,△ABC的边AB,BC,CA上的分点分别为D,E,F;AE和CD,BF和AE,CD和BF分别交于点P,Q,R.则CD,BF,AE称之为△ABC的分点线,△PQR称之为△ABC的分点线三角形.我们     

两个高考题的别解思考

问题1(2010全国卷12题)已知在半径为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为A.2√3/3 B.4√3/3 C.2√3 D.8√3/3问题2(2009全国卷10题)已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在面α,β内,P到β的距离为√3,Q到α的距离为2√3,则P,Q两点的距离的最小值为A.√2 B.2 C.2√3 D.4这两个立体几何问题,都是求最值,学生的得分很低,做对的学生也多是猜对的,那么这两个问题真的就那么难吗?究竟是哪里出了问题?难在什么地方?为什么这么多学生都不会做?     

空间任意不共面的四点是否共球

探究性问题是培养学生能力的好素材,本文介绍一个探究性问题,希望对同学们有所启发和帮助.1问题的提出在平面上,不共线的三点可以确定一个圆,类比可以探讨:在空间,任意不共面的四点A,B,C,D是否一定在同一个球面上?2问题的解决空间任意三点共面,不妨设A,B,C三图1点共面α,因为A,     

正多面体外接球面上点的性质

文[1]、[2]分别介绍了正四面体和正六面体这两个正多面体外接球面上的点到各顶点距离的平方和成定值的有趣性质本文就这类问题再行讨论为引申问题方便起见，我们用如下证法替代文[1]、[2]对下面的性质1、2的证明方法。性质1正六面体外接球面上任一点到各顶点距离的平方和为定值．证明如图1，设正六面体ABCDA＇B＇C＇D＇的棱长为a，外接球心为O，P为外接球面上任意一点。显然，正六面体的对角线B＇D通过球心0，故∠B＇PD＝90°．因此，在△B＇PD中有性质2正四面体外接球面上任一点，到各顶点距离的平方和为定值．证明由于在图1中，三…     

对一类概率流行题目解法的商榷

在目前流行的高中数学复习资料中,常见一类概率题目,其提供的解法我认为是错误的.现仅举一例和同行商榷.原题:如图1所示,质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一     

正四面体中的几个定值

不难验证,选择适当的空间直角坐标系,正四面体的四个顶点的坐标就可以设为：（a,a,a）,（a,-a,-a）,（-a,a,-a）,（-a,-a,a）,其中a〉0． 利用距离公式得：正四面体的棱长为2√2a． 利用上述正四面体顶点坐标的巧妙设法,本文给出四面体中的几个有趣的定值,供参考．     

利用正方体巧解正四面体问题

一、空间角和距离在求解正四面体中的角和距离时,我们通常将正四面体置于正方体中建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量来解题．例1已知正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD上的点,且AE:AB=1:4,CF:     

一道习题的深入探讨

在一次练习中遇到这样一道习题： 当a取不同的值时，在P（1/2，1/4），Q（1，1），R（2，2），S（2，3）四个点中，可以是函数y=a^x的图象与其反函数的图象的公共点的是（ ） （A）P，Q，R．（B）Q，S．（C）R，S．（D）P，R．