一类变系数线性微分方程的求解

众所周知,一般变系数线性微分方程没有一个普遍适用的求解方法。本文给出一类具有(a+bx)e~(kx)型特解的变系数线性微分方程的求解。     

常系数线性分数阶微分方程组的解

本文研究了常系数线性分数阶微分方程组的求解问题.利用逆Laplace变换,Jordan标准矩阵和最小多项式,得到矩阵变量Mittag-Leffler函数的三种不同的计算方法,包含了常系数线性一阶微分方程组的解.     

粘性流体运动自型问题的分析解

本文用逐步逼近法得到了粘性流体运动的自型问题的微分方程(1.1～1.4)的分析解Проснак(1969)用小参数法也得到了这些方程的解.但他把控制方程变换成为一组线性变系数微分方程.本文则把控制方程变换成为线性常系数微分方程.     

三阶线性常微分方程Sinc方程组的结构预处理方法

三阶线性常微分方程在天文学和流体力学等学科的研究中有着广泛的应用.本文介绍求解三阶线性常微分方程由Sinc方法离散所得到的线性方程组的结构预处理方法.首先, 我们利用Sinc方法对三阶线性常微分方程进行离散,证明了离散解以指数阶收敛到原问题的精确解.针对离散后线性方程组的系数矩阵的特殊结构, 提出了结构化的带状预处理子,并证明了预处理矩阵的特征值位于复平面上的一个矩形区域之内.然后, 我们引入新的变量将三阶线性常微分方程等价地转化为由两个二阶线性常微分方程构成的常微分方程组, 并利用Sinc方法对降阶后的常微分方程组进行离散.离散后线性方程组的系数矩阵是分块2×2的, 且每一块都是Toeplitz矩阵与对角矩阵的组合.为了利用Krylov子空间方法有效地求解离散后的线性方程组,我们给出了块对角预处理子, 并分析了预处理矩阵的性质.最后, 我们对降阶后二阶线性常微分方程组进行了一些比较研究.数值结果证实了Sinc方法能够有效地求解三阶线性常微分方程.     

一类二阶变系数线性微分方程的解法

介绍如何通过变换把二阶变系数线性微分方程转化为一阶非线性微分方程,进而利用待定系数法对其求解,并对二阶变系数线性微分方程与一阶常系数非线性微分方程的内在的关系进行讨论.     

确定线性偏微分方程组可积系统的对合特征集方法

基于Ritt-Wu特征集方法和Riquier-Janet理论,给出一种将线性微分方程组化成简单标准形式的有效算法．该算法通过消去冗余和添加可积条件获得线性微分方程组的完全可积系统(有形式幂级数解)或不相容判定．该算法不仅适用于常系数的线性偏微分方程组,而且对于变系数(以函数为系数)仍然有效．作者还给出了完全可积系统判定定理及其严格证明．     

緩变系数法

<正> 在振动論、自动学、微波电子学等技术科学分支中,經常出現常系数和变系数一阶线性常微分方程組.例如,在波导理論中,电磁場边值問題常常归結为这种形式的微分方程粗的求解.在本文中,作者提出一种系統化的数学方法,用来求解具有緩变系数的上述微分方程組.为簡明起見,我們将称这种方法为“緩变系数法”.     

微分方程的求解公式(Ⅰ)——高阶变系数常微分方程的求解公式

“常微分方程是工程技术、力学、物理等领域中常出现的一类数学问题,甚至更简单的吕卡提方程(变系数)也没有初等解”.由于这类问题较困难,因此这方面的研究较少,已知的有M.shoch和W.J.Coles等人就高阶变系数方程进行过研究.本文提出几种在原子物理、高能物理(如孤立子问题)、量子力学等许多领域内均有重要应用的高阶变系数方程,并给出了求通解的方法——解有退化核的第二类Volterra型积分方程法.本文是第一部分.第二部分是用本文的结果研究一类偏微分方程,给出其求解方法——“组     

一类变系数线性微分方程及其解

根据常系数线性微分方程的求解原理,通过一个适当变换,研究了一类变系数线性微分方程及其解的问题,从而可以得到这类方程在特征根都是互异单根时的解法和通解,并对三阶方程的各种情况进行了较为详尽的讨论.     

常系数线性微分方程组的求解公式及其应用

分别给出了常系数线性微分方程组和常系数线性差分方程组在给定的初始条件下的求解公式 .     

二阶变系数线性微分方程的解法探讨

给出了变系数满足几种特定条件的二阶变系数齐次线性微分方程的特解形式,得到了一个命题.之后通过几个典型实例验证了命题在求解几类二阶变系数线性微分方程特解和通解中的有效性.     

常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法

在高等数学微分方程一章中,介绍了解常系数线性微分方程组的消无法,它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法.消元法的基本思想是用微分法消去方程中某些未知函数及其各阶导数,最后得到只含一个未知函数的高阶常系数微分方程.解出这个高阶方程的解后,再根据消元过程,一般不用积分就可求出其余的未知函数.对于未知函数较少的小型微分方程组,采用消元法较为简便.对于未知函数较多时就得寻求更为有效的方法.本文对常系数线性齐次微分方程组的消无法和矩阵法作对比介绍.在掌握线性代数的知识后,用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便.     

零化多项式的一个应用

利用矩阵的零化多项式 ,给出计算标准基解矩阵 e At的一个公式 .利用向量关于矩阵的零化多项式 ,给出常系数齐次线性微分方程组初值问题的一个求解公式 .相应地 ,可以推出常系数齐次线性差分方程组在给定的初始条件下的一个求解公式 .     

Mikusinski算符演算在方程求解中的应用

就 Mikusinski算符演算在方程求解方面的研究进展情况和已获得的重要结果作一综述 ,其内容有常系数线性微分方程、差分方程的 M算符解法 ;变数算符概念及其相关结果 ;变系数线性常微分方程、差分方程、差分微分方程的 M算符解法以及 M算符演算在其他方程求解中的应用 .     

一些特殊类型的变系数二阶线性微分方程解法的研究

运用变量变换的方法将一些特殊类型的变系数二阶线性微分方程化为常系数二阶线性微分方程,或已知齐次方程的一个解来求出齐次方程的另一个线性无关解,从而达到按照常系数二阶线性微分方程的特殊方法和利用常数变易法来求方程的通解的目的,同时纠正了文献[3]的结论和例子2的错误.     

二阶变系数线性微分方程求解问题的新探索

二阶常系数线性微分方程的求解理论,目前已经比较完善.然而对于二阶变系数线性微分方程,其求解问题的研究仍处于发展状态中.本文在文献[3-5]的基础上,利用降阶法、线性变换法及Raccati方程的等价性得到若干个可写出通解的二阶变系数线性微分方程的新类型,尤其关于可转化为f″+gf=0二阶线性微分方程有了一些结果.     

变系数二阶线性微分方程的一个新的可解类型

通过双变换——未知函数的线性变换和自变量变换 ,将一类变系数线性微分方程化为二阶常系数线性微分方程 ,从而得到变系数二阶线性微分方程的一个新的可解类型 ,推广了著名的二阶 Euler方程 .     

缓变厚度中厚板的自由振动

本文将中厚板的厚度函数按一小参数展开,并采用奇异摄动方法,把原来变系数的微分方程组化成一系列常系数微分方程组求解.文中给出了任意变厚度中厚板的自振频率计算显式表达式,由此式,我们不仅可以方便地计算出各种变厚度的自振频率值,而且也可以根据频率的要求来优化板的厚度.文中的算例表明,本文的方法具有较好的精度、方法简便、有效等其他优点,可以考虑作为分析各种变厚度板壳的振动及稳定特征问题的有效方法之一.     

变系数分数阶对流扩散方程的一种算子矩阵方法

研究带Caputo分数阶导数的变系数对流扩散方程的数值解法.基于Chebyshev cardinal函数,推导Riemann-Liouville分数阶积分的一个有效算子矩阵,以之为基础,提出了变系数分数阶对流扩散方程的一种新的算子矩阵法.该方法将方程的求解转化成矩阵的代数运算,具有计算量小和易于编程等特点.给出数值算例并与一些现有的方法进行比较,结果表明该方法是收敛的且在计算精度上占有优势.     

利用变分迭代法解二阶常微分方程组边值问题

将变分迭代法用于求解二阶常微分方程组边值问题,给出方法在两个具体实例中的应用,验证了变分迭代法对求解线性、非线性二阶常微分方程组边值问题是一种非常简便有效的方法.