例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

四边形的余弦定理与六点问题

如图 1,在四边形ＡＢＣＤ中 ,设ＤＡ =ａ ,ＡＢ =ｂ ,ＢＣ =ｃ,ＣＤ =ｄ ,∠ＤＡＢ =α ,∠ＡＢＣ =β ,则有图 1　四边形ｄ2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 - 2ａｂｃｏｓα- 2ｂｃｃｏｓβ 2ａｃｃｏｓ(α β) .这就是四边形的余弦定理 .证明很简单 ,把四边形ＡＢＣＤ放入直角坐标系 ,则有Ａ( 0 ,0 ) ,Ｂ(ｂ ,0 ) ,Ｃ (ｂ ｃｃｏｓ(π - β) ,ｃｓｉｎ(π - β) ) ,Ｄ( -ａｃｏｓ(π -α) ,ａｓｉｎ(π -α) ) .由此 ,并利用三角公式 ,容易得到结论 .具体推导见文 [1] .我们利用四边形余弦定理证明 :若平面上六点组成一凸六边形 ,最大边与最小边之…     

一道例题结论的推广

本刊文 [1 ]用三角形的一个重要性质巧妙地证明了该文的例 4:设α ,β为锐角 ,且ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β =ｓｉｎ(α β) ,求证 :α β =π2 .本文推广这个结论 (从以下定理 1的证明中还可找到上述结论的简捷证明 ) .定理 1　设α ,β均为第一象限的角 ,则ｓｉｎα =><ｃｏｓβ ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β=><ｓｉｎ(α β) .证　有ｓｉｎα ,ｃｏｓα ,ｓｉｎβ ,ｃｏｓβ均为正数 ,所以ｓｉｎα =><ｃｏｓβ ｓｉｎα =><ｃｏｓβｃｏｓα =<>ｓｉｎβ ｓｉｎα·(ｓｉｎα -ｃｏｓβ) =><0 =><ｓｉｎβ(ｃｏｓα -ｓｉｎβ) ｓｉｎα…     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷)(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(ａ +β) +ｓｉｎ(α-β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(ａ+β) -ｓｉｎ(α -β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(ａ+β) +ｃｏｓ(α -β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ =-12 [ｃｏｓ(ａ +β) -ｃｏｓ(ａ-β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′ +ｃ)ｌ其中　ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长球的体积公式Ｖ球 =43 πＲ3　　其中Ｒ表示球的半径一 选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )圆 (ｘ -1 ) 2 +ｙ2 =1的圆心到直线ｙ=33…     

圆锥曲线焦半径的一个性质

定理 1　Ａ1 ,Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ｆ为椭圆的焦点 ,ｌ为椭圆的与Ｆ对应的准线 ,Ｐ是椭圆上任一点 (除Ａ1 、Ａ2 外 ) ,设Ａ1 Ｐ、Ａ2 Ｐ分别与ｌ交于Ｍ、Ｎ ,则①ＭＦ⊥ＮＦ ,②以ＭＮ为直径的圆与ＰＦ相切于Ｆ ,③ＦＭ平分∠ＰＦＡ2 (如图 1 ) .图 1证明　①设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >ｂ>0 ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｆ(ｃ ,0 ) ,ｌ:ｘ =ａ2ｃ,Ａ1 (-ａ ,0 ) ,Ａ2 (ａ ,0 ) .则Ａ1 Ｐ :　　ｙ=ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα +1 ) (ｘ+ａ) ,Ａ2 Ｐ :　　ｙ =ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα - 1 ) (ｘ -ａ) ,容易求得Ｍ ａ2ｃ…     

对三角形三边定理的异议

文 [1 ]对△ＡＢＣ的恒等式ｃｏｓ2 Ａ ｃｏｓ2 Ｂ ｃｏｓ2 Ｃ 2ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·ｃｏｓＣ =1用余弦定理代换为边的表达式而得到了三角形三边定理 :-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -ｂ2 ) (ｂ2 ｃ2 -ａ2 ) -2ｃ2=0( )即　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0　 (( )为笔者所加 ) .笔者首先指出 ( )为恒等式 .由行列式的性质 ,将行列式 ( )左边第 2列、第 3列都加到第 1列后 ,行列式的值不变 .∴-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -…     

圆锥曲线间的有趣变换

文 [1 ]中给出了双曲线的一个有趣的性质 ,受此启发 ,进一步研究 ,得到圆锥曲线间的一个有趣的变换 .定理 1　设椭圆Ｃ :ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,ＰＰ′是Ｃ上的垂直于ｘ轴的一条弦 ,Ａ(-ａ,0 ) ,Ａ′(ａ,0 )是Ｃ的两个顶点 ,则直线ＰＡ与Ｐ′Ａ′的交点在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 .证明　设Ｐ(ａｃｏｓｔ,ｂｓｉｎｔ) ,则Ｐ′(ａｃｏｓｔ,-ｂｓｉｎｔ) ,直线ＰＡ :ｙｂｓｉｎｔ=ｘ+ａａｃｏｓｔ+ａ (1 )直线Ｐ′Ａ′:ｙ-ｂｓｉｎｔ=ｘ-ａａｃｏｓｔ-ａ (2 )由 (1 ) ,(2 )解得 ｘ=ａｓｅｃｔ,ｙ=ｂｔａｎｔ.所以ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1…     

有关椭圆的四个性质

文 [1]对椭圆的内接矩形进行了讨论 ,本文对此问题进行了拓展 ,并就椭圆中的“最大角”问题进行了探讨 .定理 1　设Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ20 + ｙ20 ≠ 0 )是椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )内一点 ,则过点Ｐ0 的弦中 ,有且仅有一条以Ｐ0 为中点 .证　设过Ｐ0 的直线的参数方程为ｌ2 :ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 +ｔｓｉｎα (α为倾角 ,ｔ为参数 ) ,代入 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 α +ｂ2 ｃｏｓ2 α )ｔ2 + (2ａ2 ｙ0 ｓｉｎα +2ｂ2 ｘ0 ｃｏｓα)ｔ+ａ2 ｙ20 +ｂ2 ｘ20 -ａ2 ｂ2 =0 .若直线ｌ2 截椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2…     

立足教材 注重通法——从一类不等式的证明看教材的深层次挖掘

《数学通报》的“数学问题”及国内、外数学竞赛中出现的一些不等式问题 .已有文 [1 ]、[2 ]等多篇文章给出了不同的证法 .这些证法或新颖独特 ,或用到了教材以外的结论 .虽然精彩纷呈 ,但一时恐难熟练运用 .实际上许多在《数学通报》的“数学问题”及国内、外数学竞赛中出现的不等式 ,都可以用高中教材上介绍的基本不等式ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ予以证明 .例 1　设α ,β ,γ都为锐角 ,且ｃｏｓ2 α ｃｏｓ2 β ｃｏｓ2 γ =1 .则ｃｔｇ2 α ｃｔｇ2 β ｃｔｇ2 γ≥ 32 .(《数学通报》问题 839)证　由ｃｏｓ2 α ｃｏｓ2 β ｃｏｓ2 γ=1有 …     

绍兴市1999年高考模拟考试数学试卷

以下数据、公式供解题时选用 :2 =1.4 14,3=1.732 ,ｓｉｎ4 5°=0 .70 71,ｓｉｎ75° =0 .96 59,ｃｏｓ75° =0 .2 588.ｓｉｎα ｓｉｎβ =2ｓｉｎα β2 ｃｏｓα - β2 ,ｃｏｓα ｃｏｓβ=2ｃｏｓα β2 ｃｏｓα - β2 ,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=2ｃｏｓα β2 ｓｉｎα - β2 ,ｃｏｓα -ｃｏｓβ=- 2ｓｉｎα β2 ｓｉｎα - β2 .选择题 :本大题共 14小题 ;第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　已知集合Ｍ ={ｘ|ｘ≥ 33,ｘ∈Ｒ}及ａ =2 7,则下列各…     

平面向量的一个优美的综合公式

笔者研究发现 ,平面向量中有一个优美并且非常有用的综合公式 :图 1　证公式用图设 |ｂ→|=ｋ ,ｂ→ 与ａ→ 夹角为θ ,则有 :　ｂ→ =(ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ ,　ｓｉｎ(±θ) ) ,ｋａ→|ａ→|　·(ｓｉｎ( θ) ,ｃｏｓθ) ) .　　证　如图 1 ,设ａ→ =(ｘ ,ｙ)与ｘ轴正半轴夹角为α ,ｂ→ =(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则ｃｏｓα =ｘ|ａ→|,ｓｉｎα =ｙ|ａ→|.ｘ0 =ｋ(ｃｏｓ(α±θ) ) ,ｙ0 =ｋ(ｓｉｎ(α±θ) ) .ｘ0 =ｋ(ｃｏｓαｃｏｓθ ｓｉｎαｓｉｎθ)=ｋ(ｘ|ａ→|ｃｏｓθ ｙ|ａ→|ｓｉｎθ)= ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ,ｓｉｎ( θ) ) ,…     

解三角形不容忽视的两个推论

解答三角形中的问题 ,除正确运用正弦定理、余弦定理外 ,还应重视它们的两个推论 .利用推论解题 ,方法简捷 ,过程明了 .1　两个推论推论 1　在△ＡＢＣ中 ,有ａ =ｂｃｏｓＣ +ｃｃｏｓＢ ,ｂ =ｃｃｏｓＣ +ａｃｏｓＣ ,ｃ =ａｃｏｓＢ +ｂｃｏｓＡ .推论 2　在△ＡＢＣ中 ,有ｂｃｏｓＢ +ｃｃｏｓＣ=ａｃｏｓ(Ｂ -Ｃ)≤ａ (1 )ｃｃｏｓＣ +ａｃｏｓＡ =ｂｃｏｓ(Ｃ -Ａ)≤ｂ (2 )ａｃｏｓＡ +ｂｃｏｓＢ =ｃｃｏｓ(Ａ -Ｂ)≤ｃ (3 )当且仅当 :Ｂ =Ｃ时 ,(1 )中等号成立 ;Ｃ=Ａ时 ,(2 )中等号成立 ;Ａ =Ｂ时 ,(3 )中等号成立 .证　推论 1 :由…     

一道三角题的另几种解法

《中学生数学》(2 0 0 2年 4月上期中刊登的《一道三角题的几种解法》)给人启示很大 .今给出该题与另外几种解法与大家共享 .题目　若 0 <θ <π2 ,且 3ｓｉｎθ+4ｃｏｓθ =5 ,求ｔａｎθ .一、向量模型解解　由向量内积的坐标表示我们可以构造ａ—→ =(3 ,4) ,ｂ—→=(ｓｉｎθ ,ｃｏｓθ) ,设ａ—→ 与ｂ—→ 的夹角为α .由ａ—→·ｂ—→=|ａ—→||ｂ—→|ｃｏｓα得5 =3ｓｉｎθ +4ｃｏｓθ =5× 1×ｃｏｓα ,得　ｃｏｓα =1 (0°≤α≤ 1 80°) ,　∴　α =0°,即ａ—→ 与ｂ—→ 共线 ,　∴　ｔａｎθ=34.二、解析几何模型解解法…     

一类三角问题解的讨论

在高中数学课本、课外参考书及报刊杂志上 ,经常会碰到这样一类三角问题 :已知　ｃｏｓα±ｃｏｓβ =ｍ ,ｓｉｎα±ｓｉｎβ =ｎ .求 :ｓｉｎ(α±β)的值 .文 [1],[2 ]对特殊情形 :已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ =12 ,ｓｉｎα -ｓｉｎβ =- 13,求ｓｉｎ(α + β)的解法及避免增解作了分析 ,文 [1]还提出条件不变 ,ｓｉｎ(α - β)符号怎样验证和判断的困惑 ,本文对这类问题进行分析与讨论 ,以加深对这类问题解的认识 .显然上述问题的条件有四种不同组合 :(Ⅰ ) ｃｏｓα +ｃｏｓβ =ｍ ,ｓｉｎα +ｓｉｎβ =ｎ .(Ⅱ ) ｃｏｓα -ｃｏｓβ =ｍ…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(α+β) +ｓｉｎ(α- β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(α +β) -ｓｉｎ(α - β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(α+β) +ｃｏｓ(α- β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ=- 12 [ｃｏｓ(α +β) -ｃｏｓ(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′+ｃ)ｌ其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长球体的体积公式Ｖ球 =43 πＲ3其中Ｒ表示球的半径一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )满足条件Ｍ∪ { 1 } ={ 1 ,2 ,3 }的集合Ｍ…     

再谈“广义三角形角的关系及应用”

文 [1]从三角形中的正、余弦定理的角度出发 ,将余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ和正弦定理 ａｓｉｎＡ= ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ=2Ｒ结合得 :定理 1　在△ＡＢＣ中 ,ｓｉｎ2 Ａ =ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ -2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ .并将其推广到广义三角形中 ,即得 :定理 1′　若∠Ａ +∠Ｂ +∠Ｃ =π ,则ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ - 2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ =ｓｉｎ2 Ａ .定理 1称为三角函数形式余弦定理 ,它揭示了三角形内角的关系 .定理 1′称为广义三角函数形式余弦定理 ,它揭示了广义三角形内角的关系 .在教学中 ,笔者曾对课…     

关于椭圆的一个命题

设Ｐ1Ｐ2 Ｐ3 Ｐ4 为椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1的内接矩形 (如图1) ,则Ｐ1Ｐ2 ,Ｐ1Ｐ4 分别平行于ｘ轴 ,ｙ轴 .证　不妨设ａ >ｂ ,Ｐｉ(ａｃｏｓαｉ,ｂｓｉｎαｉ) (ｉ =1,2 ,3,4 ) ,0≤α1<α2 <α3 <α4 <2π .因为矩形两条对角线相交于一点 ,且相互平分 ,所以ａｃｏｓα1+ａｃｏｓα3 =ａｃｏｓα2 +ａｃｏｓα4 ,ｂｓｉｎα1+ｂｓｉｎα3 =ｂｓｉｎα2 +ｂｓｉｎα4 ,即 ｃｏｓα1+ｃｏｓα3 =ｃｏｓα2 +ｃｏｓα4ｓｉｎα1+ｓｉｎα3 =ｓｉｎα2 +ｓｉｎα4(1)(2 )∴ (ｃｏｓα1+ｃｏｓα3 ) 2 + (ｓｉｎα1+ｓｉｎα3 ) 2=(ｃｏｓα2 …     

IMO42-2的推广的简证

第 42届 (2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第2题是 :对所有正实数ａ ,ｂ ,ｃ,证明 :ａａ2 +8ｂｃ+ｂｂ2 +8ｃａ+ｃｃ2 +8ａｂ ≥ 1 (1 )这个形式优美的不等式 ,看似简单 ,实则不易 ,文 [1 ]提供了一种反证法证明 .文 [2 ]、[3 ]则通过换元后 ,采用分析与综合相结合的证法 ,文[4]、[5 ]则给出了一种很简洁的叠加法证明 ,文[6 ]则采用文 [2 ]、[3 ]的方法 ,将 (1 )式推广为 :若ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+,λ≥ 8,则ａａ2 +λｂｃ+ｂｂ2 +λｃａ+ｃｃ2 +λａｂ≥ 31 +λ (2 )文 [4]、[5 ]为证 (1 )式 ,先证明ａａ2 +8ｂｃ ≥ ａ43ａ43 +ｂ43 +ｃ43(3 )(3…