非线性系统的非局域对称及其应用

非局域对称作为对称理论重要组成部分, 近年来逐渐引起人们关注. 本文以势Korteweg-de Vries (KdV)方程、修正Korteweg-de Vries (mKdV)方程和Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程为例, 分别介绍了对应非线性系统与B?cklund变换相关的非局域对称、非局域留数对称与Darboux变换相关的非局域对称. 通过引入3个辅助变量, 将KP方程与Darboux变换相关的非局域对称局域化为Lie点对称. 运用对称约化方法简单概述了KP方程的相似约化解, 其中包括孤立子和Boussinesq波相互作用解、孤立子和KdV型波相互作用解以及非均匀背景下的单孤立波解.     

Nizhnik-Novikov-Veselov方程的非李点对称及其精确解(英文)

对于非线性物理系统的有限对称群,一个新的方法被提出.将该方法作用于Nizhnik-Novikov-Veselov(NNV)方程,李点和非李点对称能同时得到,而使用经典李群法只能得到李点对称.最后,通过对称变化群能得到许多新的孤子解.     

一个3＋1维非线性发展方程和Maccari系统的对称群及精确解

利用广义对称群方法和符号计算,首先得到了一个3＋1维非线性发展方程和Maccari系统的李群以及非李对称变换群,然后利用它们求出的对称群以及一些简单的种子解构造出新解．     

一个(3+1)维非线性偏微分方程的有限对称变换群和精确解

基于符号计算与对称群直接法研究了一个(3+1)维非线性偏微分方程 的对称群与精确解, 获得该方程的李点对称群和非李对称群. 最后通过广义射影 展开法研究方程的精确解, 并由获得的有限对称变换群构造了相应新的一般解.     

2+1维Burgers方程的Bcklund变换及其严格解

2+1维Burgers方程是非线性物理中的一个重要模型.利用截断Painlevé分析方法,建立了一个自Bcklund变换定理,求得了大量的新的严格解.     

群S4对称高维自治系统的Hopf分岔

研究群对称高维自治系统的Hopf分岔.利用Lyapunov-Schmidt方法得到分岔问题的约化映射,讨论约化映射的对称性和不变子空间,由此导出分岔方程,利用分岔方程不仅研究了Hopf分岔解的对称结构,而且得到了Hopf分岔产生的条件.     

非线性系统的一般条件对称和导数相关泛函分离变量法

众所周知, Fourier分析和分离变量法是研究线性系统的有效手段, 但分离变量法难以推广到非线性系统. 发展处理非线性系统的新的分离变量法迫在眉睫. 首先提出导数相关泛函分离变量解(DDFSS)的新概念, 给出定义, 据此寻求相应的一般条件对称(GCS), 创建理论体系(简称DDFSS方法). 尔后, 分别应用DDFSS方法于一般非线性扩散方程、KdV类方程、一般非线性波动方程: (1)对所考察方程做了DDFSS可解的完全归类; (2)利用DDFSS方法建立了所得分类方程的DDFSS精确解; (3)描述了一些解的局域激发等性质, 给出了有关结果的对称群解释. 最后指出, DDFSS方法可发展应用于求解某些高维方程和方程组问题, 更能扩展用于处理带扰动项的非线性系统.     

双曲型仿射不变流的最优系统及群不变解

利用李点对称群理论, 研究了双曲型仿射不变流的对称群, 构造了几何流对应的最优系统, 并利用最优系统对方程进行约化, 讨论了群不变解.     

非紧致一秩对称空间Cartan运动群上的Radon变换

本文研究与非紧致一秩Riemann对称空间相应的Cartan运动群上的Radon变换,用Weyl分式积分求出了这种变换的逆,并用这种逆Radon变换导出Fourier代数中元素的局部正则性,最后证明了任一正则K-轨道不是Fourier代数的谱综合集。     

Kersten-Krasil’shchik耦合KdV-mKdV方程的达布-贝克隆变换

从矩阵形式的线性系统出发, 构造了Kersten-Krasil’shchik耦合KdV-mKdV方程的达布变换和相应的贝克隆变换, 并由一对达布-贝克隆变换的相容性得到了非线性叠加公式.     

形变映射法在求解非线性Klein-Gordon方程中的应用——以Φ

非线性Klein-Gordon方程在场论中具有十分重要的物理意义, 且通常是不可积的. 形变映射法利用场论中可积场方程的已知孤子解、周期解等共同特征, 通过建立一般特解间的联系来求解不可积场的新解析解. 形变映射法可以将一个非线性系统的某些重要的严格解和其他系统互相联系起来, 从而得到这些非线性系统的新类型严格解, 例如多个椭圆周期波的相互作用解或椭圆周期波和孤立波的相互作用解; 也可以利用系统自身的形变映射关系, 得到同一个系统不同解之间的形变映射关系, 从而得到系统的新严格解. 将严格解映射到系统自身, 就是系统的贝克隆变换.     

对称理论在解若干非线性问题中的应用

将摄动理论和对称约化理论结合起来对研究扰动非线性方程具有重要的意义. 本文利用近似对称约化理论研究了扰动mKdV方程, 得到了该方程的各阶近似约化方程和级数约化解. 本文还讨论了同伦近似对称方法在求解不可积系统中的应用以及利用对称和守恒律的关系求解非线性系统的无穷多守恒律等问题.     

特征奇异积分方程的直接解法

通过引进基本特征方程和摹本化算子，研究厂带解析系数函数和核密度函数的特征奇异积分方程的直接解法，给山其可解的充要条件和解的封闭形式，本文采用的方法，不同于经典的边值问题解法，特征奇异积分方程无须化为等价的边值问题而实观真正意义上的直接求解。