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在《圆和二次方程》一书中,给出了任何一组勾股数组a、b、c都可由公式a=m~2-n~2,b=2m~n,c=m~2+n~2表示(这里m、n-奇-偶,m>n,m、n均为自然数),同时指出“abc一定能被60整除”,因为它的证明“已经超出你们的知识范围,这里就不谈了”。为此,笔者给出一种浅显的证明。下面先证两个引理。引理1。任何自然数p若不能被3整除,则p~2-1能被3整除。证明:因为任何不能被3整除的自然数p均可表示勾:p=3k±1(这里k为自然数)而p~2=(3k±1)~2=9k~2±6k+1=3(3k~2±2k)+1,所以p~2-1能被3整除。引理2.任何自然数q若不能被5整除,则q~4-1能被5整除。证明:因为任何不能被5整除的自然数q可表示为q=5l±1,或q=5l±2 (这里l为自然数) 而当q=5l±1时,q-1或q+1能被5整除;当q=5l±2时,q~2=(5l±2)~2 相似文献
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我们知道m>n,m、n都是正整数时,m2-n2、2mn、m2+n2为一组勾股数,当k为正整数时,用k乘以上各数,也可以得出另一组勾股数:k(m2-n2)、2kmn、k(m2+n2).如图1,若设过长方体一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,长方体对角线的长为d.则a2+b2+c2=d2.下面我们就探索a、b、c、d都为正整数的构造方法,暂称这四 相似文献
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贵刊84年4期所刊《勾股数组的一个性质的证明。(以下简称《勾股证明》),双勾股数组的一个性质给出了几个初等证明。这个性质是: 任意一组勾股数,a=m~2+n~2,b=2mn,c=m~2-n~2(这里,m、n一奇一偶,m>n,m、n均为自然数)则60|abc, 在本文中,我们将给出一个更为简便的证明,为此,先证明 相似文献
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《中学生数学》2006,(6)
我做全国1996年联赛试题时,有一个题的答案说:若a~2 b~2=c~2(a,b,c∈R~ ),那么c=m~2 n~2(m,n∈R~ )。我当时一开始不明白,就举了几个例子,发现5=1~2 2~2,41=4~2 5~2,10=1~2 3~2,13=2~2 3~2。我仔细观察又发现:(1 2)~2 (2×1×2)~2=5~2,(4 5)~2 (2×4×5)~2=41~2,(2 3)~2 (2×2×3)~2=13~2。然而10却不符合此规律。这时,我发现题中的c是素数,因此联想到大概仅有质数才可能有此规律(因为5,41,13都为质数,而10却是合数),那么(2~2 相似文献
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早在公元前一世纪前,我国就有一部古书——《周髀算经》。书中说,西周初年商高讲过“勾三股四弦五”,这说明我国很早就知道了勾股定理。勾股定理用式子表示即a~2 b~2=c~2。通常把a、b、c叫做一组勾股数。古希腊数学家刁番都曾以m 2mn~(1/2)、n 2mn~(1/2)、m n 2mn~(1/2)来找勾股数(其中m、n为正整数,2mn是一个完全平方数)。我国清代数学家罗士琳也提出m~2-n~2、2mn、m~2 n~2是一组勾股数(m、n为正整数,且m>n)。我对一些勾股数组观察后,初步归纳出以正整数a(a≥3)来寻找b、c的方法: 相似文献
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自然数的分组和勾股数王凯旋(华中师大数学系9302430070)自然数1,2,3,…是我们大家很熟悉的了,但通过对自然数按一定的方式分组。却会给我们带来一个意想不到的结果设自然数分组如下:(1),(2,3),(4,5,6)…,(7,8,9,10),(... 相似文献
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J,J,日,日,J,日、︺,!日、J心,J心,J‘,J叮,J‘、J才、J‘,月J、, 由于1 3 5 … (Zn一1)=nZ,故我们可借助此结论制作一些勾股数。 如:勾三股四弦五”: 52==1 3 5 7 9=(1 3 5 7) 3 242 32. 又如13“=(1 3 5 … 23) 25 =12之 52 一般地,对于任一奇数kZ(无>1),可制作如下勾股数:(生誓工)‘二〔‘ 3 5 … “2一2,〕 . 2 ,托 2、、少r 1 kZ一1十K.=I—简记为(k,护一1竺生生~).一而.一,2奇数数列与勾股数的制作@杨浦斌$福建邵武林业中学~~… 相似文献